Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий

Таким образом, мы пришли к решению: перенос центра плана в условия наилучшего опыта первой серии и последовательное построение плана второго порядка. Теперь остается принять решение о выборе интервалов варьирования факторов во второй серии опытов. Снова обращаемся к блок-схеме принятия решений при средней точности фиксирования факторов (гл. 6). В отличие от процедуры принятия решений в первой серии опытов, сейчас появилась информация о нелинейности поверхности отклика. Широкий диапазон изменения параметра оптимизации вместе с установленной характеристикой поверхности отклика приводит к единственному решению — узкому интервалу варьирования факторов.

15.6. Реализация плана (вторая серия)

Условия, матрица планирования и результаты второй серии опытов представлены в табл. 15.9. Интервалы варьирования фак­ торов уменьшены в два раза по сравнению с первой серией опытов

Таблица 15.9

Условия, матрица планирования и результаты опытов (вторая серия)

В этой серии снова реализована полуреплика от полного фактор­ ного эксперимента 24 с генерирующим соотношением xi = x 1x%xa

250

и двумя параллельными опытами. Кроме того, был добавлен еще один опыт в центре плана для оценки значимости суммы коэф­ фициентов регрессии при квадратичных членах ( 2 13^). В этом

опыте получены следующие значения параметра оптимизации: / = 13,37; / ' = 14,83; £=14,10.

Обработку результатов проводим по той же схеме. Значения дисперсий среднего арифметического каждого опыта второй сории приведены в табл. 15.10. В этой серии учтена информация о парал­ лельных опытах в центре плана. Критерий Кохрена6?=1,795/6,300= =0,28. Табличное значение критерия для девяти опытов и одной степени свободы равно 0,638; гипотеза об однородности диспер­ сий не отвергается. Дисперсия воспроизводимости равна 0,700, для нее число степеней свободы девять.

Оценки коэффициентов регрессии и дисперсии в их определении:

Результаты расчета остаточной суммы квадратов при проверке адекватности линейной модели во второй серии опытов представ­ лены в табл. 15.11. Дисперсия адекватности и критерий Фишера равны 5^д= 3 ,912/3 = 1,304; 7^=1,304/0,700=1,86. Табличное зна­

чение 7^-критерия для трех и девяти степеней свободы равно 3,9 (гл. 8); нет оснований отбрасывать гипотезу адекватности линей­ ной модели.

Величина доверительного интервала для коэффициентов регрес­ сии А^.=0,296-2,26=0,669. Оказалось, что два линейных коэф­

фициента регрессии (Ьг и Ь4), а также все эффекты взаимодейст­ вия первого порядка незначимы, что могло быть результатом сужения интервалов варьирования.

Ранее отмечалось (гл. 9), что кроме величины Т^-критерия, формальными признаками, по которым можно установить не­ адекватность линейцой модели, являются: 1) значимость хотя бы

17* 351

Таблица 15.11 Расчет остаточной суммы квадратов (вторая серия опытов)

одного из эффектов взаимодействий; 2) значимость суммы коэф­ фициентов регрессии при квадратичных членах 2 13... Первый

признак подтвердил гипотезу адекватности. Оценкой суммы коэф­ фициентов регрессии служит разность между Ь0 и значением зави­ симой переменной в центре плана у 0. В нашем случае у 0— Ь0 = = 14,10—11,36=2,74; эта величина значительно превосходит ошибку опыта S{y}=0,84 и поэтому гипотеза о незначимости коэффициентов при квадратичных членах не может быть принята.

Еще во введении мы предупреждали, что даже простая про­ цедура планирования эксперимента может оказаться весьма ковар­ ной. Этот пример — подтверждение тому. Наличие квадратичных эффектов указывает на кривизну поверхности отклика, что при­ водит к плану второго порядка. Сужение же интервалов варьиро­ вания факторов привело к тому, что гипотеза адекватности ли­ нейной модели не была отвергнута.

15.7.Интерпретация результатов.

Принятие решений после построения модели

(вторая серия)

Среднее значение Ь0 во второй серии опытов оказалось при­ мерно в два раза выше, чем в первой серии. Это еще один аргу­ мент в пользу гипотезы о близости области оптимума. В этой области факторного пространства влияние концентрации кислоты выше, чем влияние концентрации экстрагента. Обратим внима­ ние на изменение знака коэффициента Ь3 по сравнению с пер­ вой серией опытов. Изменение знака указывает, что область оп­ тимальных значений по концентрации экстрагента «где-то рядом».

252

Глава шестнадцатая

О КЛАССИФИКАЦИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ПЛАНОВ

На правилах покоптел игра.

Г. Гессе. Игра в бисер

Итак, мы рассмотрели подробно одну из задач планирования эксперимента. В действительности экспериментатор сталкивается с огромным разнообразием постановок задач и, соответственно, экспериментальных планов. Поэтому мы решили написать эту главу, цель которой связать наше изложение со всем множеством задач, объединенных общим названием «математическая теория эксперимента».

В зависимости от задачи исследования, свойств объекта, выполнения математических предпосылок, наличия априорной информации и т. д. можно выбрать тот или иной класс планов для получения необходимой информации [1, 2].

Создание единой системы классификации экспериментальных планов представляет собой сложную задачу. Оно связано с вы­ явлением и отбором признаков, позволяющих проводить одно­ значную классификацию всего множества известных планов. На данном этапе в качестве предварительной классификации можно предложить систему, которая включает в себя следующие классы планов: 1) планы дисперсионного анализа; 2) планы отсеивающего эксперимента; 3) планы многофакторного анализа; 4) планы для изучения поверхности отклика; 5) планы для дина­ мических задач планирования; 6) планы для изучения механизма явлений; 7) планы для построения диаграмм состав—свойство, состав—состояние. Такая классификация создается в последнее время в литературе по планированию эксперимента при изложе­ нии различных разделов этой теории. Разбиение планов на ука­ занные группы проведено в основном по задачам исследования и методам планирования эксперимента, используемых для их решения. Естественно, что такая классификация довольно ус­ ловна, но тем не менее может быть использована в качестве пред­

дели, используемым при представлении результатов многофак­ торного эксперимента, все перечисленные классы планов можно объединить в три группы: 1) планы дисперсионного анализа;

254

2) планы регрессионного анализа; 3) планы ковариационного анализа.

Следуя Г. Шеффе [3], основные предпосылки указанных мето­ дов анализа при представлении результатов многофакторного эксперимента из N опытов можно записать в следующей форме: вектор выхода y(Nxi\ имеет распределение

Здесь — транспонированная матрица независимых пере­ менных xtj, которые могут быть как количественными, так и ка­

чественными в задаче дисперсионного анализа; z T — транспони­ рованная матрица количественных переменных zip пробегающих

непрерывный ряд значений в задаче регрессионного анализа, а также матрица количественных и качественных неуправляемых переменных в задаче ковариационного анализа; (3(?х1) — вектор эффектов (главные эффекты, эффекты взаимодействия, эффекты блоков и другие эффекты, например, эффекты порядка варьиро­ вания факторов, остаточные эффекты), подлежащих оценке по результатам эксперимента в задачах дисперсионного и ковариа­ ционного анализов; y(7cXl) — вектор коэффициентов регрессии в задачах регрессионного и ковариационного анализов; о2 — дис­ персия ошибки эксперимента; I — единичная матрица; N — ин­ декс нормального распределения.

В алгебраической форме уравнение модели, например для ковариационного анализа, имеет вид:

рк

где е — случайная ошибка, относительно которой обычно постули­ руют М(е{) = 0; 0, т. е. ошибки некоррелированы и одно­ родны.

Задача любого вида анализа заключается в установлении существенности эффектов исследуемых переменных на фоне этой ошибки.

Следует отметить, что хотя границы между перечисленными видами анализа не являются очень точными и общепринятыми, тем не менее для общности рассмотрение всех классов планов в рамках этих видов анализа полезно и целесообразно. Ниже дается характеристика каждого класса планов с указанием на­ значения планов, методов их построения, а также сведений о ма­ тематической модели представления результатов эксперимента и ее анализе.

255

16.1. Планы дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ — это статистический метод, с по­ мощью которого производится разложение суммарной дисперсии на составляющие. В зависимости от числа источников дисперсии различают однофакторный и многофакторный дисперсионные анализы.

Если при постановке опытов реализуются все возможные со­ вокупности условий, задаваемые выбранной схемой эксперимента, говорят о полных классификациях дисперсионного анализа. Если же реализуются не все возможные совокупности условий, а некоторая их часть, т. е. производится сокращение перебора вариантов, — речь идет о неполных классификациях дисперсион­ ного анализа.

Сокращение перебора вариантов может производиться случай­ ным образом или в соответствии с некоторыми строгими прави­ лами. В первом случае это неполные классификации дисперсион­ ного анализа без ограничения на рандомизацию, во втором слу­ чае — с ограничением на рандомизацию.

Полные классификации дисперсионного анализа применяются для исследования сравнительно небольшого числа факторов (обычно не более пяти), так как полный перебор вариантов тре­ бует постановки большого числа опытов, например, при варьиро­ вании пяти факторов на трех уровнях необходимо поставить 243 опыта. Число уровней может быть одинаковым для всех фак­ торов (эксперимент типа пт), но может быть и различным (экспе­ римент nmkL .).

Модель, с помощью которой представляются эксперименталь­ ные данные, имеет вид

где yijk — результат эксперимента, полученный на i-м уровне

первого фактора; /-м уровне второго фактора и к-м уровне третьего фактора; ц — среднее по всему множеству опытов; af — эффект i-ro уровня первого фактора; |3^. — эффект у'-го уровня

второго фактора; у/с — эффект к-то уровня третьего фактора; a.$j — эффект взаимодействия i-ro уровня первого фактора с /-м

уровнем второго; а ^ к — эффект взаимодействия i-ro уровня первого фактора с к-м уровнем третьего и т. д.; e.jk — остаточный член, с помощью которого оценивается ошибка эксперимента.

Среди неполных классификации дисперсионного анализа с ограничением на рандомизацию наиболее популярными в плани­ ровании эксперимента являются неполноблочные планы (блоксхемы) и латинские планы. Различают полностью сбалансированные и частично сбалансированные блок-схемы.

256

Блок-схема, в которой пары элемептов появляются определен­ ное число раз, носит название сбалансированной неполной блоксхемы (BIB-схемы) * со следующими параметрами: v — число эле­ ментов; Ъ — число блоков; к — число единиц в блоке; г — число блоков, которым принадлежит один и тот же элемент; X — число повторений каждой пары элементов. Чтобы блок-схема была сба­ лансированной, требуется выполнение следующих условий: 1) каж­ дый блок В j содержит одинаковое число к элементов; 2) каждый эле­

мент а.( принадлежит одному и тому же числу г блоков; 3) для каж­ дой неупорядоченной пары а а ■ различных элементов число

блоков, содержащих эту пару, равно X.

Сбалансированное неполноблочное планирование может быть найдено для любого числа элементов v и любого размера блока к. Однако большинство BIB-схем не представляет интереса для пла­ нирования эксперимента, так как г велико. Обычно в планировании не применяются BIB -схемы с г > 10.

Частично сбалансированный план (частично сбалансированная блок-схема, сокращенно PBIB-схема) * * это план, в котором каж­ дый блок содержит одно и то же число элементов и каждый эле­ мент принадлежит одному и тому же числу блоков, но некоторые пары элементов принадлежат одному числу блоков XJ, в то время как другие пары — другому числу блоков Х2. В общем \ и Х2 могут быть любыми различными целыми числами, включая нуль. PBIBсхемы с параметрами \ и Х2 имеют два ассоциативных класса и со­ кращенно обозначаются РВ1В(2)-схемы. В общем случае число классов равно т .

Цепные блок-схемы являются специальным видом блок-схем. Простейшие цепные блок-схемы построены таким образом, что пара элементов в двух соседних блоках одинакова и является связу­ ющим звеном. Такое связывание блоков является основным свойст­ вом цепных блок-схем. Связывающие звенья образуются из эле­ ментов первой группы, которые повторяются в плане два или большее число раз. Элементы второй группы встречаются в плане

ментов значительно превышает этот объем; 2) сравнение элементов внутри блоков проводится с такой точностью, что достаточно од­ ного или двух повторений; 3) все элементы можно разбить на две группы.

Элементы первой группы являются наиболее важными, и срав­ нение пар этих элементов желательно проводить достаточно точно.

257

Латинский квадрат не является обычной моделью с предполо­ жением нормальности, по которой ошибки независимы и их дис­ персии равны. Статистический анализ существенно опирается на предположение аддитивности и может быть ошибочным, когда

Три ортогональных латинских квадрата образуют латинский квадрат третьего порядка или гипер-греко-латинский квадрат. Модель эксперимента

Vijkbp = V-+ at + Ру + Тл + 8о + + eijkoP-

Если имеется к ортогональных латинских квадратов, то они образуют латинский квадрат к-то порядка. Пусть дано множество S из п элементов. Латинским прямоугольником, основанном на /г-множестве S, называется такая прямоугольная г X 5-таблица, в которой каждая строка является s-перестановкой элементов S, а каждый столбец — г-перестановкой элементов S при г ^ /г, s^C/г.

Квадратами Юдена называются такие латинские прямоуголь­

Латинским кубом первого порядка размера п называют ку­ бическую таблицу из п элементов, расположенных в п3 позициях, такую, что каждый элемент входит в таблицу п2 раз и встречается в каждой из п плоскостей, параллельных координатным плоско­ стям Х 1ОХ2, Х хОХз и Х 2ОХз одинаковое для всех элементов число раз, равное п.

Если некоторый латинский куб размера п первого порядка можно наложить на другой латинский куб размера п первого по-

25!)