Пределы последовательностей и функций
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Н. А. Брагина, А. А. Савочкина
ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2010
УДК 517.1+517.52 ББК 22.161
Б78
Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. Н. Еленский (Пермский государственный университет);
ст. преподаватель И. В. Тонкоева (Пермский государственный технический университет)
Брагина, Н. А.
Б78 Пределы последовательностей и функций: учеб.-метод. пособие / Н. А. Брагина, А. А. Савочкина.— Пермь: Изд-во Перм.
гос. техн. ун-та, 2010.— 62 с.
ISBN 978-5-398-00416-8
Приведены основные определения и теоремы о пределах, показаны способы нахождения пределов. Рассмотрены вопросы, связанные с непрерывностью функций. Предлагаются варианты заданий для контрольных и домашних работ.
Предназначено для студентов первого курса всех специальностей.
УДК 517.1+517.52 ББК 22.161
ISBN 978-5-398-00416-8 |
© ГОУ ВПО |
|
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2010 |
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение................................................................................................... |
4 |
|
1. |
Предел последовательности................................................................ |
5 |
2. |
Предел функции................................................................................... |
7 |
3. |
Бесконечно большие и бесконечно малые функции |
|
|
и последовательности........................................................................ |
10 |
4. |
Основные теоремы о пределах.......................................................... |
13 |
5. |
Простейшие приемы раскрытия неопределенностей...................... |
14 |
6. |
Первый и второй замечательные пределы....................................... |
20 |
7. |
Сравнение бесконечно малых величин............................................ |
24 |
8. |
Непрерывность и точки разрыва функции....................................... |
26 |
Варианты контрольных работ............................................................... |
29 |
|
Библиографический список .................................................................. |
61 |
|
3
ВВЕДЕНИЕ
Издание посвящено рассмотрению вопросов, связанных с понятием предела функции одной переменной и непрерывности. Оно может быть использовано студентами при выполнении текущих заданий и типовых расчетов, подготовке к контрольным работам.
Основная цель, которую ставили перед собой авторы данной работы – на конкретных примерах продемонстрировать все многообразие приемов и способов вычисления пределов, вооружившись которыми учащийся мог бы чувствовать себя уверенным при решении и исследовании различных задач, в которых в той или иной форме участвует операция предельного перехода.
В пособии содержатся основные определения и теоремы о пределах, а также способы нахождения пределов. Рассмотрены различные примеры, приведены варианты контрольных работ.
4
1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Если каждому натуральному числу n ставится в соответствии с определенным законом некоторое действительное число xn, то множество занумерованных чисел x1, x2, …, xn называется числовой последовательностью.
Предел последовательности представляет собой частный случай предела функции y = f ( x ) при x → ∞ , когда x принадлежит множеству натуральных чисел.
Определение. Последовательность { xn } стремится к пределу A приn → ∞ , если для любого числа ε > 0 существует такой номерnε ,
что для всех членов последовательности с номерами n ≥ nε |
выполня- |
||||||||||||||
ется неравенство |
|
xn − A |
|
< ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Символическая запись: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim x |
n |
= A ε(> |
0)( |
n |
ε |
N≥ )( n n− ); |
|
<x ε A |
|
|
. |
||||
|
|
||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Символ +∞ |
называется пределом последователь- |
||||||||||||||
ности{xn } , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
( E> 0)( |
nE |
N )(≥ n nE )>: xn |
|
E. |
|
||||||||
В этом случае записываютlim xn = +∞ . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично определяютlim xn |
= −∞ . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический смысл существования предела последовательности состоит в том, что для любого числа ε > 0 при неограниченном увеличении номера члена последовательности n найдется такой номерnε , что для всех номеров, удовлетворяющих условиюn ≥ nε ,
график последовательности лежит в полосе, ограниченной прямыми x = A + ε иx = A − ε .
5
Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Приведем примеры использования определения предела последовательности.
Пример 1. Доказать, что последовательность |
xn = |
(−1)n |
|
являет- |
|||
|
(−1)n |
n |
|
ся сходящейся и ее предел равен нулю, то естьlim |
= 0 . |
||
n |
|||
n→∞ |
|
||
Решение. Зададим произвольное ε > 0 и рассмотрим неравенст- |
|||
во |
|
xn − A |
|
< ε : |
|
(−1)n |
|
< ε или |
|
(−1)n |
|
< ε . Поскольку n — нату- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
− 0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ральное число, это неравенство равносильно следующему: 1 < ε . По- n
лучимn > 1ε .
Значит, для любого ε > 0 существует соответствующий ему но-
мер nε = nε 0 +1 (гдеnε 0 — целая часть числа1ε ), такой, что для всех членов последовательности с номерами n ≥ nε выполняется неравен-
ство |
|
(−1)n |
|
< ε . Это означает, что все члены последовательности, |
|
|
|||
|
− 0 |
|
||
|
|
n |
|
|
начиная с номераn ≥ nε , лежат в ε -окрестности точки 0. Следова-
тельно, lim (−1)n = 0 .
n→∞ n
6
2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Определение. Число A называется пределом функции |
f ( x ) |
|||||
при x → x0 , если для любого числа ε > 0 существуетδ = δ |
ε( >) |
0 , та- |
||||
кое, что для всех x, удовлетворяющих условию0 < |
|
x − x0 |
|
|
< δ , выпол- |
|
|
|
|||||
няется неравенство f ( x ) − A < ε . Символическая запись:
lim f ( x ) = A ε(> 0δ )=(δ ε > ( ) 0)
x→ x0
( x,0< x− x0< δ ) f ( x ) − A < ε .
Подчеркнем, что никаких предположений о поведении функции в самой точке x0 не делается; в точке x0 функция может быть определена или не определена.
Определение. Число b называется пределом функции при x → ∞ , если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 существует такое число N, зависящее от ε, что для всех x, удовлетворяющих условию x > N , выполняется неравенство f ( x ) − b < ε .
Символически это определение записывают таким образом:
|
|
|
|
|
lim f ( x ) = b ε(> |
0)( ε N ( )), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x, |
|
x> N ) |
|
f ( x ) − b |
|
< ε . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Определение. Предел функции |
f ( x ) |
|
при x → |
x0 равен∞ |
, если |
||||||||||||||
для |
любого |
сколь |
угодно |
большого |
|
M > 0 , |
существует |
такое |
||||||||||||
δ = δ |
(M )> 0 , |
что |
|
|
для |
всех |
x, |
|
удовлетворяющих |
усло- |
||||||||||
вию0 < |
|
x − x0 |
|
< δ , имеет место неравенство |
|
f ( x ) |
|
|
> M . |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Символическая запись этого определения |
|
|
|||||||||||||||||
7
|
|
|
|
lim f ( x ) = ∞ |
( >M δ0=)(δ ε |
> ( |
|
) |
0), |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
( x,0< |
|
x− x0< δ |
|
) |
|
|
f ( x ) |
|
> M . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Пример 2. Доказать, чтоlim (3x + 4) = 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решение. По определению, предел |
|
функции |
|
|
y = 3x + 4 при |
|||||||||||||||||||||||
x → |
1 равен 7, если для любого ε > 0 существует такоеδ > 0 , что для |
||||||||||||||||||||||||||||
всех x из δ |
-окрестности точки x0 = 1 (0 < |
|
x −1 |
|
< δ ) |
справедливо не- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
равенство |
|
(3x + 4) − 7 |
|
< ε . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
−ε < (3x+ 4)− 7< ε 1 − |
ε |
< x < 1+ε |
|
|
−x <1 |
|
ε |
|
. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Следовательно, разность между значениями функции и числом 7 |
||||||||||||||||||||||||||||
меньше ε |
для всех x из δ = |
ε |
|
— окрестности точки x0 = 1. Тем са- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мым утверждение, что lim (3x + 4) = 7 доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Односторонние пределы |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Если x < x0 и x → |
|
x0 , то условно пишутx → |
|
x−0 |
0 ; |
аналогично, |
||||||||||||||||||||||
если x > x0 |
и x → x0 , то это записывают так: x → |
x+0 |
0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Числа |
f ( x0 − 0) = |
|
lim f ( x ) и f ( x0 + 0) = |
lim |
f ( x ) называют- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ x−0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
x+0 0 |
|
|
|||||
ся, |
соответственно, пределом слева функции f ( x ) |
в точке x0 и пре- |
|||||||||||||||||||||||||||
делом справа f ( x ) в точке x0 (если эти пределы существуют). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Для существования предела функции |
|
f ( x ) |
при x → |
|
x0 необхо- |
|||||||||||||||||||||||
димо и достаточно, чтобы имело место равенство |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f ( x0 − 0) = f ( x0 + 0) .
8
Пример 3. |
|
|
Найти |
односторонние |
пределы |
функции |
2x +1, x ≥ 1, |
в точкеx0 |
= 1 . |
|
|
||
y = |
≤ |
1 |
|
|
||
−3x +1, x |
|
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim y = lim (2x +1) = 3 ; |
|
|
|
|
|
|
x→ +1 0 |
→x+ 1 0 |
|
|
|
|
|
lim y = lim (−3x +1) = −2 . |
|
||
|
|
|
x→ −1 0 |
→x− 1 0 |
|
|
9
3.БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ
ИБЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ
ИПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение. Функция f ( x ) называется бесконечно малой
при x → x0 , если |
|
|
||||||
( ε > 0)δ(= δ ε >( ) 0)( <x,0− |
|
x< δx0 |
|
) |
||||
|
|
|||||||
|
|
f ( x ) |
|
< ε . |
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично этому определению можно дать определение бесконечно малой последовательности.
Определение. Последовательность {xn } называется бесконечно малой, если
|
|
|
( ε > 0)( |
nε N )(≥ n nε )<: |
|
εxn |
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Из определения предела последовательности следует, что предел |
|||||||||||||||||||
бесконечно малой последовательности равен нулю. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Определение. Функция f ( x ) |
называется бесконечно большой |
||||||||||||||||||
при x → x0 , если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
( M> 0)(δ = δ ε (> ) 0)( <x,0− |
|
x < xδ 0 |
|
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
f ( x ) |
|
> M . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если функция |
f ( x ) |
стремится к |
бесконечности при |
x → |
x0 |
||||||||||||||
и принимает |
лишь |
|
положительные |
значения, |
то |
пишут |
|||||||||||||
lim f ( x ) = +∞ |
; |
|
|
если |
лишь |
отрицательные |
|
значения, |
то |
||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f ( x ) = −∞ .
x→ x0
10