2.1.4.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнением прямой с угловым коэффициентом называется уравнение вида у = к х + b. Выясним смысл параметров к и b.

Углом наклона прямой называется любой направленный угол, на который надо повернуть ось Ох, чтобы получить одно из направлений прямой. Очевидно, все углы наклона прямой отличаются друг от друга на величину , поэтому их тангенсы равны.

Рассмотрим две несовпадающие точки (х₁, у₁) и (х₂, у₂), принадлежащие прямой. Вычитая равенство у₁ = к х₁ + b из равенства у₂ = к х₂ + b, получим у₂ – у₁ = к (х₂ – х₁), откуда . Но из рисунка следует, что . Таким образом, параметр к, который называют угловым коэффициентом прямой, равен тангенсу угла наклона прямой: . Положив х = 0 в уравнении у = к х + b х, получим у = b. Таким образом, параметр b равен ординате точки пересечения прямой с осью Оу.

Так , уравнение с угловым коэффициентом невозможно записать для прямых с , т.е. для прямых, параллельных оси Оу. Такие прямые имеют уравнение х = х₀, где х₀ – абсцисса точки пересечения прямой с осью Ох.

2.1.4.3. Общее уравнение прямой. Вернемся к векторному уравнению прямой . Запишем скалярное произведение в координатной форме: N = (A, B), , следовательно, А(х – х₀) + В(у – у₀) = 0. Преобразуем это уравнение:

Ах + Ву + (–Ах₀ – Ву₀) = 0. Обозначим С = –Ах₀ – Ву₀, тогда A x + B y + C = 0, это уравнение называется общим уравнением прямой. Итак, общим уравнением прямой называется уравнение вида

A x + B y + C = 0.

Уравнение с угловым коэффициентом у = к х + b является частным случаем общего уравнения (к х - у - b = 0, А = к, В = -1, С = - b). Уравнение х = х₀ прямой, параллельной оси Оу, которую нельзя описать уравнением с угловым коэффициентом, также является частным случаем общего уравнения (х – х₀ = 0, А = 1, В = 0, С = - х₀). Справедливо и обратное утверждение: каждое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 может быть приведено либо к уравнению с угловым коэффициентом (если , то, решив уравнение относительно у, получим , ) , либо к виду х = х₀ (если В = 0, то , и .)

2.1.4.4. Уравнение прямой в отрезках. Так называется уравнение вида . Положив в этом уравнении х = 0, получим y = b; при у = 0 получаем х = а. Таким образом, параметры а и b равны, соответственно, абсциссе и ординате концов отрезков, отсекаемых прямой на осях Ох и Оу. В отрезках может быть записана любая прямая, не проходящая через начало координат. Общее уравнение A x + B y + C = 0 приводится к уравнению в отрезках при делением на –С: , т.е. .

Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость П задана уравнением

A x + B y + C + D = 0, M₀(x₀, y_0, z₀) – произвольная точка пространства. Для любой точки М₁(x₁, y₁, z₁), лежащей на плоскости, расстояние d от точки M₀ до плоскости П равно абсолютной величине проекции вектора на нормальный вектор N(A, B, С). Пусть точка М₁ имеет координаты (x₁, y_1, z₁), тогда, и

, так как из принадлежности точки М₁ плоскости П следует, что Ax₁ + By₁ + Cz₁ +

D = 0, т.е. (-Ax₁ - By₁ - Cz₁) = D.