Рис 11.2

При k=1 имеем x² + y² = 1. Интегральные кривые в каждой точке этой окружности наклонены к оси ОХ под углом П/4. Зная изоклины, можно построить интегральные кривые данного ДУ.

11.2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

ДУ с разделяющимися переменными называются уравнения вида

= f 1(x) f 2(y), (11.3)

или

f 1(x) f 2(y)dx + f 3(x) f 4(y)dy = 0. (11.4)

Интегрирование

В уравнении (1.3) можно разделить переменные

= f 1(x) f 2(y) =f 1(x)dx, ,

берем неопределенный интеграл от левой и правой частей

- общее решение или общий интеграл, если у не выражен

явно через х .

В уравнении вида (1.4) делим почленно левую и правую части на , в результате в левой части получаем два слагаемых, одно из которых

зависит только от х, другое только от у:

;

интегрируем почленно

- общий интеграл ДУ (1.4)

Примеры

Найти общие решения дифференциальных уравнений

11.1 =xy

Решение. Имеем уравнение вида (1.2), где f 1(x)= х; f 2(y)= у.

Разделяем переменные:

= ху = х; у;

Интегрируем обе части:

Находим неопределенные интегралы

.

Здесь произвольную постоянную удобно обозначить ln C, далее

,

или ,

знак модуля убрали, так как при произвольном значении С всегда можно полагать,

что ;- общее решение ДУ=xy

11.2

Решение. Имеем уравнение вида (11.3), делим почленно на (произведение функций, зависящих от у в первом слагаемом и от х – во втором)

.

После преобразования получаем

;

Интегрируем:

; или ;или

, где =15С.

Получили общий интеграл исходного уравнения.

11.3 Решить задачу Коши: Найти частное решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям у=1 при х=0, или у(0)=1.

Решение В данном ДУ разделяем переменные

, интегрируем:

; или - общий интеграл данного

уравнения.

Подставляем в него х=0; у=1, получаем

.

Частный интеграл, удовлетворяющий начальным условиям.

, или

Упражнения

Решить дифференциальные уравнения:

11.1 y’=; 11.2 y’=;

11.3 y’= - ; 11.4 xy’-y=x²;

11.5 xyy’=1-x²; 11.6 y’ tgx=y;

11.3 Однородные дифференциальные уравнения

Однородной функцией измерения n называется функция f (x;y), такая, что

f (λx; λy)= λⁿ f (x;y), где λ € R.

Уравнение вида

P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (11.5)

называется однородным , если P(x;y) и Q(x;y)- однородные функции одного измерения, или ДУ вида:

= f (x;y) (11.6)

называется однородным, если f (x;y) – однородная функция нулевого измерения

Однородное ДУ может быть приведено к виду = φ (y/x). С помощью подстановки у = tx однородное уравнение приводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Пример

Найти общие интегралы ДУ

11.7 =

Решение Функция f (x;y)= является однородной функцией нулевого измерения. Действительно, f (λx; λy)= = - = - = f (x;y).

Замена переменных: у=tx y’=t’x+t x’ y’ = t’x+t

Выражения у и у’ через t и х подставляем в исходное уравнение, получаем

t’x + t = , или t’x= -t -1 – t; t’x= -1-2t –

ДУ с разделяющими переменными; разделяя их, имеем

, где t’ = ,

Интегрируем последнее ДУ:

, ,,

перенесли ln C в левую часть, использовали свойства логарифмов. Далее:

; или ;

Возвращаемся к переменной у

;

- общий интеграл однородного уравнения.