Упражнения
Найти общие решения.
=
1/x;
= -
;
=
1- (
)²;x
+
= 0;
=
sin x;
-
;(1- x)²
- x
=2;
(2y+3) –
2(
)²
= 0y
–
²
= 0y
–
(
)²
= 0
11.8. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (лоду)
Линейное однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
+ p
+qy
= 0, (11.53)
где p и q- действительные числа.
Можно доказать, что если y1(x) и y2(x) – линейно независимые*) частные решения ЛОДУ (2.13), то общее решение этого уравнения является их линейной комбинацией
y = C1y1(x) + C2y2(x), (11.54)
где С1 и С2 – произвольные постоянные числа.
Частные решения
можно найти в виде y =
(метод Эйлера), гдеλ
– действительное число.
Подставим y =
,y’
= λ
и
=
λ²
в ЛОДУ (11.53), сократим
,
получим
λ² + pλ + q = 0 - (11.55)
характеристическое уравнение ЛОДУ (11.53).
Частные решения зависят от вида корней уравнения (11.53)
Если D = p² - 4q>0, то (11.55) имеет два действительных различных корня λ1
λ2,
им
соответствуют частные решения
y1(x)
=
иy2(x)
=
(11.56)
Можно доказать, что функции(11.56) линейно независимы, тогда общее решение ЛОДУ (11.53) имеет вид
y
= C1
+C2
(11.57)
Если D = 0, то λ1=λ2 = λ, с качестве частных решений принимают линейно независимые функции
y1(x)
=
иy2(x)=
x
,
(11.58)
Общее решение:
y
= C1
+C2
,
или
y
=
(C1+
C2x)
(11.59)
Если D<0, то корни характеристического уравнения (11.55) комплексно- сопряженные
λ1,2
=
,
где
Линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
βx;
y2(x)=
cos
βx.
(11.60)
Общее решение:
y
=
(C1sin
βx
+ C2cos
βx
). (11.61)
Примеры
Найти общее решение ЛОДУ
11.40
–
5
+ 6y
= 0
Решение Составляем характеристическое уравнение:
λ² - 5λ + 6 = 0
Его дискриминант D>0, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня λ1 = 2; λ2=3, им соответствуют линейно независимые частные решения (2.16)
y1(x)
=
иy2(x)
=
и общее решение (2.17)
y
= C1
+C2
11.41
- 4
+
4y
= 0.
Решение. Характеристическое уравнение λ² - 4λ + 4 = 0 имеет дискриминант D = 0 и два равных действительных корня λ1 = λ2=2; линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
иy2(x)=
x
.
Oбщее решение:
y
=
(C1+
C2x).
11.42.
+
+
y
= 0
Решение. Характеристическое уравнение
λ² + λ + 1 = 0.
Дискриминант D<0. Корни:
λ1,2
=
;
линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
x;
y2(x)=
cos
x.
Общее решение:
y
=
(C1sin
x
+ C2cos
x
)
11.43. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y=1,
=1, при х = 0,
- 2
+ 2y
= 0.
Решение. Характеристическое уравнение:
λ² - 2λ + 2 = 0
Дискриминант D = 4-8 = - 4<0. Корни характеристического уравнения:
λ1,2
=
;
Линейно независимые частные решения:
y1(x)
=
sin
x; y2(x)=
cosx.
Общее решение:
y =
(C1sin
x + C2cos
x) (11.62)
Производная общего решения:
=
(
(C1-C2)sin
x + (C1-C2)
cosx ) (11.63)
Подставляем
начальные условия y=1,
=1,
при х = 0 в (11.62) и (11.63), получаем систему
линейных уравнений относительно C1
и C2:
или
откуда
С1=0, С2=1. (11.64)
Значения (11.64) произвольных постоянных подставляем в общее решение (11.62):
=
(
0sin x + 1cos x ), или
y =
cosx
–
частное решение исходного ЛОДУ, удовлетворяющее начальным условиям.