Решение задач по курсу Теоретические основы автоматизированного упра.-1
.pdfЗадачи для самостоятельного решения
Задача 8.2. Матрица перехода имеет вид
_["0,3 |
0,7" |
П " [ о А |
0,6 * |
Определить матрицу М.
Задача 8.3. Матрица перехода имеет вид
ГО,2 |
0,8“ |
71 = |
0,4 |
0,6 |
Определить матрицу М.
Задача 8.4. Матрица перехода имеет вид
ГО,5 |
0,5" |
п = |
0,7 |
0,3 |
Определить матрицу М.
Задача 8.5. Матрица перехода имеет вид
ГО,2 |
0,8“ |
п = |
0,7 |
0,3 |
Определить матрицу М.
Задача 8.6. Матрица перехода имеет вид
ГО,4 |
0,6" |
71 [ 0,8 |
0,2 |
Определить матрицу М.
Задача 8.7. Матрица перехода имеет вид
[0,8 |
0,2" |
Я “"[о,6 |
0,4 |
Определить матрицу М.
Задача 8.8. Матрица перехода имеет вид Г0,4 0,6"
0,5 0,5_
Определить матрицу М.
Практическое занятие № 9
КАНОНИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА
Теоретические сведения |
|
Пусть случайный процесс Д /) представлен в виде |
|
АГ(0 = ю ,(0 + 2 * > ,(0 , |
(9Л) |
/=1 |
|
где mx(f) - математическое ожидание случайного |
процесса Д/); |
ф.(/) - неслучайные функции времени; К,-случайные величины, причем
Щ У,] = 0; M[VfVj] = 0; если
О Д 2] = А -
Здесь Dj - дисперсия случайной величины К;; т - количество неслу чайных функций в каноническом разложение.
Соотношение (9.1) называется каноническим разложением случай ного процесса Д/).
Соотношению (9.1) соответствует корреляционная функция вида
к х0, ,t2) = I ф,А )ф,0 2 )■ А - |
{92) |
/=1 |
|
Соотношение (9.2) называется каноническим разложением корреля |
|
ционной функции Kx{tu h)- |
|
Из (9.2) определим дисперсию Dx(t) случайного процесса Д/). |
|
Имеем |
|
Dx(t) = Kx( t , t ) = z h ( t ) f - D r |
(9-3) |
/=1 Решение типовых задач
Задача 9.1. Случайная функция Д /) задана каноническим разложе
нием: |
|
|
X(t) = 3/ + Д • cos со/ + Д |
• sin со/ + Х ъ • cos 2со/ + Х 4 • sin 2со/. |
|
Случайные величины Д , Д , Д , Д |
имеют следующие математические |
|
ожидания и дисперсии: |
|
|
т х, = т Хг = т Х} = т х ( |
= 0; D XI = DXi = 1; DXi = D X i = 3. |
|
Определить mx{t), Kx(tu t2), Dx{t). |
|
|
Решение. Найдем mx(l). Имеем |
mx{t) = 3t. |
|
Определим Kx(tt,t-,). Получим
Кх(/, ,t2) = cosЩ - coscot2 +sin со/, • sin co/2 + + 3cos2atf, •COS2CO/2 + 3sin2col, sin2cof2 =
= cosoo(/j - / 2) + 3cos2oo(/, - t 2). Определим Dx(t). Имеем
Dx(t) = K x(t,t) = 4.
Задача 9.2. Случайная функция X(t) задана каноническим разложени
ем:
X(t) = 2t + Х ] -sm t + X 2 - cost.
Случайные величины Х и Х2 имеют следующие математические ожи дания и дисперсии:
™X l=mX l=0; DXi=DXi=3-
Найти каноническое разложение случайной функции Y(t) вида
Y(t) = t - X ( t ) - t 2
Определить my{t), Ky(tu t2), D/t).
Решение. Найдем каноническое разложение Y{t). Имеем
Y(t) = / 2 + X I/- s in / + .Ar2/-cosf. Определим ту(1). Получим
my{t) = t2
Найдем Ky(tu t2). Имеем
Ky((l,t2) = 3/,/2 sin^ - sin/2 + 3/,/2 cos/( • cos/2 =
= 3/,/2cos(/1- t 2).
Определим Dj[t). Получим
Dy(t) = Ky(t,t) = 3t2.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9.3. Найти математическое ожидание, корреляционную функ цию и дисперсию случайной функции
X(t) = Х ] - sineot +X 2 -cosatf + 3t2,
где X |, X2 ~~некоррелированные случайные величины с т |
A'l |
- 2 'т |
=01' |
|
9 |
5? |
Dx< =0,01-DXi =0,04.
Задача 9.4. Случайная функция X(t) задана каноническим разложе
нием:
X ( t ) = sin t + X x -sin 2 t + X 2 -cos2/.
Случайные величины X h X2 имеют следующие математические ожидания и дисперсии:
^х, = тх2 ~ |
^ х\ ~ |
^ xi = ®’^* |
Найти каноническое разложение случайной функции У(/) вида
Y(i) = 2 t - X ( t ) + t * - \ .
Определить my (t), K y (tx,t2), Dy (t).
Задача 9.5. Случайная функция X{t) задана каноническим разложе нием:
X ( t ) = t + 2 + X xt 2 + X 2t 3 +
Случайные величины Х [у Х2, Д имеют следующие математические ожидания и дисперсии:
7 7 2 “ 171х2 ~ тхъ ~ |
^Х\ ~ ^ ^ х г |
^ ~ ОД • |
Найти каноническое разложение случайной функции Y(t) вида
н о
«(О Определить my (t), K y(tx,t2), Dy(t).
Задача 9.6. Корреляционная функция К х (t{, /2 ) случайной функции ДО задана каноническим разложением:
Kx(t\,t2) = 2s\n(x)t\ -sin©r2 +4cos(otx -coscot2.
Найти каноническое разложение случайной функции X(t)9 если ее
математическое ожидание mx(t) = t2 + 3.
Практическое занятие № 10
ЗАДАЧА ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ЛИНЕЙНОГО ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Теоретические сведения
Рассмотрим объект управления, возмущенное движение которого
описывается в первом приближении уравнением |
|
x(t) = А • *(/) + В • u(t); х(/0) = х(0), t0 =0 > |
(10-1) |
где А и В - заданные матрицы чисел размеров пхп и пхт соответствен но; x(t) вектор состояния размерности пх 1; u(t) - вектор управления размерности mxl.
Рассмотрим также критерий |
|
|
|
|
j = ?[*7'(ол,*(о+ ur m 2u(t)]dt |
> |
(10-2) |
где Rj |
'о |
|
|
и R2 - положительно определенные симметрические матрицы раз |
|||
меров |
пхп и тхт. Тогда задача определения w(/), t0 |
< t |
< оо, при ко |
торой критерий минимален, называется задачей детерминированного ли
нейного оптимального регулятора с постоянными параметрами. |
|
Закон управления определяется соотношением |
|
u(t) = -Fx{t) > |
(10.3) |
где |
|
F = R ?B TP- |
(Ю.4) |
Установившееся решение Р является решением алгебраического |
|
уравнения Риккати |
|
0 = Rl -PBR -'BTP + ArR + PA- |
(10.5) |
Р является неотрицательно определенной матрицей. |
|
Решение типовых задач
Задача 10.1. Система управления положением.
Движение антенны может быть описано дифференциальным уравне
нием |
|
JQ(t) + B&(t) = x(t) • |
(Ю.6) |
Здесь J - момент инерции всех вращающихся элементов конструк |
|
ции, включая антенну; В - коэффициент вязкого трения; т(/) |
- момент, |
развиваемый двигателем. Предполагается, что момент, развиваемый дви гателем, пропорционален входному напряжению , т.е. т(у) - •
Определяя переменные состояния |
х }(t ) = © (/) и х 2(/) = |
|
||||||||||||||
пишем дифференциальное уравнение состояния в виде |
|
|
||||||||||||||
|
|
x(t) = |
|
|
-а *(0+ |
р(0 ’ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
*(0 = [*|(0 |
|
*2 (Of |
|
|
х = У |
|
|
|
||||||||
|
|
а = 7 ’ |
|
|
|
|||||||||||
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
тс |
т |
|
П |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.8) |
|
|
J = J[*T(0 |
|
О |
О |
*(0 + рр2(0]Л. |
|
|
|
|
||||||
Определить u(t)\ устойчивость замкнутой системы. |
|
|
||||||||||||||
Решение. В обозначениях (10.1) - (10.5) имеем |
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
В = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
о |
R 2 = |
P ‘ |
(10.9) |
А = |
|
|
|
|
и(0 = и(0 ; |
R\ = |
о |
о |
|
|||||||
-ос |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Подставляя (10.9) в (10.5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 = |
~1 0' - р |
" 0 “ |
• - [ о |
г \ р + '0 |
|
0 "Р + Р’ 0 |
1 “ |
( 10.10) |
||||||||
|
о оJ |
|
_х_ р |
|
|
|
1 - а |
|
0 - а |
|
||||||
Пусть Ру, i j |
=1, 2 обозначают элементы матрицы Р. Тогда, учитывая |
|||||||||||||||
Р12 = Ргъ получим из (10.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 = |
1 |
0 |
Рп |
Л2 |
|
0 |
0 |
|
|
Ри |
Р\2 |
|
( 10.11) |
|||
0 |
0 |
_Р\2 |
Рц. |
|
о |
Х2/р. |
|
>12 |
Рц |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 ' |
>11 |
|
Рп |
|
>п |
1 |
'0 |
1 " |
|
|
||||
|
|
|
+ |
> N) |
|
|
|
|||||||||
|
|
- а |
7*12 |
|
Рц_ |
>12 |
К) |
|
|
0 |
- а |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
Из (10.11) получим следующие алгебраические уравнения: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
V2 |
п2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 = 1- X |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10.12) |
|
|
0 — |
|
|
Р\2Р22 + |
а ^ 2» |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
---P&+2Pi2-2aP22. |
|
|
|
|
|||||||||
Р
Из (10.12) определим Рц, Рп, Ргг. Имеем
(10.13)
121
X
-- - Р22- 2аРп + 2— = 0 ’
РX
|
2 а -,|4 а 2 +4-" -2— |
/ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
.. 2 |
P |
X |
= P |
- a |
+ |
la 2 |
+ 2x |
|
|
|
|
|
|
„2 |
|
|||||
|
|
- |
2- |
|
|
V |
|
|
|
s |
|
^11 “ |
^ 12^22 + |
0 t ^ l 2 “ |
^12 |
— P22+a |
= VP . C ^+2X - |
C10.15) |
|||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
VP |
|
Определим матрицу F из соотношения (10.4). Имеем |
|
||||||||||
|
^ = i [0 |
|
х]. |
Л| |
^12 |
= - b f n |
%ргг]> |
(10.16) |
|||
|
Р |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
Соотношение (10.16) с учетом (10.13) и (10.14) примет вид |
|
||||||||||
|
F = |
|
1 |
|
Г |
1. 1 2.2х' |
|
|
(10.17) |
||
Таким образом |
|
.VP |
X1 |
|
V |
|
vpJJ |
|
|||
|
|
|
ц(0 = - ^ - * ( 0 - |
|
|
|
(10.18) |
||||
Подставим (10.18), (10.19) в (10.7). Получим |
|
|
|
|
|||||||
*(/) = "0 |
1‘ |
|
"0" |
|
1 |
V а - |
/а2 + |
*(0 |
|
||
0 |
-а ■■*(<)+_х_'.“ VP |
X, |
|
|
|
VP |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = |
^ |
- |
/а2 + — |
*(0 - |
|
|
(10.19) |
|||
|
|
|
|
||||||||
^V Л/Р.
Таким образом, оптимальная замкнутая система описывается уравне нием (10.19).
Введем обозначение
0 |
1 |
(10.20) |
|
С = JL |
- Ао.2 + 2% |
||
|
|||
'V& |
Гр |
|
Определим характеристический полином замкнутой системы. Имеем
det(S/-C) = det |
? |
-1 |
= 52+5 Iа 2+ ^ |
+-х |
|
* |
£ + la |
|
|||
|
VP |
V |
л/р |
VP |
VP |
Характеристическое уравнение имеет вид |
|
|
|||
S2 +S |
|а 2+ ^ |
+ 4 = = 0 ' |
( 10.21) |
||
|
|||||
VP VP
Определим корни характеристического уравнения. Имеем
или
( 10.22)
Следовательно, оптимальная замкнутая система устойчива.
Задача 10.2. Задача стабилизации угловой скорости.
Объект состоит из двигателя постоянного тока, управляемого вход ным напряжением р,(ф с угловой скоростью вала £,(/) Система описы
вается скалярным дифференциальным уравнением состояния:
4(0 = -<*5(0+ХЦ(0. 4(^о) = со, —ш0, 4(°°) - 0 >
где а и х - известные константы. Критерий оптимальности имеет вид
у= 7[*г(0-1-х(0 + рц2(0]Л
Вобозначениях (10.1) - (10.5) имеем
*(0= $ (0 ;« (')= ц ( 0 ; А = - 0С; 5 = Х; Я, = 1;Я2 = р
Подставляя (10.25) в (10.5), получим
у 2
0 = 1- — Р2 - 2аР-
Р
Из (10.26) определим Р. Имеем
Определим матрицу F из (10.4). Получим
или
Таким образом
№ = - т г
Подставим (10.28), (10.27) в (10.23). Имеем
(10.23)
(10.24)
(10.25)
(10.26)
(10.27)
(10.28)
или
4(/) = - Л|а 2+ £ --4(/) |
(10.29) |
Эта система асимптотически устойчива.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10.3. Рассмотрим спутник, который вращается относительно своей оси симметрии. Угловое положение спутника в момент / обозначим через ср(/), а постоянный момент инерции спутника - через J. С помощью
газовых струй к спутнику может быть приложен вращающий момент ц(/), который рассматривается как управляющее воздействие системы.
Трение отсутствует. |
Определяя |
переменные |
состояния |
= |
и |
|||
x2(t) = ф(/)> запишем дифференциальное уравнение состояния в виде |
||||||||
|
*(0 = |
о |
1 |
*(<)+ |
И(/)’ |
|
(10.30) |
|
гдах(0= [*,(0 * 2( о |
о |
о |
|
|
||||
Г .Р=7 |
|
|
|
|
|
|
||
Критерий, оптимальности имеет вид |
|
|
|
|
||||
|
» |
т |
п |
о" |
|
(t)]df |
|
(10.31) |
J = \ [ x T(t) |
о |
x(0 + pp |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Определить оптимальный закон управления ц(/) = -F x(0 и прове
рить оптимальную замкнутую систему на устойчивость.
Задача 10.4. Система описывается дифференциальным уравнением состояния вида
о |
1 |
"0" |
*(0 = -« о |
~ а 1 *(0 |
+ Ь и(0 * |
№ * (/) = [*,(') ^2(0]7 |
|
|
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
1 |
о |
|
•/= ([*'(') о |
о *(0 +ри2(0]Л ‘ |
|
Параметры а 0,а ,,р ,Ь имеют значения: а 0 =2; а, = 1; р = 0,002; 6 = 0,787.
Определить оптимальный закон управления u(t) = -F |
x{t) и прове |
|||||
рить оптимальную замкнутую систему на устойчивость. |
|
|||||
Задача 10.5. Система описывается дифференциальным уравнением |
||||||
состояния вида |
'0 |
0" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т |
- 1 |
|
x(t) + |
и(0’ |
|
|
0 |
|
|
||||
где x(t) = [x,(f) х2(/)] |
|
|
|
|
|
|
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
||||
« |
Т |
Го |
|
о |
|
|
у = Я*г(0 |
о |
1 х(0 + Р«' W |
|
|||
Определить оптимальный закон управления u(t) = —F |
x(t) и прове |
|||||
рить оптимальную замкнутую систему на устойчивость. |
|
|||||
Задача 10.6. Система описывается дифференциальным уравнением |
||||||
состояния вида |
Г-а |
0‘ |
|
|
|
|
|
х(0 + |
< ty |
|
|||
|
1 |
|
0 |
|
||
х(/) = |
|
|
|
|
||
где x(t) = [х,(0 x2(t)\T |
|
|
|
|
|
|
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
||||
«> |
т Го |
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
х(0 + pH (t)]df |
|
|
|
|
|
|
x(t) и прове |
||
Определить оптимальный закон управления w(/) = -F |
||||||
рить оптимальную замкнутую систему на устойчивость. |
|
|||||
Задача 10.7. Система описывается дифференциальным уравнением |
||||||
состояния вида |
- а , |
- а п |
|
|
||
|
|
|
||||
т = |
1 |
|
0 |
*(0+ «(ty |
|
|
где х(0 = [х,(0 х2(/)Г |
|
|
|
|
|
|
Критерий оптимальности имеет вид |
|
|
||||
® |
т Го |
|
о |
|
|
|
J = J[*r (0 |
о |
1 x(t) + pu\l)]dt |
|
|||
Параметры а 0,а„р,6 имеют значения: ао=2; а , = 1; р = 0,002; 6 =0,787. |
||||||
Определить оптимальный закон управления u(t) = -F |
х(/) и прове |
|||||
рить оптимальную замкнутую систему на устойчивость. |
|
|||||