Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчета
..pdfКорреляционная функция перемещений w(x, () затем определяется по формуле
оооо
K w (х, t; х', О = § $ Sq(*’ ®)Ф*(*, t\x, (о)гр(х', Г\к, a>)dxdo>.
—оо — оо
Вотличие от методов, разобранных ранее, этот метод дает решение
вформе кратных интегралов. Метод пространственных преобразова ний Фурье особенно эффективен в случае бесконечных и полубесконечных областей.
§ 1.14. Методы решения нелинейных стохастических краевых задач
Решение нелинейных задач для распределенных систем сопряже но со значительными трудностями. Лишь очень немногие задачи имеют точное решение в замкнутом виде. Поэтому в данной области преоб ладают приближенные методы. Большая часть приближенных методов статистический динамики дискретных систем, которые были описаны выше, может быть распространена на распределенные системы. Таков, например, метод замыкания цепочки уравнений относительно моментных функций при помощи статистических гипотез о связи между стар шими моментными функциями. Метод малого параметра, метод стати стической линеаризации и некоторые другие также легко обобщаются на задачи, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных.
Обсуждение нелинейных стохастических задач для распределен ных систем мы проведем на примере, допускающем решение в замкну-, том виде (этот пример был впервые рассмотрен в статье [20]). Пусть бесконечно длинная круговая цилиндрическая оболочка нагружена осесимметричной случайной нагрузкой с интенсивностью q{x), кото рая является однородной случайной эргодической функцией осевой координаты х. Допустим, что закрепление оболочки таково, что на достаточно большой ее длине а взаимные осевые перемещения точек срединной поверхности й среднем равны нулю. Решающим нелинейным фактором будет осевая сила, препятствующая сближению сечений; эта сила определяется Как
(215)
Вследствие эргодичности функции w(x) правая часть содержит ма тематическое ожидание от квадрата производной v = dw/dx:
а/2
(216)
Уравнение осесимметричной деформации оболочки с учетом осевой силы имеет вид
D # u + §h |
N d*w= |
(217) |
dx* R2 |
d:к2 |
|
На функцию w(x) не накладывается никаких дополнительных условий, кроме требования ограниченности на ± оо.
Уравнение (217) с параметром N, определяемым согласно (215), является нелинейным. Однако нелинейность носит здесь специальный характер и не усложняет существенно решение задачи по сравнению
слинейной задачей. Введем спектральные плотности для функций q(x)
иw(x):
— оо
оо
— оо
Эти плотности связаны уравнением, вытекающим из (217). Решение этого уравнения дает
________SgM________ |
|
«•(*) = |
(218) |
(*4 D+ f + |
y x2 Е ка$ 2 |
Правая часть формулы (218) содержит параметр ov, который, со гласно (216), выражается через спектральную плотность:
оо
o l = $ *2S.(x)dx.
Подставляя сюда выражение (218), приходим к уравнению относитель но параметра av:
оV2 |
х2Sg (х) dy |
|
|
(219) |
|
|
(**D + f |
+ Y x2Ehotf |
В простых случаях интеграл, входящий в это уравнение, может быть вычислен. Пусть, например, S g(x) = s = const. Уравнение (219) при нимает вид
а V2 |
С |
(220) |
|
(1 +Ха2)3/2’
где введены обозначений |
|
Bh \i/4 |
||
с = |
ns |
|
||
25' 2D2 y.05 |
’ |
,R2Dj |
||
|
||||
Рассмотренная выше задача оказалась столь доступной для решения не только вследствие того, что искомая функция зависит только от од ной переменной х. Нетрудно видеть, что исходное уравнение (217) по существу является статистически линеаризированным. Нелинейность
входит в него через средний квадрат производной а?., а при заданном среднем квадрате уравнение линейно относительно искомой функции w(x).
Найденное решение может служить эталоном для сопоставления различных приближенных методов. Возьмем, например, метод малого параметра. Пусть интенсивность внешней нагрузки достаточно мала. Полагая q = p<7i(x), где ц — малый параметр, ищем решение уравне ния (217) в виде ряда
W — |
(х) + |Л3КУ3(х) + psw&(х)+ |
(221) |
Подстановка ряда в уравнение приводит к системе последовательно разрешаемых уравнений:
r , d 4w i |
, |
E h |
|
|
|
dx* |
R* |
3 |
2 |
dx4 |
+ 2a13&Wi\ |
d x 4 |
R* |
|
|
dx2 |
|
|
|
dx*) |
ит. д. Здесь введено обозначение
/dwi _dwk \
« л = \ dx dx /
Решение уравнений ищем по методу канонических разложений. Полагая
0 0 |
|
ОО |
|
qx(х) = J Q(x)e‘**dx; |
|
Wj {х) = J |
dx, |
после простых выкладок получим |
|
|
|
|
|
<?(*) |
|
|
D (XO+ X4) |
|
|
2a li x2 xgx |
|
||
W ,(*) = |
|
^ ( K); |
|
*o+ * 4 |
|
|
|
4x2 ..2 |
( |
a ii x2 x2 X |
|
4x2 x^X |
|
||
Wb = |
|
|
|
« !+ « '
Спектральную плотность S w(x) вычислим с учетом формулы (221))
S w(х) |
ш, (х) + 2р45а,1а,, (х) + |
|
+ Цв [25ш, |
(и) + Sw, w, (х)] + • • • i |
(222) |
где S WjWk(%) — взаимные спектральные плотности функций, образую
щих ряд (221). Эти спектральные плотности легко выражаются через спектры Wj(x). Пусть Sg(x) = s = const. Умножая ряд (222) на
х2 и интегрируя, получим ряд для параметра а
°1 = с — — %с2+ — %с3 + Z о
Выписанные члены ряда совпадают с приближенной формулой для ои% которая получается, если решение точного уравнения (220) искать в виде ряда по степеням с.
Одним из наиболее эффективных приближенных методов является метод сведения к дискретным системам при помощи разложений типа (208). Представляя решение нелинейной задачи в виде ряда типа (208) и применяя один из вариационных методов, придем к системе обыкно венных дифференциальных или алгебраических уравнений относительно обобщенных координат Wa- Дальнейшее исследование проводится ме тодами статистической динамики дискретных систем.
Рис. 13
Для иллюстрации метода обобщенных координат в применении к нелинейным задачам несколько изменим условия задачи, поставлен ной в начале параграфа. Пусть оболочка имеет конечную длину а (рис. 13), а нагрузка q(x) является произвольной случайной функцией координаты х. Торцы оболочки х = 0 и х = а будем считать опертыми и несмещающимися. Осесимметричная деформация оболочки описы вается уравнением (217). Осевая сила N определяется в этом случае не по формуле (215), а по формуле
а/2
—а/ 2
Выражение, стоящее в правой части, уже не может быть истолковано аналогично (216).
Будем искать решение уравнения (217) в виде ряда по функциям,
удовлетворяющим граничным |
условиям для опертой |
оболочки: |
|
|
оо |
|
|
w(x) = |
2 |
U7a sin — . |
(224) |
|
а= 1 |
а |
|
Здесь Wa — случайные числа. Подставляя этот ряд в формулу (223), легко найдем
T V - ) 2 d * = — У a 2 W l |
|||
J |
\dxj |
2а |
A d |
—а/2 |
|
|
a— 1 |
Отсюда после подстановки в уравнение (217) приходим к системе ал гебраических уравнений относительно коэффициентов ряда (224):
а 4п* |
. Eh N |
Г „ + |
a 2n2Eh |
Га |
V |
(0 = 1 ,2 ,...). (225) |
( ° а* |
) |
4a4 |
Ал |
Уравнения (225) можно использовать для определения моментов случайных величин Wa, а по этим моментам можно вычислить корре ляционную функцию перемещения w(х). Ввиду нелинейности системы (225) будем получать бесконечную цепочку уравнений относительно моментов. Впрочем, можно найти и точное решение этой системы, ко торая является дискретным аналогом соотношений из предыдущего примера.
Еще один способ основан на трактовке полученной дискретной системы как вырожденной системы (в смысле § 1.3). Заметим, что соот ношения (225) разрешены относительно входных параметров Qa. По этому мы можем сразу применить формулу (13), связывающую плот ности вероятностей входных и выходных параметров. Усечем ряд (224), сохранив в нем первые п членов. Пусть p q(Qu Q2, •••, Qn) — известная совместная плотность вероятности для обобщенных сил. Совместная плотность вероятности для обобщенных координат pw(Wu Г 2, ...,Г п) определяется как
Pw(Wi,W 2> Wn) = p9(Qi, |
Qn) |
д(Q1»Q2......Qn) |
|
|
d(Wl t W2......Wn) |
В правую часть подставляются выражения для Qa, рассматриваемые согласно (225) как функции обобщенных координат W2, Г„.
Достаточно большой Длине было равно нулю. Основание, подготовлен ное для укладки балки, будем предполагать неровным. Уравнение кри вой, описывающей эту начальную неровность, пусть будет^н = ши(х). Интенсивность внешних сил, действующих на балку (собственный^вес, давление вышележащих слоев грунта и т. п.), обозначим через д(х).
Для отыскания полного прогиба v(x) стержня, загруженного силами q{x) и реакций основания — c(v — u), имеем уравнение
E J % + cv = q + w + E J £d . |
( 1) |
Допустим, что функция начальных искривлений w(x), функция неровностей и(х), внешняя нагрузка q(x) и коэффициент жесткости ос нования с(х) являются однородными случайными функциями коорди наты х. Среднее значение нагруз ки и коэффициента жесткости обоз
начим соответственно через q0 и с0. Среднее значение функции и(х) примем чравным нулю. При этих допущениях уравнение (1) вместе с условиями ограниченности реше ния на бесконечности описывает стохастическую краевую задачу относительно функции v(x). Эта задача будет линейной по отноше нию к входам q{x), и(х) и w(x); по отношению к входу с(х) эта задача будет стохастически нелинейной. Заметим, что с точки зрения при ложений наибольший интерес пред
ставляет случайная изменчивость коэффициента отпора. Трактуя за дачу как стохастически нелинейную, применим Для ее решения метод
малого параметра:
Будем полагать неоднородности статистически малыми в том смыс ле, что вероятность больших отклонений от среДня* значении доста точно мала. Тогда функции, входящие в уравнение (1), можно предста вить в виде
Я~ <7o + Mi ДО; |
|
|
с = с0+ р с 1 (х); |
(2) |
|
ы = ры1 (х); |
|
|
W = |
(х), |
|
где р — малый параметр. Чтобы не вводить Д®п° НительНЬоСЛе выначений, мы будем приписывать ему формальный с*1Ь1Сл> а п у читьр полнения всех выкладок будем полагать его равным единице-
вая формулы (1), будем искать решение уравнения (1) в виде ряда по степеням малого параметра р:
V — v0+ м^1 + №2v2+ • *• |
(3) |
Подставляя выражения (2) и (3) в уравнение (1), получим рекуррентную последовательность линейных дифференциальных уравнений:
Г* , U^UQ ,
E J ""Ь со v o — Яо’»
Р |
» d^Vi | |
I |
I п* / ^ Ы)\ |
|
|
Vl==(fl~ ci v0 + coUl + EJ |
|
|
j d^V2 I |
|
(4) |
n |
I |
|
|
£*/ — T + c0 |
t/i + Ci |
|
|
и т. д. Решение первого уравнения, ограниченное на бесконечности, имеет вид
£>0= — • |
(5) |
с0
Это решение имеет смысл перемещения балки в однородных услови ях. Рассмотрим второе уравнение системы (4). Вводя обозначение для функции неоднородности
r = q1— c1v0 + c0 u1- \ - E J ^ ± , |
(6) |
перепишем это уравнение в виде
E J ~ j T + CoV1 = r. |
(7) |
dxA
Вправой части этого уравнения стоит однородная случайная функция
хс математическим ожиданием, равным нулю. Для решения этого уравнения применим, например, метод спектральных представлений.
Представим правую часть уравнения (7) в виде интеграла Фурье*:
оо
r(x)= j R { k)eikx dk,
— оо
где k — волновое число; R(k) — обобщенная случайная функция — спектр функции г(х). Для искомой функции введем аналогичное пред ставление:
оо
v1{x)= j Vx (k) eikx dk.
* В отличие от первой главы, где волновые числа обозначались через х, к 1 , х2, х 3 и т. д., далее волновые числа обозначаются через /г, klt /?2>/?3 и т. д.
Связь между спектрами V^k) и R(k) дается формулой
R(b)
Vi(k) h‘*EJ CQ
Отсюда приходим к следующему соотношению, связывающему спект ральную плотность S Vt(k) от функции Vi{x) со спектральной плотностью S r(k), соответствующей функции неоднородности (6):
SVi(k) = |
SrW |
8 |
(■k*E J + c0)* |
( ) |
|
|
||
Формулу (8) можно трактовать |
как частный |
случай формулы |
(1.97); роль импеданса системы играет выражение
L(ik) = ki EJ + c0.
Если неоднородность основания достаточно мала, то полученного приближения достаточно для приближенного описания деформаций балки и основания. В самом деле, из формулы (5) видно, что матема тическое ожидание прогиба v(x) отличается от v0 членами, имеющими порядок р.2 и выше. Поэтому флуктуационная часть функции v(x) будет
V (А-) = V (х) — ( V > = pi/i (а) + ...
где точками обозначены члены, содержащие р в квадрате и более вы сокой степени. Следовательно, с точностью до множителя р2 (полагае мого после выполнения всех выкладок равным единице) спектральная плотность функции v(x) совпадает со спектральной плотностью (8). Соответствующая корреляционная функция вычисляется по формуле типа (1.85):
г Sr (k) eikl dk
(9)
J ( k * E J + c 0f
Используя формулу (8), можно сделать несколько общих заключе ний о влиянии различных факторов на прогибы балки и возникающие в ней изгибающие моменты. Характер влияния неоднородностей за висит от соотношения между волновыми числами и параметром
k0= |
1/4 |
( 10) |
который мы будем называть собственным волновым числом. Собствен ное волновое число характеризует соотношение между жесткостью ос нования и жесткостью балки. Его механический смысл виден из сле дующих соображений. Найдем выражение для прогиба балки, лежащей на основании с детерминистическим коэффициентом жесткости с0, под действием сосредоточенной силы. Этот прогиб определится как реше ние уравнения
E J ^ - + C0V = 8(X), dx*
удовлетворяющее условию затухания на бесконечности, После несложных вычислений получаем
|
|
til« l |
feo* |
|
|
v(x) = |
1 |
V2 |
f |
sin |
|
—=--------е |
|
у т |
|||
|
/ 8 k%EJ |
|
|
V2 ) |
Таким образом, с точностью до множителя Y 2 собственное волновое число (10) совпадает со множителем при х в выражениях, играющих роль аргумента у тригонометрических функций. Величина, обратная k0, имеет порядок характерной длины волны у осциллирующего (хотя
иочень быстро затухающего ) прогиба.
Сучетом формулы (10) выражение для спектральной плотности про
гиба (8) принимает вид
5с, {k) = |
Sr (к) |
( И ) |
|
|
1 + - т |
|
*о |
Для расчета на прочность необходимо знать спектральную плотность изгибающего момента т^х), возникающего в сечениях балки. Замечая, что
m1 = EJ d4vx dx2
и используя правило дифференцирования случайных функций, за данных при помощи спектрального представления Фурье, получим
5/п, (к) = - |
Sr (к) |
( 12) |
|
Ь4 |
&2 |
Яо |
k2 |
|
Предположим для простоты, что функции qi(x), сх(х), и±(х) и Щ(х) стохастически независимы. Тогда с учетом формулы (6) спектральная плотность S r(k) может быть представлена в виде
2 |
|
Sr (k) = S qi (k) + Ц S Cl {К) + cl SUl (k) + cl ( V8S ,, (k). |
(13) |
При этом каждый тип неоднородностей может быть изучен раздельно. Из формул (11) и (13) видно, что неоднородности, обусловленные не равномерностью нагрузки, неравномерностью жесткости основания и неровностью основания, вносят существенный вклад в неоднородность прогиба только при малых волновых числах, т. е. при достаточно боль ших длинах волн. В то же время компоненты, которым соответствуют достаточно большие волновые числа (k > /е0), не оказывают заметного влияния. Иной характер имеет влияние начальных искривлений бал ки. Здесь невелико влияние компонентов с малыми волновыми числа ми (к /г0) и достаточно велико влияние компонентов с большими
по