254
.pdfМетодвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
взаимодействия, способные совершать работу на определенных на граничной поверхности тензорных характеристиках неравномерности распределения перемещений в ее окрестности: nu(k) =ΓA(k) , …. .
Система (1.4)–(1.7) дополняется условием инвариантности по-
тенциальной |
энергии по отношению к |
жестким движениям |
тела B, которое выражается в условии |
симметрии тензора |
|
( |
) |
|
P(k ) =P(k(1)) − |
P(k(2)) − (P(k(3)) −...) . |
|
Замыкание системы (1.4)–(1.7) осуществляется путем использования соотношения
∞ |
m раз |
|
} |
|
|
P(n) =P0(n) −Β(n)Θ+∑( mur) ... C(m,n). |
(1.8) |
m=1
При получении этого соотношения, а также аналогичного соотношение для энтропии
∞ |
m раз |
|
|
} |
|
|
|
S =S0 +∑( mur) ... Β(m) +cε |
Θ |
(1.9) |
|
m=1 |
|
T0 |
|
( сε – удельная теплоемкость материала при отсутствии деформаций)
учтено, что дифференциал функции F(k ) =F(k ) (T(k ) ,{ ju(k ) }) является
полным. При этом для ее приращения справедливо выражение, совпадающее по форме с (1.3). Так что коэффициенты разложений (1.8), (1.9) определяются равенствами
0(n) |
|
∂F |
|
(m,n) |
|
|
∂2 F |
|
|
|
P |
= |
|
|
, C |
|
= |
|
, |
(1.10) |
|
∂( nu) |
|
∂( mu)∂( nu) |
||||||||
|
Β(n) =− |
|
∂2 F |
|
|
=−∂P(n) . |
|
(1.11) |
||
|
∂T ∂( nu) |
|
||||||||
|
|
|
∂Θ |
|
|
Вычисления в (1.10) и (1.11) должны проводиться для случая, ко-
гда T(k) =T0(k ) , nu(k ) =0 .
Используется также уравнение притока тепла
|
∂Θ |
∞ |
m |
|
||
λ ( 2Θ)−cε |
−T0 ∑ |
∂( |
u) |
m...разΒ(m) = –ϑ. |
(1.12) |
|
∂t |
∂t |
|
||||
|
m=1` |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
241 |
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
При этом предполагается, что переходной группы физических параметров между P(1) и P(2) нет.
2. Поверхностная энергия
Поверхностная энергия Wp равна изменению свободной энергии
рассматриваемого тела в изотермическом обратимом процессе образования единицы площади его свободной поверхности А [16]. Суммарное изменение свободной энергии Ηp при образовании всей поверхности А
(суммарная поверхностная энергия) определяется поверхностным интегралом
Ηp =∫Wp dA.
A
С другой стороны [17–22], это изменение свободной энергии оказывается сосредоточенным в трехмерном поверхностном слое. Ввиду неопределенности его границ [16] это изменение свободной энергии можно считать распределенным по всему объему V изучаемого тела B. Если Η – суммарная свободная энергия тела B, а ∆Η – ее изменение, возникшее при образовании A и распределившееся по области V с объемной плотностью w ( w =w(R) , R V , R – радиус-вектор точки об-
ласти V в конечном состоянии тела B, ∆Η=∫wdV ), то, приравняв ∆H
V
и Hp , можно получить интегральное уравнение для определения Wp (при условии известности распределения w по области V):
∫Wp dA=∫wdV. |
(2.1) |
|
A |
V |
|
Обычно считается, что вдоль поверхности A величина Wp не ме-
няется и является физической характеристикой материала (например, [23, 24]). В физических расчетах [1, 22] область V в прямоугольных декартовых координатах (x1, x2 , x3 ) задается в виде
V: 0< x ≡ x1 <+∞ , −∞< x2 , x3 <+∞; A: x ≡ x1 =0 . |
(2.2) |
В данной работе сформулируем задачу по расчету распределения Wp вдоль криволинейной поверхности A.
243
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
Вычисление поверхностной энергии путем решения задачи (2.3)– (2.6) или с помощью (2.7) можно осуществить, если известно распределение w =w(R) , R V .
Сразу после мгновенного выделения B(k ) из Ω(k ) взаимное распо-
ложение его частиц и температура остались теми, которыми они обладали в составе Ω(k ) . Поэтому различие свободных энергий тела B(k )
в состояниях перед реальным выделением и после него обусловлено только разницей потенциальных энергий, возникшей в теле B(k ) за счет
удаления частиц, |
принадлежащих |
дополнению |
B(k ) |
в составе |
Ω(k ) . |
С учетом этого |
|
|
|
|
|
|
( j+1) |
,...,ln−1(k ,k ) )dV1(k ) |
|
|
|
n−1 |
∫ Φ(k ,k ) (T0(k ) ,l1(k ,k ) |
... dVn−1(k ) − |
|
||
w(k ) =∑ Ω( k ) |
|
|
. |
(2.8) |
|
j=1 |
( j+1) |
|
|
|
|
− ∫ Φ(k ,k ) (T0(k ) ,L1(k ,k ) ,...,Ln(k ,k ) )dV1(k ) ... dVn−1(k ) |
|
||||
V( k ) |
|
|
|
|
|
Момент выделения B(k ) из Ω(k ) служит началом переходных про- |
|||||
цессов. Эти процессы, а также распределение w(k ) (r) |
в каждый момент |
времени можно рассчитать после решения начально-краевой задачи
(1.4)–(1.12).
Предполагается, что решение системы (1.4)–(1.12) имеет предел при t →∞ , совпадающий с решением системы, получаемой из (1.4)– (1.12) путем исключения из нее слагаемых, содержащих производные по времени.
Если обмена энергии у тела B(k ) после его образования не было,
то суммарная поверхностная энергия в любой момент времени является одной и той же.
3. Адгезия твердых тел
Процесс вступления в адгезионный контакт тел B(1) и B(2) можно
условно разбить на этапы.
Первый этап – образование участков свободных поверхностей: A(1,2) у тела B(1) и A(2,1) у тела B(2) , вдоль которых происходит адгезион-
ный контакт. В процессе первого этапа у каждого из тел B(1) и B(2) формируются их поверхностные энергии Wp(1) и Wp(2) .
245
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
бесконечно близкого сближения и последующего вступления в адгезионный контакт. Поэтому энергетические изменения, произошедшие в системе тел B(1) и B(2) за время от их мысленного выделения в беско-
нечных средах до вступления в адгезионный контакт, можно связывать исключительно с процессами отделения B(k) от Ω(k) и образования из-
за адгезии единого тела B =B(1) U B(2) .
У частиц тел B(1) и B(2) в этот момент вновь (после выделения)
мгновенно меняется число окружающих их соседей, при этом деформации и изменения температуры отсутствуют. Каждая частица dB(k) B(k), k =1,2 , мгновенно, наряду с взаимодействием с другими
частицами dB(k)1 B(k) |
и парами частиц dB(k)1, dB(k)2 B(k), |
начинает |
||
взаимодействовать с частицами |
dB(p)1 B(p), |
p =1,2 , p ≠k |
и парами |
|
частиц dB(k)1 B(k), |
dB(p)2 B(p), |
а также |
dB(p)1 B(p), |
dB(k)2 B(k) |
и dB(p)1,dB(p)2 B(p) . Потенциалы этих взаимодействий предполагаются
известными.
Изменение их свободной энергии, происходящее в ходе этого процесса, определяется выражением, аналогичным выражению (2.8), но более общим, учитывающим взаимное влияние частиц разных тел:
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
2 |
|
|
|
|
∆ F(1,2) |
Fa d A(1,2) =∑ ∫ wa(k ) dV(k ) = |
||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
( k ) |
|
|
|
|
|
|
|
A 1,2 |
k=1 V |
|
2 |
n−1 |
∫ Φ((kj+,k1)) (T0(k ) ,l1(k ,k ) ,...,ln−1(k ,k ) )dV1(k ) ... dVn−1(k ) − |
|||||
=∑ ∑ |
||||||||
|
k=1 |
j=1 |
Ω( k ) |
|
|
|
||
2 |
n−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
− ∑ ∑ |
|
|
|
∫ |
Φ((kj+,p1)) (T0(k ) ,L1(k ,p) ,...,Ln(k ,p) )dV1(k ) ... dVn−1( p) . |
|||
|
( j +1)! |
|||||||
k , p=1 |
j=1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( k ) |
|
|
После мгновенного присоединения тел B(1) и B(2) друг к другу
в следующий за этим момент времени при их адгезии начинает формироваться переходный слой B(1,2) . При вступлении в состояние ад-
гезии на поверхности контакта, по предположению, мгновенно начинают выполняться условия непрерывности термодинамических параметров.
247
Методвычисленияповерхностнойэнергиииэнергииадгезииупругихтел
условием определения поверхности A(1,2) в объединенном теле B =B(1) U B(2) . В общем случае она не совпадает с исходным положени-
ем. В рассматриваемой ситуации это совпадение допускается.
Если сложить найденные величины Wap(1) и Wap(2) для точек поверхности A(1,2) , то можно получить приходящееся на единицу ее площади изменение свободной энергии Wp(1,2) системы B =B(1) U B(2) по отношению к свободной энергии совокупности несоединенных тел B(k) .
При этом энергия адгезии Fa =Wp(1,2) −Wp(1) −Wp(2) .
Для проведения расчетов поверхностной энергии Wap(k ) (t,r) необходимо произвести расчет распределения wa(k ) (t,r) . Для этого реша-
ется сопряженная задача следующего вида.
В каждой из областей V(k ) выполняются балансовые соотношения
для импульса (1.4) и энергии (1.12) с учетом выражений (1.8)–(1.11). В выражениях (1.8)–(1.11), в отличие от ситуации с одиночными телами B(k ) , необходимо учесть их взаимное влияние. Предполагается, что
в любой момент времени после вступления тел в адгезионный контакт взаимное влияние осуществляется только за счет потенциальных полей, создаваемых частицами тел B(k ) . Таким образом, в выражениях
(1.10), (1.11) необходимо учитывать, что
2 n−1
F =Fe +F f +∑ ∑ ∫ Φ( j+1) (T ,L ,...,L )dV ... dV − .
(k ) (k ,p) 0(k ) 1(k , p) n(k , p) 1(k ) n 1( p) p=1 j=1 V( k )
Здесь, как и ранее, величины Fe и F f определяются из [12].
На свободных от взаимного контакта участках границ Aa(k ) вы-
полняются краевые условия для внутренних напряжений (1.6), (1.7) или перемещений, а также условия, накладываемые на поле темпера-
тур T |
=T |
или тепловых потоков λ |
dT(k ) |
=q |
(T |
, q |
должны |
|
|||||||
(k ) |
A(k ) |
(k ) d n |
A(k ) |
A(k ) |
A(k ) |
|
|
|
|
|
(k ) |
|
|
|
|
быть заданы). На поверхности A(1,2) задаются условия сопряжения.
249