Свойства скалярного произведения:

1. (а, b) = (b, а);

2. (а, а) = |a|² (или (скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины);

3. (а, b) = |b| пр_ba = |a| пр_ab;

4. (а + b, c) = (а, c) + (b, c);

5. ;

6. (а, 0) = 0;

7. если , то (а, b) = 0;

8. если (а, b) = 0, то либо хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо сомножители ортогональны.

Док-во. Первое и второе свойства непосредственно следуют из определения: косинус – функция четная, поэтому неважно, как отсчитывается угол – от а к b или b к а; cos 0 = 1 (0 – угол, который образует вектор с самим собой). Докажем третье свойство: , или . Из этого свойства на основе свойств проекции легко выводятся четвертое и пятое:

(a + b, c) = | c | пр_c(a + b) = | c | (пр_ca + пр_c b) = | c | пр_ca + | c | пр_c b = (a, c) + (b, c),

.

Шестое, седьмое и восьмое свойства очевидны (если b = 0, то |b| = 0; если , то ; если произведение равно нулю, то необходимо один из сомножителей, входящих в определение (|a|, либо |b|, либо ) равен нулю). Если вспомнить, что мы считаем направление нуль-вектора произвольным, то восьмое свойство можно переформулировать как необходимое и достаточное условие ортогональности векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Механический смысл скалярного произведения заключается в следующем. Если материальная точка под воздействием силы F перемещается на вектор l, то совершаемая этой силой работа равна скалярному произведению F на l: A = (F, l).

Базис векторного пространства называется ортонормированным, если составляющие его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.

Скалярное произведение векторов, заданных в ортонормированном базисе.

Пусть в ортонормированном базисе i, j, k заданы векторы а = а_х i + а_у j + а_z k и b = b_х i + b_у j + b_z k. Найдем их скалярное произведение, учитывая то, что четвертое и пятое свойства позволяют раскрывать скобки и выносить скалярные множители за знак скалярного произведения и то, что вследствие ортонормированности (i, i) = (j, j) = (k, k) = 1, (i, j) = (j, i) = (i, k) = (k, i) = (j, k) =

= (k, j) = 0: (а, b) = (а_х i + а_у j + а_z k, b_х i + b_у j + b_z k) = а_х b_х(i, i) + а_х b_у(i, j) + … + а_z b_y(k, j) +

+ а_z b_z(k, k) = а_х b_х + а_y b_y + а_z b_z.

Мы доказали, что в ортонормированном базисе скалярное произведение векторов сумме попарных произведений соответствующих координат: (а, b) = а_х b_х + а_y b_y + а_z b_z.

Теперь, зная координатное представление скалярного произведения, мы можем по новому вывести формулы для длины вектора, проекции вектора на вектор и т.д. Так, (а, а) = а_х а_х + а_y а_y + + а_z а_z = а_х² + а_y² + а_z², поэтому по второму свойству |a|² = а_х² + а_y² + а_z², следовательно,

.

Из определения скалярного произведения , поэтому если векторы заданы в координатной форме, легко находится угол между ними:

.

Проекция вектора а на направление, определяемое вектором b, в координатной форме:

.

В частности, если b = i = (1, 0, 0), то | b | = 1, (а, i) = (а_х i + а_у j + а_z k, 1 i + 0 j + 0 k) = а_х, и

пр_i a = а_х. Аналогично, пр_j a = а_y, пр_k a = а_z, т.е. координаты любого вектора есть проекции этого вектора на направления, заданные соответствующими ортами. Направляющие косинусы (углов между вектором а и базисными ортами i, j, k): .

Напомним, что направляющие косинусы удовлетворяют соотношению

.

Орт вектора: .

Определение векторного произведения векторов. Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, длина и направление которого определяются следующими условиями:

1. (или ;

2 ;

3. a, b, с - правая тройка (если векторы а и b не коллинеарны).

Обозначения: [а, b], .

Заметим, что три условия в определении векторного определения однозначно определяют результат. Первое условие определяет длину вектора с ( так как ), второе – перпендикулярность произведения плоскости, содержащей сомножители, третье определяет нужное направление на прямой, перпендикулярной этой плоскости. Оговорка по поводу неколлинеарности сомножителей в третьем условии не сужает определение: если а и b коллинеарны, то либо по крайней мере один из этих векторов – нулевой, либо , либо ; во всех этих случаях векторное произведение дает нуль-вектор.