Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методы решения жестких и нежестких краевых задач

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.29 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

U				0		0			0	Y (x	)			u
										Y (x	)
K (x	x	)		E		0			0	0		Y	(x		x	)
K (x	x	)		E		0			0			Y	(x		x	)
1	0									Y (x	)			1	0
										Y (x	)
0			K (x		x )	E			0	1		Y	(x		x )
0			K (x	2	x )	E			0			Y	(x	2	x )
				2	1					Y (x	)			2	1
										Y (x	)
0				0	K (x		x	)	E	2		Y	(x		x	)
0				0	K (x	3	x	)	E			Y	(x	3	x	)
						3	2			Y (x	)			3	2
										Y (x	)
0				0		0			V	3				v
0				0		0			V					v

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

Оказывается, что применять ортонормирование не нужно, так как участки интервала интегрирования выбираются такой длинны, что счет на них является устойчивым.

В точках вблизи узлов решение находится путем решения соответствующих задач Коши с началом в i-ом узле:

Y (x)

K(x

x )Y (x ) Y		(x
x )Y (x ) Y		(x
i	i

xi )

8.2. Составные оболочки вращения

Рассмотрим сопряжения участков составной оболочки вращения. Пусть имеем 3 участка, где каждый участок может выражаться

своими дифференциальными уравнениями и физические параметры могут выражаться по-разному – разными формулами на разных участках:

В общем случае (на примере участка 12) физические параметры участка (вектор P12 (x) ) выражаются через искомые параметры системы обыкновенных дифференциальных уравнений этого участка (через вектор Y12 (x) ) следующим образом:

P12 (x) M12Y12 (x) ,

где матрица M12 - квадратная невырожденная.

При переходе точки сопряжения можем записать в общем виде (но на примере точки сопряжения x1 ):

P	(x ) P
01	1	01 12

L	P	(x )
01 12	12	1

где

P 01 12

- дискретное приращение физических параметров (сил,

моментов) при переходе с участка «01» на участок «12», а матрица

L01 12

квадратная невырожденная диагональная и состоит из единиц и минус единиц на главной диагонали для установления правильного соответствия принятых положительных направлений сил, моментов, перемещений и углов при переходе с участка «01» на участок «12», которые могут быть разными (в разных дифференциальных уравнениях разных сопрягаемых участков) – в уравнениях слева от точки сопряжения и в уравнениях справа от точки сопряжения.

Два последних уравнения при объединении образуют уравнение:

M Y	(x ) P
01 01	1	01 12

L	M Y	(x )
01 12	12 12	1

В точке сопряжения

x	2

аналогично получим уравнение:

M Y	(x ) P
12 12	2	12 23

L	M Y	(x )
12 23	23 23	2

Если бы оболочка состояла бы из одинаковых участков, то мы могли бы записать в объединенном матричном виде систему линейных алгебраических уравнений в следующей форме:

U	0
K (x1 x0 )	E
0	K (x2 x1 )
0	0
0	0

	0			0	Y (x0 )		u
	0			0	Y (x0 )	Y (x x			)
					Y (x1 )		1	0
	E			0	Y (x1 )	Y (x	2	x ) .
					Y (x2 )		2	1
K (x	3	x	)	E	Y (x2 )	Y (x	3	x	)
	3	2			Y (x3 )		3	2
	0			V	Y (x3 )		v
	0			V			v

Но в нашем случае оболочка состоит из 3 участков, где средний участок можно считать, например, шпангоутом, выражаемым через свои

дифференциальные уравнения.
Тогда вместо векторов Y (x0 ) ,	Y (x1 ) , Y (x2 ) , Y (x3 ) мы должны
рассмотреть вектора:

Y01 (x0 ),Y01 (x1 ),Y12 (x1 ),Y12 (x2 ),Y23 (x2 ),Y23 (x3 ) .

Тогда матричные уравнения

EY (x ) K(x
1	1

EY (x ) K(x
2	2
EY (x ) K(x
3	3

UY (x	) u,
0
VY (x	) v.
3

x0 )Y (x0 ) Y (x1

x1 )Y (x1 ) Y (x2

x2 )Y (x2 ) Y (x3

x0 ) ,

x1 ) ,

x2 )

примут вид:

						UY			01	(x			) u,
									01			0
						VY		23		(x		3	) v.
								23				3
EY	(x ) K				01	(x	x				)Y			(x	)
01	1				01	1				0			01	0
M Y			(x ) P										L
	01 01				1				01 12					01 12
EY	(x ) K					(x	x )Y							(x )
12	2				12	2				1			12	1
M Y		(x ) P										L
	12 12				2		12 23							12 23
EY (x ) K				23		(x	x				)Y			(x	)
23	3			23		3				2			23	2

*	(x1	x0 ),
Y01
M12Y12 (x1 ) ,
*	(x2	x1 ),
Y12
M23Y23 (x2 ) ,
*	(x3	x2 ) .
Y23

После перестановки слагаемых получаем:

						UY			01	(x		) u,
									01		0
						VY		23		(x		) v.
								23			3
K	01	(x		x		)Y	(x		)	EY			(x )
	01		1		0	01	0					01			1
	M			Y	(x ) L						M Y			(x )
			01 01		1		01 12				12 12				1

Y	*	(x
	*
01		1
P01 12			,

x	)
0

K12 (x2 x1 )Y12 (x1 ) EY12 (x2 ) Y12* (x2 x1 ),

M Y	(x ) L		M Y	(x )
12 12	2	12 23	23 23	2

P12 23

K23 (x3 x2 )Y23 (x2 ) EY23 (x3 ) Y23* (x3 x2 ) .

Витоге мы можем записать итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

		U			0				0				0				0					0	Y		(x		)				u
K		(x	x	)	E				0				0				0					0	Y	01	(x	0	)	Y	*	(x		x	)
																								01		0			*
	01																												01
	01	1	0																				Y		(x		)		01	1		0
																							Y	01	(x		)
		0			M		L				M		0				0					0		01		1			P
		0			M	01	L				M	12	0				0					0							P
						01			01 12			12											Y		(x		)					01 12
																							Y		(x		)		*
		0			0		K		(x		x )		E				0					0		12		1		Y	*	(x		x )
		0			0		K	12	(x	2	x )		E				0					0						Y		(x	2	x )
								12		2		1											Y		(x		)		12		2	1
																							Y		(x	2	)
		0			0				0				M		L				M			0	12			2			P
		0			0				0				M	12	L				M	23		0							P
														12			12 23			23			Y		(x		)					12 23
		0			0				0				0		K		(x		x		)	E	Y	23	(x	2	)	Y	*	(x		x	)
																								23		2			*
																23		3											23		3
																23		3		2			Y		(x		)		23		3	2
																							Y	23	(x		)
		0			0				0				0				0					V		23		3					v
		0			0				0				0				0					V									v

Эта система решается методом Гаусса с выделением главного элемента.

В точках, расположенных между узлами, решение находиться при помощи решения задач Коши с начальными условиями в i-ом узле:

Y (x)

K(x

x )Y (x ) Y		(x
x )Y (x ) Y		(x
i	i

xi )

Применять ортонормирование для краевых задач для жестких обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается не надо.

8.3. Шпангоут, выражаемый не дифференциальными, а алгебраическими уравнениями

Рассмотрим случай, когда шпангоут (в точке x1 ) выражается не через дифференциальные уравнения, а через алгебраические уравнения.

Выше мы записывали, что:

P	(x ) P		L	P	(x )
01	1	01 12	01 12	12	1

Можем представить вектор в виде:

P	(x
01	1

P01 (x1 )

) силовых факторов и перемещений

R01 (x1 ) ,

S01 (x1 )

где

R	(x )
01	1

- вектор перемещений,

S	(x )
01	1

- вектор сил и моментов.

Алгебраическое уравнение для шпангоута:

GR S ,

где G – матрица жесткости шпангоута, R – вектор перемещений

шпангоута, S

– вектор силовых

факторов, которые

действуют на

шпангоут.

В точке шпангоута имеем:

R 0, S GR ,

то есть нет разрыва в перемещениях

R 0

, но есть результирующий

вектор силовых

факторов

S GR ,

который складывается из сил и

моментов слева плюс сил и моментов справа от точки шпангоута.

P01

(x1 )

L01 12 P12 (x1 )

P01

(x1 )

L01 12 P12 (x1 )

)

(x )

01 12

(x )

M 01Y01

(x1 )

L01 12 M12Y12 (x1 ) ,

M01Y01 (x1 ) g

L01 12 M12Y12 (x1 ) , где

что справедливо, если мы не забываем, что в данном случае имеем:

			R		(x	)
P	(x )			01	1		,
P	(x )
01	1		S		(x	)
			S	01	(x	)
				01	1
то есть вектор перемещений и силовых факторов составляется
сначала из перемещений (выше)	R01	(x1) ,			а потом из силовых факторов
(ниже) S01(x1) .
Здесь необходимо вспомнить,		что			вектор перемещений R01(x1)

выражается через искомый вектор состояния Y01(x1) :

GR (x )

(x )

где для удобства было введено переобозначение Тогда можем записать:

M M

p 12

p 22

Y01

(x	)
1

p	.

R	(x )	M	p
			11
01	1

	M	p
	M	12
		12

Y	(x	)
01	1

g	*	0					0				0...0					Y	(x )			0			Y	(x )
		0					0				0...0									0


		GR	(x )	G	M	p	M	p	Y	(x )	G	M	p	M	p	01	1	G	M	p	M	p	01	1
		GR	(x )	G	M	11	M	12	Y	(x )	G	M	11	M	12			G	M	11	M	12
		01	1			11		12	01	1			11		12					11		12

Запишем матричные уравнения для этого случая:

) u,

) v.

(x ) K

x )Y

) Y

M Y

(x ) g

M Y

(x )

01 01

01 12

12 12

) K

x )Y

(x ) Y

, 

x	0	)
	0

x1 )

Распишем здесь в уравнении вектор g* :

(x )

(x ) L

(x )

01 01

G M

01 12

12 12

(M 01

M p ) Y01 (x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 ) .

G M p

Для обеспечения негромоздкости введем обозначение:

(M 01		0		p ) M * .
	G M	p	M
		11		12

Тогда уравнение

M Y	(x ) g	*	L	M Y	(x )

01 01	1		01 12	12 12	1

примет вид:

*	(x )
M Y	(x )
01	1

L	M Y
01 12	12 12

(x1 )

Для удобства переставим слагаемые в матричных уравнениях, чтобы итоговая система линейных алгебраических уравнений записывалась очевидно:

				UY		01	(x	) u,
						01	0
				VY			(x	) v.
					12		2
K		(x	x	)Y	(x	) EY			(x ) Y		*
K	01	(x	x	)Y	(x	) EY			(x ) Y
	01	1	0	01	0			01	1	01
			*	(x ) L				M Y		(x )
		M Y		(x ) L				M Y		(x )
			01	1		01 12		12 12		1
K		(x	x )Y		(x ) EY				(x	) Y	*
K		(x	x )Y		(x ) EY				(x	) Y
	12	2	1	12	1			12	2	12

(x1 0 ,

(x2



x	)
0

x1 )

Таким образом, получаем итоговую систему линейных алгебраических уравнений:

		U			0				0				0	Y	(x	)				u
														Y	(x	)		*
K		(x	x	)	E				0				0	01	0		Y	*	(x		x	)
K	01	(x	x	)	E				0				0				Y	01	(x		x	)
	01	1	0											Y	(x	)		01	1		0
		0			M		L				M		0	Y	(x	)				0
		0			M	*	L				M		0	01	1					0
						*								01	1
									01 12			12		Y	(x	)
														Y	(x	)		*
		0			0		K		(x		x )		E	12	1		Y	*	(x		x )
		0			0		K	12	(x	2	x )		E				Y		(x	2	x )
								12		2		1		Y	(x	)	12			2	1
														Y	(x	)
		0			0				0				V	12	2					v
		0			0				0				V							v

Если к шпангоуту приложено внешнее силовое-моментное

воздействие g p , то

следует переписать в виде g*

, тогда:

GR g p

GR (x ) g p

0...0

Y (x )

0 .

Y01 (x1 ) g

G M11

M12

G M11

M12

g p

Тогда матричное уравнение

M 01Y01 (x1 )

Y01 (x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 )

G M p

M p

примет вид:

M	Y	(x )			0
M	Y	(x )			p
	01 01	1		G M	p
				G M	11
					11
				*	(x
			M Y		(x
				01	1

M )

p	Y
p		01
12
L		M
01 12

(x )				0
(x )					p
	1		g		p
			g
12	Y	(x		)
12	12		1

L		M Y	(x )
01 12		12 12	1
0
g	p .
g

Итоговая система линейных алгебраических уравнений примет вид:

		U			0				0				0								u
		U			0				0				0	Y01	(x0 )				*
																		Y	*	(x		x		)
K		(x	x	)	E				0				0					Y		(x		x		)
K	01	(x	x	)	E				0				0						01	1			0
	01	1	0											Y	(x		)					0
		0			M		L				M		0	Y	(x		)					0
		0			M	*	L				M		0	01		1
						*								01		1
									01 12			12		Y	(x		)					g	p
														Y	(x		)					g
		0			0		K		(x		x )		E	12		1
		0			0		K		(x		x )		E					Y	*	(x		x		)
								12		2		1		Y	(x		)	Y		(x	2	x		)
														Y	(x	2	)	12			2		1
		0			0				0				V	12		2
		0			0				0				V								v
																					v

8.4. Случай, когда уравнения (оболочки и шпангоута) выражаются не через абстрактные вектора, а через вектора,

состоящие из конкретных физических параметров

Рассмотрим случай, когда части оболочечной конструкции и шпангоут выражаются через вектора состояния (типа Y12 (x) ), которые (в частном случае) совпадают с векторами физических параметров (типа P12 (x) - перемещения, угол, силы, момент). Тогда матрицы типа M12 будут единичными: M 12 E . И пусть положительные направления физических параметров одинаковы для всех частей оболочки и шпангоута ( L01 12 E ).

Тогда будем иметь уравнения:

	P
	12
P	(x )
01	1

(x) M	Y		(x
	12	12

P	L
01 12	01 12

) ,
P	(x )
12	1

M01Y01 (x1 ) P01 12 L01 12 M12Y12 (x1 ) ,

в виде:

P12 (x) EY12 (x) ,

P01 (x1 ) P01 12 EP12 (x1 ) ,

EY01 (x1 ) P01 12 EY12 (x1 ) ,

где E – единичная матрица.

Уравнения

M Y		(x ) g	*

01	01	1

L	M Y
01 12	12 12

(x1 )

(x )

01 12

(x )

(x ) M

(x )

R (x ) M p

M p

Y (x ) ,

M p 12

M p 22

Y	01	(x	)
	01	1

G M

(x )

G M

примут вид:

EY01 (x1 ) g	*	EY12	(x1 ) ,

Y	(x )
01	1

		0
		g	p

		EY				(x )							0
		EY			01	(x )
					01		1		GR				(x )
									GR			01	(x )
												01	1
		R		(x		)
		R		(x		)
P	(x )		01		1		EY				(x )
P	(x )						EY			01	(x )
01	1	S		(x		)				01		1
		S	01	(x		)
			01		1
							R	(x ) E
							01		1

M 0

	p		EY	(x )
g	p		12	1
g
p			(x )		E
p					E
Y		01
		01	1		0
					0
Y01			(x1 ) ,

0	Y	01	(x	)
	Y		(x	)
E			1
E

(x )

G E

(x )

G E

А уравнения

	Y	01	(x	)
0		01	1
0

		0
		g	p

(x )

M Y

(x )

01 01

G M

01 12

12 12

(x1 ) L01 12 M12Y12 (x1 )

p .

M Y01

примут вид:

EY			(x )	0		Y		(x )	0		EY	(x )		,
EY		01	(x )			Y	01	(x )		p	EY	(x )
		01	1	G E	0		01	1	g	p	12	1
				G E	0				g
M *Y	(x ) EY			(x )		0	, где (E				0		) M *
01		1	12	1		g p					G E	0

Итоговая система линейных алгебраических уравнений

R01 (x1 ) R12 (x1 )

		U			0				0				0								u
		U			0				0				0	Y01	(x0 )				*
																		Y	*	(x		x		)
K		(x	x	)	E				0				0					Y		(x		x		)
K	01	(x	x	)	E				0				0						01	1			0
	01	1	0											Y	(x		)					0
		0			M		L				M		0	Y	(x		)					0
		0			M	*	L				M		0	01		1
						*								01		1
									01 12			12		Y	(x		)					g	p
														Y	(x		)					g
		0			0		K		(x		x )		E	12		1
		0			0		K		(x		x )		E					Y	*	(x		x		)
								12		2		1		Y	(x		)	Y		(x	2	x		)
														Y	(x	2	)	12			2		1
		0			0				0				V	12		2
		0			0				0				V								v
																					v

примет вид:

		U					0				0				0		Y	(x	)
																	Y	(x	)
K		(x	x			)	E				0				0		01	0
K	01	(x	x			)	E				0				0
	01	1			0												Y	(x	)
		0					M				E				0		Y	(x	)
		0					M	*			E				0		01	1
								*									01	1
																	Y	(x	)
		0					0		K		(x		x )		E		12	1
		0					0		K	12	(x	2	x )		E
										12		2		1			Y	(x	)
																	Y	(x	)
		0					0				0				V		12	2
		0					0				0				V
	где			M		( E			0					) ( E			0		)
	где			M	*	( E			4 x8					) ( E			4 x8		)
									4 x8								4 x8

							8 x8		G E		0			8x8		G		0
									4 x4 4 x4		4 x4					4 x4		4 x4

Это означает, что уравнение

Y	*

01
Y	*

12
E
4 x4
G
4 x4

		u
(x			x		)
	1			0
			0
		g		p
				p

(x		2	x		)
		2		1
		v
	0			.
4 x4				.
4 x4
	E
4 x4

*	(x ) EY		(x )	0
M Y	(x ) EY		(x )		p
01	1	12	1	g	p
				g

принимает вид:

(x ) EY

(x )

4 x4

4 x4 Y

4 x4

(x )

4 x4

(x )

4 x4

R01 (x1 ) R12 (x1 ) 0 , (нет скачка в перемещениях и угле) и

GR01 (x1 ) S01 (x1 ) S12 (x1 ) g p - равновесие шпангоута, то есть:

(перемещения и угол: нет разрыва)

S01 (x1 ) S g p S12 (x1 ) , где S GR01 (x1 ) (силы и момент: равновесие).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202211.71 Mб17Методы и средства управления бизнес-проектами..pdf
#
15.11.20225.2 Mб31Методы идентификации систем..pdf
#
15.11.2022238.47 Кб4Методы лингвистического анализа..pdf
#
15.11.202210.92 Mб36Методы обеспечения надежности изделий машиностроения..pdf
#
15.11.202213.27 Mб37Методы оптимизации эксперимента в химической технологии..pdf
#
15.11.20221.29 Mб7Методы решения жестких и нежестких краевых задач..pdf
#
15.11.20222.03 Mб8Методы строительства армогрунтовых конструкций..pdf
#
15.11.202214.74 Mб12Методы управления инновационными изменениями на предприятии..pdf
#
15.11.20226.07 Mб25Методы УФ ИК и ЯМР спектроскопии и их применение в органической химии..pdf
#
15.11.20221.1 Mб8Методы численного решения прикладных задач. Метод Давыдова (метод кру.pdf
#
15.11.20222.11 Mб11Метрология стандартизация сертификация в строительном материаловед..pdf