Прямая в пространстве.

Пусть в пространстве задан ненулевой вектор a(m, n, p) и точка М₀(x₀, y₀, z₀). Прямой, проходящей через точку М₀ в направлении вектора а называется геометрическое место точек М (x, y, z) пространства таких, что вектор коллинеарен вектору а.

Так как а ≠ 0, условие коллинеарности векторов и а имеет вид . Если r_М0 – радиус-вектор точки М₀, r_М – радиус-вектор точки М, то для любой точки М прямой выполняется , или

.

Это уравнение называется векторным уравнением прямой в пространстве. Вектор а называется направляющим вектором прямой.

Запишем векторное уравнение в координатной форме. r_М = xi + yj + zk,

r_М0 = x₀ i + y₀ j + z₀ k, a t = mti + ntj + ptk, поэтому

Эти уравнения называется параметрическими уравнением прямой в пространстве. Исключим из этих уравнений параметр t: . Уравнения

называется каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Прямая в пространстве может задаваться также как пересечение двух непараллельных плоскостей:

векторы N₁(A₁, B₁, C₁) и N₂(A₂, B₂, C₂) неколлинеарны. Система

называется общими уравнениями прямой. Для того, чтобы привести общие уравнения к каноническим или параметрическим уравнениям, необходимо найти какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор. Для нахождения точки надо решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными; так как векторы N₁ и N₂ неколлинеарны, один из миноров матрицы отличен от нуля. Пусть, например, отличен от нуля минор . Задав значение у произвольно, находим х и z, точка (х, у, z) и будет точкой прямой. Направляющий вектор а находится как векторное произведение векторов N₁ и N₂: а = N₁ ^хN₁.

Примеры: 1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой

Здесь N₁ = (2, -3, 4), N₂ = (3, 2, -6), поэтому . Для нахождения точки, принадлежащей прямой, положим , z = 0 (минор ). Из системы находим х = 2, у = 1, следовательно, М₀ = (2, 1, 0). Канонические уравнения прямой: . Параметрические уравнения прямой:

2. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две данные точки м1(x1, y1, z1) и м2(x2, y2, z2).

Естественно, в качестве направляющего вектора в этом случае проще всего взять вектор М₁М₂(x₂ – x₁, у₂ – у₁, z ₂ – z ₁), в качестве точки прямой можно взять любую из точек М₁ или М₂. В результате канонические уравнения будут иметь вид , параметрические

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая l может быть параллельна плоскости (в частности, лежать в плоскости) и пересекаться с ней. Будем считать, что плоскость П задана своим общим уравнением

Ах + Ву + Сz + D = 0, прямая l – точкой M₀(х₀, у₀, z₀)и направляющим вектором а(m, n, p). l параллельна П тогда и только тогда, когда Na, поэтому условие параллельности прямой и плоскости состоит в том, что Аm + Вn + Сp + D = 0. Если, дополнительно, , т.е. выполняется Ах₀ + Ву₀ + Сz₀ + D = 0, то прямая лежит в плоскости.

Если Аm + Вn + Сp + D 0, то прямая и плоскость пересекаются. Для нахождения точки пересечения подставим параметрические выражения для х, у, z в уравнение плоскости: А(х₀ + mt) + В(y₀ + nt) + С(z₀ + pt) + D = 0 и найти значение параметра t, соответствующее точки пересечения: ; параметрические выражения для х, у, z при этом значении t дают координаты точки пересечения.

Угол между прямой и плоскостью (т.е. угол между прямой и ее проекцией на плоскость) связан с углом между прямой и нормалью к плоскости соотношением , поэтому . В частности, если векторы а и N коллинеарны, то прямая перпендикулярна плоскости.

Взаимное расположение двух прямых. Две прямые могут быть компланарными (это означает, что существует плоскость, содержащая обе прямые) или скрещиваться (плоскости, содержащей обе прямые, не существует). В случае компланарности прямые могут совпадать, быть параллельными или пересекаться. Найдем условия, когда реализуется каждый из перечисленных случаев. Будем считать, что прямая l₁ задана своей точкой M₁(х₁, у₁, z₁) и направляющим вектором а₁(m₁, n₁, p₁), прямая l₂ задана своей точкой M₂(х₂, у₂, z₂) и направляющим вектором а₂(m₂, n, p₂).

Прямые компланарны тогда, и только тогда, когда компланарны векторы а₁, а₂ и М₁М₂. Таким образом, условие компланарности имеет вид

.

Если при этом векторы а₁и а₂ коллинеарны, т.е. , то прямые параллельны. Если, дополнительно, вектор М₁М₂ коллинеарен направляющим векторам, то прямые совпадают.

Если условие компланарности выполняется, но направляющие векторы неколлинеарны, то прямые пересекаются. Чтобы найти точку пересечения, надо решить систему уравнений

В этой системе три неизвестных (координаты точки пересечения х, у, z) и четыре уравнения, однако, если выполняются условия компланарности прямых и неколлинеарности направляющих векторов, она имеет единственное решение.

Если условие компланарности не выполняются, то прямые скрещиваются.