кают вследствие стеснения деформаций сжатия. Поскольку на проти­ воположной стороне «стойки» этого стеснения нет, то возникает не­ равномерность распределения напряжений, эквивалентная изгибу.

абсолютно жесткие вставки

На рассмотренных примерах мы постарались показать, что вопрос идеализации конструктивных решений очень многозначен, и невозможно охватить это многообразие. Важно, чтобы инженер всегда понимал, что, осуществляя построение компьютерной модели, он идеализирует конструкцию и всегда должен оценивать адек­ ватность этой идеализации.

4.Этап анализа (оценки) результатов компьютерного моделирования

В«домашинную» эпоху считалось, что если получаются расхо­ ждения теории с практикой, то они объясняются или неточностью исходных данных, или арифметическими ошибками счета. При рас­ чете на ЭВМ основными источниками расхождений являются: не­ правильное составление расчетных схем (компьютерных моделей) или некорректное использование программного обеспечения и намно­ го реже ошибки в программном обеспечении. При решении любой

задачи необходимо тщательно проверять:

а) размерности использованных величин;

б) характер зависимости результата от изменения некоторых исходных данных, включая проверку таких свойств, как ожидаемая симметрия (антисимметрия) или нечувствительность к некоторым параметрам.

Оценка сходимости результатов решения. В теории МКЭ большое внимание уделяется проблеме сходимости, т.е. асимптоти­ ческому поведению оценок точности получаемого приближенного решения при неограниченном сгущении сетки конечных элементов. Для совместных элементов установлен ряд важных теорем о сходи­ мости, и в промышленных программных комплексах обычно получе­ ны оценки сходимости для всех совместных конечных элементов, входящих в библиотеки этих программ, что дает возможность при­ близительно назначать требуемую густоту сетки конечных элементов в конкретных задачах.

Правда, упомянутые выше оценки скорости сходимости ориенти­ рованы на выяснение асимптотических свойств решения, а практиче­ ского расчетчика интересует степень близости приближенного реше­ ния, полученного на вполне определенной сетке конечных элементов, так называемая «практическая сходимость», под которой мы будем понимать возможность получения приемлемой точности при сравни­ тельно грубом разбиении. На практике сходимость обычно проверяют путем повторного рассмотрения задачи на другой более мелкой сетке элементов. Эмпирически установленный факт устойчивости результа­ та при сгущении сетки является весьма убедительным доводом в поль­ зу правильности выбранного подхода к решению.

Теоретические исследования сходимости весьма важны, но здесь имеются и некоторые серьезные проблемы, которые расчет­ чик должен учитывать. Одна из первых проблем состоит в том, что

при удовлетворительной практической сходимости по перемеще­ ниям MOitym не так хорошо сходиться интересующие расчетчика внутренние усилия или напряжения. Они определяются дифференци­ рованием перемещений, а при этом незначительному изменению функции может отвечать значительное изменение производной. Таким образом, проверки практической сходимости должны быть ориентиро­ ваны на Исследование тех результатов, которые требуются в решаемой задаче. При этом имеется определенная трудность в сопоставлении напряжений, полученных на сетках разной густоты, которая связана

На рис. 12.20 приведены результаты расчета по п ерем ещ ен и ям ,

изгибаю щ им м ом ен т ам и поперечны м силам для конечных элемен­ тов различного типа, полученные на указанных сетках.

в

При организации проверки практической сходимости следу­ ет учитывать, что решаемая задача может иметь неприятные осо­ бенности, связанные с н ек о р р ек т н о й и деализаци ей , например, идеализацией нагрузки в виде сосредоточенной силы, о чем го­ ворилось выше.

В следующей серии численных экспериментов та же пластин­ ка была загружена со ср ед о т о ч ен н о й си л ой . Результаты, представ­ ленные на рис. 12.21, оказались менее оптимистичными. Здесь за­ медлилась скорость практической сходимости по м о м ен т а м , и еще более существенно - по п оп ереч н ы м си лам , значения которых взя­ ты в точке, расположенной на расстоянии четверти толщины от цен­ тра пластинки.

По-видимому, для поперечных сил, вообще, не следует брать во внимание значения для точек, расположенных вблизи места при­ ложения сосредоточенной нагрузки.

Рис. 12.21. Сходимость результатов при нагружении сосредоточенной силой: а - по прогибам, б - по

моментам, в - по поперечным

силам

в

Таким образом, проверку практической сходимости стоит орга­ низовать на примерах, близких к практически интересующему классу задач, но таких, для которых имеются точные решения и у которых известны их неприятные особенности.

Исследование сходимости с помощью метода фрагмента­ ции. Большую задачу вряд ли стоит решать целиком на сгущаю­ щихся сетках. Для уточнения могут быть рекомендованы приемы последовательной серии расчетов некоторых фрагментов системы {метод фрагментации) с введением на этих фрагментах более мел­ кой сетки конечных элементов. Такой метод реализован во многих программных комплексах. Метод фрагментации делает возможным изъятие из полной расчетной модели, например целого здания, не­ которой ее части: отдельного этажа, части этажа, несущей стены или

ее фрагмента (рис. 12.22), перестроение сетки и более подробный анализ для выделенной области - наиболее слабых участков в кон­ струкции здания или фундамента, в местах концентраторов на­ пряжений.

Рис. 12.22. Фрагмент несущей стены здания

Это может повысить эффективность численного моделирова­ ния, так как сначала делается анализ для грубой сетки, а затем для интересующей области - подмодели - измельчается сетка и уточня­ ется расчет.

При расчете Подмодели полная ее граница образуется объеди­ нением Двух частей: 1) части границы фрагмента (которая может быть и нулевой), являющейся одновременно и 2) границей полной расчетной схемы И части границы фрагмента, образуемой при его выделешщ из полной конструкции и не являющейся границей пол­ ной конструкции.

Краевые условия на границе 1) наследуют соответствующие краевые условия полной конструкции на той же границе. Что каса­ ется краевых условий на границе 2), то здесь возможны ст ат иче­ ские, кинем ат ические и см еш ан ны е краевые условия.

Из ДолученнсФо таким образом решения можно использовать ту часть, которая относится к точкам, расположенным на некотором удалении внутрь от границ подмодели.

Пример. В качестве иллюстрации ниже приведены результаты расчета фрагмента стены, выделенного из пространственной модели

полного здания. В приведенном примере рассматривался вариант кинематических краевых условий на границе 2), т.е. равенство пе­ ремещений из расчета грубой модели и фрагмента.

Исследовалось влияние размера сетки на фрагменте несущей стены (см. рис. 12.22) на результаты расчета при решении полной задачи на разных грубых сетках. Фрагмент разбивался на конечные элементы с максимальным размером элемента 0,5 м (обозначение РМ-05), 0,25 м (РМ-025) и 0,1 м (РМ-01) и числом степеней свободы 786, 2232 и 12030 соответственно.

На графиках (рис. 12.23, 12.24) показаны изменения перемеще­ ний иг и интенсивности напряжений а, в точке 1 для разных разме­ ров сеток фрагмента. При этом на полных моделях (все здание) ис­ пользовались грубые сетки с максимальным размером конечного элемента 1 м (GM-1) и 2 м (GM-2).

Анализируя полученные результаты численных экспериментов можно отметить, что для достижения практической сходимости как по перемещениям, так и по напряжениям на полной модели можно использовать достаточно грубую сетку, уточняя решение лишь в зоне подмодели.

UZ, M

Рис. 12.23. Перемещения UZ в точке 1для полных моделей GM-1 и GM-2 и фрагмента с разными сетками, выделенного из соответствующих моделей:

—А— Uz(GM-l); —■— Uz(GM-2)

Рис. 12.24. Интенсивность напряжений oi в точке 1

для полных моделей GM-1 и GM-2 и фрагмента с разными сетками, выделенного из соответствующих моделей:

—oj(GM-l); — ■— 0,(GM -2)

Оценка точности полученного решения. При решении любой достаточно ответственной задачи следует проанализировать каче­ ство полученного решения, т.е. точность полученных результатов. Известно, что на любой свободной поверхности конструкции долж­ ны выполняться естественные краевые условия, т.е. вектор напряже­ ний должен быть равен нулю. Из теории метода конечных элементов известно [79], что ошибки в напряжениях в пределах сеточного раз­ мера h могут менять знак.

На рис. 12.25 показаны результаты расчета напряжений ах на левом торце стены по высоте здания для четырех сеток конечных элементов: с максимальными размерами КЭ 4 м, 2 м, 1 м и 0,5 м (обо­ значение КЭ-4, КЭ-2, КЭ-1 и КЭ-05) в виде отношения ах в конкрет­ ном узле к максимальной величине аХ1ШХ.

Из рисунка видно, что уже на сетке КЭ-1 естественные краевые условия практически выполняются, а это свидетельствует о точно­ сти полученного численного решения.