Применение метода конечных элементов
..pdf
Уравнение (4.10) не используется в этом учебнике. Оно включе но только для того, чтобы познакомить читателя с его существо ванием.
4.2. Векторные величины
Включение элемента при рассмотрении векторных величин про водится с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые при ведены в случае скалярной величины. Правильно пронумерован
6
Фиг. 4.2. Пятиэлементная область с обозначениями компонент вектора перемещений.
ные узловые перемещения для области на фиг. 4.1 показаны на фиг. 4 .2 . Общее уравнение для элемента (3.23) приведено здесь
для удобства:
JVf> |
О |
N je) |
0 |
N p |
0 |
(4.11) |
|
Nje) |
|
N f |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
Л#’ |
|
Соответствие между узлами элемента £, / и k и глобальными узлами идентично представленному в (4.2), если только исполь зуются те же самые отправные узлы. Соотношения для четвертого
элемента i= 6, |
j = 3, k = 5 сводятся |
к следующим: |
|
||||
|
|
|
|
|
|
fA i |
|
|
N<*> |
0 Щ4> |
0 |
Щ4> |
А , |
|
|
|
° 1 А |
(4.12) |
|||||
|
Щ 4) |
0 |
|
||||
|
0 |
Щ4) |
0 |
A |
|
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
А о |
|
Уравнения |
(4.12) |
представляют |
собой |
сокращенную |
форму |
||
уравнений для ы<4) и v(4\ Расширенная форма будет включать все 12 узловых значений Uu .... £/12. Расширенная форма уравнений,
определяющих элементы, для области на фиг. 4.2 дана |
в |
(4.13) |
|||||||||||||
(и"> |
-ЩЧ |
0 |
ЩЧ |
0 |
N0> |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
- |
'А |
|
А |
|||||||||||||||
у ( 1 ) |
0 |
iV(') |
0 |
|
6 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и«> |
0 |
0 |
|
0 |
NP |
0 |
Щ 2> |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
А |
|
у ( 2 ) |
0 0 0 |
|
0 А® |
0 А 2) 0 0 0 0 |
|
А |
|||||||||
|
0 |
|
|||||||||||||
„ ( 3 ) |
0 |
0 |
0 |
А® |
0 |
У<3) |
0 |
А 3) |
0 |
0 |
0 |
|
А |
||
у ( 3 ) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 Щ 3> 0 |
|
0 А 3) 0 |
0 |
|
А |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и* |
0 |
0 |
0 |
0 |
N <4) |
0 |
0 |
0 |
Щ 4) |
0 |
JV<4) |
0 |
|
А |
|
V4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Щ 4> |
0 |
0 |
0 |
Щ4> |
0 |
Щ4) |
|||
А |
|||||||||||||||
и6 |
Щ5) |
0 |
0 |
0 |
Щ*> |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
А® |
0 |
|
Ао |
|
и6 |
0 |
|
0 |
0 |
0 Щ5> 0 |
0 |
0 |
0 |
0 А® |
|
A i |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.13) |
|
4.3. Выводы
Изложенные в этой главе идеи очень просты, .но и очень важ ны, потому что позволяют осуществить закрепление элемента в
каркасе тела. Воспроизведение этого процесса для отдельных эле ментов дает возможность аппроксимировать скалярную или век торную величину на всей области кусочно-непрерывной функцией.
Задачи
23—26. Определите соотношения, с помощью которых можно осуществить включение элементов в области, изображенные ниже. Отправной узел отмечен звездочкой. Узловые координаты даются в круглых скобках.
27—30. Получите общие уравнения, определяющие элемен ты, для областей в задачах 23—26, если в каждом узле рассма тривается одна неизвестная.
31—33. Получите общие уравнения, определяющие элемен ты, для областей в задачах 24—26, если в каждом узле рассма
триваются две векторные компоненты.
34—37. Запишите интерполяционные соотношения для первого элемента каждой из областей в задачах 23 26 через х и у (х в задаче 23), предполагая, что в каждом узле отыскивается одна неизвестная.
5 -7 6 3
идля задач теории упругости, -представлены в виде поверхностных
иобъемных интегралов, которые вычисляются при рассмотрении конкретных областей применения.
При последующем обсуждении предполагается наличие неко торых предварительных знаний стандартной терминологии рас сматриваемого материала. Размерности различных величин вмес те с их общепринятыми обозначениями приводятся в главах при кладного характера.
5.1. Простой пример: перенос тепла в стержне
Лучше всего процесс минимизации можно проиллюстрировать при рассмотрении простой геометрической фигуры. Рассмотрим одномерный поток тепла в стержне с теплоизолированной боко вой поверхностью (фиг. 5 .1,а)1). К закрепленному в стене концу
|
А |
И) |
тЛ!> |
(2) |
|
|
L0> |
_ |
иг> |
|
|
|
б |
|
|
Фиг. 5.1. Двухэлементная модель, используемая в зада |
|||
|
|
че о переносе тепла в стержне. |
||
стержня |
подводится тепловой |
поток заданной интенсивности q. |
||
На свободном |
конце стержня происходит конвективный обмен |
|||
тепла. |
Коэффициент |
теплообмена /г, температура окружающей |
||
среды Гоо, °С. Стержень теплоизолирован, так что потерь тепла через боковую поверхность не происходит.
Или в бесконечной пластине. — Прим. ред.
5*
Уравнение (5.4) служит отправной точкой для определения температуры в каждом узле. Мы минимизируем функционал (5.4), используя множество функций элементов, каждая из кото рых определена на отдельном элементе и выражена через узло вые значения. Узловые значения У'р — неизвестные величины в-- нашей формулировке. Так как они определяют значение функцио нала %> минимизация % должна быть проведена по этим вели чинам.
Реализация метода конечных элементов начинается с опреде ления подобластей и их узловых точек. Стержень может быть
разбит на два линейных элемента |
(фиг. 5.1,6) с узловыми зна |
|||
чениями Т1, Т2 и |
Г3. Температура |
внутри элементов находится |
||
из формул |
|
|
|
|
|
Т(1)=N M T1+ |
Np T2t |
||
|
|
|
|
(5.7) |
|
T M = N ^ T 2+ N W T 3. |
|||
Соответствующие функции формы определены соотношениями |
||||
>?()_ Х]~х |
N ( )= |
x - X j |
||
Nt |
~~ LO |
’ |
' |
L<) ' |
Для .рассматриваемого примера функционал представляет собой сумму следующих интегралов:
z = J 4 - |
[ - Т - ] М + J ят (X) ds + |
|
|
+ ^ J L lT(x ) - T cordS, |
(5.8) |
|
s2 |
|
где S { и S2— площади поверхностей, на которых заданы |
? и ft. |
|
Значение функционала х получается подстановкой температуры Т(х) и вычислением интегралов.
Поверхностные интегралы легко вычисляются, так как подын тегральным выражениям соответствуют узловые значения. Начнем
с интеграла, включающего тепловой поток q: |
|
|
|
ГqT (х) dS = qT xj dS=qT1A1 |
(5.9) |
S i |
S i |
|
где Ai — площадь поперечного сечения стержня, соответствующая первому узлу. Функция, описывающая изменение температуры Т(х), принимает постоянное значение Т\ в точках сечения, соот
ветствующего первому узлу. Рассмотрим поверхностный интеграл, включающий коэффициент теплообмена h:
J -j- \Т (*) —Too]2 dS = - | - (Т3-Too)2j dS =
$2 |
|
|
S2 |
|
|
= |
hAs (T3- |
Tm)^ = _Mg_ (Т2 _ 2ГзГоо+ 7^)f |
(5.10) |
||
где Л3 — площадь |
поперечного |
сечения |
стержня и Т3— темпера |
||
тура в третьем узле. |
|
|
|
|
|
Объемный интеграл в (5.8) содержит производную от темпе |
|||||
ратуры. Дифференцируя (5.7), имеем |
|
|
|||
|
1) |
1 |
( - Т г + Т,) |
(5Л1) |
|
и |
dx |
ISD |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L<2> ( - П + |
П ). |
|
|
Объемный .интеграл должен быть разбит на два интеграла, потому что выражение для dT/dx не сохраняет непрерывности по объему тела в целом. Разделение, подстановка и интегрирование дают
*£М (1) ( - Т 1 + Т2)2 +
2
К%Л1Ш) ( - Т 2 + Т3)2. |
(5.12) |
2LS2) |
|
При вычислении интеграла предполагалось, что площадь попереч ного сечения каждого элемента постоянна, так что dV=A^dx.
Представление объемного интеграла по области в виде суммы интегралов, каждый из которых вычисляется по отдельному эле менту, позволяет рассматривать различные свойства материала для различных элементов. Это является важной особенностью ме тода конечных элементов.
Значение функционала % получается сложением выражений (5.9), (5.10) и (5.12). В результате получается выражение для
этого функционала через узловые значения температуры: |
|
Х = —^—(Т\-2Т{Гг+ Т1) + ^ ~ (Т\ - 2 7 ^ 3 + П) + |
|
+ дА1Т1 + - ^ - ( Т 1 - 2 Т 3Тоо+ Т1), |
(5.13) |
где СМ=АМК(»1И» и CW=Aw KWfLW. |
|
Правильными значениями Ти Т2 и Тг являются те, ври которых величина %минимальна, поэтому
= С (1)Тj —С(1)Т2 + <7^=0,
|
дХ |
|
-С(1)7 \ + |
[С(1) + С(2)] Т2—С™Т3= 0 , |
(5.14) |
||
|
дТ2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ. |
_ |
—CWT2+ [С<3) + hA3] Т3—hA3Tсо=0. |
|
|||
|
дТя |
= |
|
||||
Уравнения |
(5.14) |
могут быть преобразованы к виду |
|
||||
- |
£(1) |
—С(1) |
0 |
(7\1 |
—qAx' |
|
|
|
_ £ U ) |
|
[С(1>+ С'2)] |
—с (2) |
\ т* .= |
0 |
(5.15) |
|
0 |
|
—С(2) |
[C{24 h A 3] |
W |
hA3Fсо |
|
или к более общей матричной форме |
|
|
|
||||
|
|
|
[К] {T} = {F}. |
|
|
(5.16) |
|
Матрицу коэффициентов [/(] в формуле (5.16) обычно называют глобальной матрицей жесткости. Более уместным было бы назвать ее глобальной матрицей теплопроводности, поскольку мы имеем дело с задачей переноса тепла. Векторный столбец {F} есть гло бальный вектор нагрузки.
Последний шаг нашего анализа заключается в задании кон кретных значений для физических характеристик материала и получении числовых значений температуры Т\, Г2 и Т3. Пусть
Кхх= 75 Вт/(см-°С),
h = 10 Вт/(см2-°С),
А= - см2,
Ь= 7,5 см,
q= — 150 Вт/см2
(минус поставлен потому, |
что тепло подводится к телу) и 7'00 = |
= 40 °С. Вычисляем коэффициенты: |
|
C(1>= |
^ J S -= 2 0 jr= C (2), |
|
о , / о |
ЛЛ3 = |
107Г, |
—qA±= |
—(— 150) тг = 150тг |
и |
|
hA3Too= 10--л-40= 400 тг.