Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

246503

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

475.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

40 rQDY

(10)

(11)

1 ; e;x dx.

p16

;

72n

1 n ln n

(2)

(n + 5);

1=3

sin

(3)

4.14.

(1)

n=1

n=2

n=1

(2n

1)!

;

1 n2

3n + 2;n

(4)

(5)

(6)

1 (;1)ntgn.

;

n=1

(2n

;

3) ln(3n + 1)

n=1

n=2

1 (x + 5)

(7) n=1

enx + 1

(8) n=1

(9) n=1

n2(x2 + 2)n

. (10) ln

; x ; 12x

Xx ln(1 + x=2)

(11) Z

dx.

n2 + 3

4.15.

(1)

(2)

arctg

n + 3

n3(2 + cos(n ))

n2 + 5

n=1

pn + 2

4nn!

n + 1

cos n

(3)

(4)

(5)

(6)

n=1

(3n)!

n=2

(n + 2) ln2 n

n=1

;

1 2n

n(x2

4x+3)+xp

;

(7)

n=1

(8)

n=1

+ 1(x ; 2)

(9)

n=1

n4 sin (3x).

2 (11)

(10)

3 + e;x

dx.

p64 + x3

4.16.

(1)

3 ;4 cos n

(2)

en 1=2

;

n=1 n

+ 3

n=1

pn3

5 : : :

2n+1

(2n

(3)

3n(n +

;

(4)

(5)

n=1

1)!

n=1

3n + 1

n=1

+ 3) ln2(2n)

(6)

(;1)n;1

(7)

(8)

(;1)n

(x + 6)n

1 + e

n=1

(n + 1)22n

n=1

(3n + 1)3n

;

1 1

arcsin x

(9)

n=(x

. (10)

;

1 (11)

2x2

dx.

n=1

;

n2 + 1

4.17.

(1)

ln n

(2)

(3)

1 n!

+ n + 1

n + 2

n=1

;

n=1

;

n=2

(4)

2n ;

(5)

(6)

(;1)n

n=1 (2n + 3) ln2(n + 1)

n=1

3n + 1

n=1 p3n cos( =n)

5x + 11 n .

(7)

1 e;n2 sin[(x2+1)=n] (8)

n + 1

;

4)2n (9)

;

(3n + 1)3

n=1

5n(n2 + 5)

(10)

(11) Z sin(5x=2)2 dx.

;

kONTROLXNYE ZADANIQ

sin2 n

(n!)2

4.18.

(1)

(2)

1 pn arctg(n;1=3)

(3)

+ 1)(2n)!

n=1

1 2n+1

1 (;1)n;12n .

1 1 + xn

(4)

(5)

(6)

(7)

n ln(n

n=1

n=3

n=1

1 (x

;

6)n

1 4n ;2n

(8)

(9)

n=1 n2

sin

x. (10) x

;

3x (11)

cos

25x

dx.

n=1 (n + 3)2n

1 arctg3 n

n3 + 2

4.19. (1)

+ 3

(2)

+ 1

(3)

n! sin

n (4)

n sin

n=1

n+1

1 (

1)n 2n

; 1.

1 (;1)

(5)

(6)

;

(7)

)

n=2 2n

ln(3n

n=1

nln(1+x

;

1 ln x

(8)

2n+1

n=1

(n + 1)!

(x + 5)

(9)

n=1 2nn2 .

(10)

1 + 2x ; 8x

(11)

dx.

Z p81 + x4

(2 + cos( n))p

4.20.

(1)

(2)

(3)

1 (n + 1)!

n tg

n=1

n + 5

n=3

n=1

(4)

(5)

(6)

(;1)

n (n + 3)!

(ln n)n

n=2

n=5 (n

ln(n

n=1

;

x+1

;

3)n

(7)

(8)

n=1 (n + 1)22n

;

n=1

0n + pn2

x=2

2 x

(9)

n=1 n3 (x2

2x + 3)n

. (10) 2x sin

; x (11) Z

; x

dx.

;

4.21.

(1)

1 ; sin n

(2)

n + 1

n=1 (n

+ 1)(n + 2)

n=2

X (pn

;

5npn2

(3)

(4)

(5)

(n + 1)!

;

n=1

n=4

(3n

ln(n

; (xq;

5)n;

(6)

1 (

;

1)n n

+ 1.

(7)

1 n arcsin 3nx

(8)

n=1

pn3

n=1

n=1 (n

+ 4) ln(n + 4)

1 1

x ln(1 + 2x)

(9)

n=1

(2x). (10) (x ; 1) e

; e;

(11)

dx.

sin2 2n

! (3)

02nn!

1 n3 arctgn

4.22. (1)

(2)

1 ; cos n

(4)

n=1

(;1)n

(5)

(6)

(7)

n=2 (n + 5) ln2(n + 1)

n=1 p5n

;

4pn

n=1 n(n + ex

42 rQDY

(8)				1								(;1)n											(x + 4)n																(9)						1 ne;n sin x.													(10)														5
(8)									(4n + 1)3n														(x + 4)n																(9)						1 ne;n sin x.													(10)										6 + x x2
			n=1						(4n + 1)3n																																		n=1																									6 + x x2
			n=1																																								n=1																																;
		xX									1																																	X																															;
(11)		Z									1							dx.

				3
				3
					p125 + x3
		0																																																															1 5n(n + 1)!
															1							ln n																			1						3
4.23.				(1)											1			p				ln n											(2)								1		sin p				pn										(3)
4.23.				(1)										n=1				p						5									(2)								n=1		sin p				n	5	+ 2								(3)						n=1								(2n)!
														n=1							n + n																				n=1						n		+ 2														n=1
			1												X															1											X																			1				X
(4)			1							3nn5														(5)						1													1												(6)					1									(;1)n									.
(4)		n=1					(2n + 1)n																	(5)						n=2						(n			+ 3) ln2(n + 7)																(6)					n=0				22n+1(2n + 1)														.
		n=1					(2n + 1)n																							n=2						(n			+ 3) ln2(n + 7)																					n=0				22n+1(2n + 1)
		X																												X					1						n2																			X					1 (x2 + 1)n
(7)		1				n			2		arctg 2;										nx							(8)							1						n2					(x + 1)						2n				1		(9)							1 (x2 + 1)n													.
(7)						n					arctg 2;																	(8)												(n + 2)!						(x + 1)								;				(9)												2n(n + 1)								.
		n=1																																n=1						(n + 2)!																									n=1					2n(n + 1)
		X																							x										X																														X
																									x						2
				3																											2
				3
(10) xp27 ; 2x (11) Z																											e;3x =4 dx.
									1																0																1																							1										n
																								1																								3																								3		n
																																																3
4.24. (1)																																	(2)												epn=(n ;1)											1		(3)

																										3															nX=2													;									nX=1 4n(n + 2)!
																										3
									nX=2 n2 ln n + pln2 n
				1						n			1			n																1										n2																	1								n sin(npn)
(4)									2			;			e;										(5)													(n3 + 1) ln n														(6)										(;1)										np						.
(4)			n=1						2			;			e;										(5)						n=2							(n3 + 1) ln n														(6)						n=1				(;1)										np				n		.
		1		X																				1							X														1 1													X
		1				n + 1																		1						(			1)n												1 1						n																										2
																																																			n																										2
(7) nX=1 n2+3x;x2 (8) nX=1																												(3n;								1)2n (9) nX=1 n2 tg																	x. (10) ln 1 + x ; 12x
		x																													;
(11) Z				sin						4x2						dx.
		0																										1			2		; cos n																											1 sin											2n + 1
4.25.													(1)															1			2																(2)																								2n + 1
																																																																				n2(n + 1)2

																											n=1				p				n		2				n																		n=1
		1 3 5											7			: : :												X											; 1							3n			1				2n							X											n
		1 3 5											7			: : :							(2n + 1)																; 1							3n			1				2n								1										n
(3)																: : :																(4)									n=1 n						;+ 2				!				(5)
(3)	n=1 2								5				8			: : :							(3n							1)		(4)									n=1 n					4n	;+ 2				!				(5)					n=3 (n2												3) ln2 n
		X																								n															X																			Xn
									1																			;																						1																			;								2
																			(						1)																																		2																		2
																			(						1)																																		2
(6)																						; p																			(7)															1 + n					!			expn;[n=(1+x )]

								n=1 n																				n + 4)																					n=1
								n=1 n							+ cos(2													n + 4)																					n=1
			1					X				2n																																					X													sin 3x
(8)			1																	(x ; 1)3n																(9)						1 n5n=(3;x).														(10)															; cos 3x
(8)		n=1						(3n + 1)3												(x ; 1)3n																(9)						1 n5n=(3;x).														(10)									x						; cos 3x
		n=1																																								n=1
		xX																																								X
(11) Z				cos(5x=2)2 dx.
		0																											1 arctg2 n
																													1 arctg2 n																															1				1											2
4.26.													(1)																			n2 + n															(2)																p					sin
																																																																									2n + 1
																												n=1																															n=1							n							2n + 1
		1		1																			(3n					X													1					2n				n2								1		X											1
(3)		1		1				4				7				: : :							(3n					;		2)			(4)								1					2n							(5)					1													1
(3)				7																				(2n + 5)									(4)											4n + 3!									(5)				n=4 (n										3) ln2(n=2)
	n=1			7					9				11				: : :							(2n + 5)																	n=1			4n + 3!													n=4 (n							;			3) ln2(n=2)
	X																																								X																X							;

kONTROLXNYE ZADANIQ

(6)

1 (

;

1)n sin

(7)

1 jxjn + jxj;n

(8)

(x + 4)2n+1

+ 3)!

n=1

. (10) arctg x (11)

(9)

e;6x2

dx.

n=1 n2 (x2

4x + 5)n

p256 + x4

; 1

n2 + 3

2 + cos n

(2n)!

4.27.

(1)

(2)

ln n2

(3)

2n + 3

n=1

n=2

n=1

;

(4)

nn+2

n=1

(2n2 + 1)n=2

(5)

n=2

(n2

+ 5) ln n

(6)

(;1)

sin

n=1

(

(7)

3 + n!

4;n =x (8)

(4n;

1)2n

(x + 2)n

(9)

n=1

n3n=2tgnx

;

(10)

(11)

dx.

;

p1 + x3

1 1 + sin n

1 3 + 7n

1 (3n + 2)!

4.28.

(1)

(2)

(3)

+ 2n

+ n

n=1

sin 3n

1 pn

(4)

(5)

(6)

1 (;1)n

;

n=2

(2n2 + 3) ln n

n=1

(7)

(8)

;

4)3n

(9)

ln (x ; e).

+ 3

(4n

1)3

n=1

nx +2

n=1

n e

;

(10) p16 ; 5x (11) Z

dx.

625 + x4

1 4n;1p

1 2

sin n

1=n

n2 + 5

4.29.

(1)

;

(2)

;

(3)

1)!

n=2 pn3

n=1

n2;

(

;

1 2;n

+ 1

n + 1

(4)

(5)

(6)

ln (1;+ n

n=4

(5n2

8) ln(n

n=1

;

n=1

;

(7)

(;1)n

(8)

(;1)n

(x + 1)n

(9)

1 x2

; 2x + 2

ln x

+ 2) ln(n + 2)

+ 2)

n=1

(10) ln

;

20x2

(11)

dx.

p8 + x3

arctg n

4.30.

(1)

(2)

arctg

(3)

n!pn

n=1 p2n + n3

n=1 3n + 2

n=1

(n 1)pn2 + 1

;

n3n+2

2n + 1

1 1

(4)

n=1

(5)

n=3

(3n2 + 2) ln(n=2)

(6)

(;1)

sin n tgn

n=1

(x + 2)n

1 3n=2

(7)

(n + ex)(n2 + 1)

(8)

(2n + 1)3n

(9)

(2x)

n=1

44 sPRAWO^NYJ MATERIAL

(10) (2 ; ex)2 (11) Zx e;3x2=25 dx.

1 cos(n2)

1 n!(2n + 1)!

4.31. (1)

(2)

sin

(3)

n3 + n

6 + n2pn

(3n)!

n=1

(4)

1 pn

2n;+ 1

(5)

(6)

(;1)n 01

; cos

(n2

1) ln n

;

n=2

n=1

(xp

1 1

n sin x

;

(7)

(8)

(n4

+ 1)2 (x ; 3)

(9)

ne .

n=1

(10) (x ; 1)

ex + e;x

(11)

sin x2 dx.

5.sPRAWO^NYJ MATERIAL

5.1. sHODIMOSTX I RASHODIMOSTX NEKOTORYH RQDOW

5.1.1. dLQ WSEH x WERNY RAWENSTWA:

e = 1 + x +

+ : : : =

n=0

+ x5

1 (;1)kx2k+1

sin x = x

: : : =

; 3! 5! ; 7! ;

(2k + 1)!

k=0

cos x = 1

+ x4

+ : : : =

1 (;1)kx2k .

; 2!

4! ; 6!

(2k)!

k=0

5.1.2. pRI jxj < 1 WERNY RAWENSTWA

= 1 + x

+ x2 + x3 + : : : =

1 xn

;

n=0

= 1 ; x + x2 ; x3 + : : : =

(;1)nxn

1 + x

n=0

(1 + x)a = 1 +

x +

+ a(a ; 1)

(a ; n + 1)xn + : : :.

ln(1 + x) = x

1!x2

: : : =n!1

(;1)n;1xn

; 2

3 ; 4

n=1

arctg x = x

+ x5

+ : : : =

(;1)nx2n+1 .

; 3

5 ; 7

+ 1

n=0

5.1.3. oBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD 1 + 1=2p + 1=3p + 1=4p + : : : =

1=np

SHODITSQ PRI p > 1

I RASHODITSQ PRI p

1. w ^ASTNOSTI,

n=1

PGARMONI^ESKIJ RQD 1 + 1=2 + 1=3 + 1=4 + : : : =

1=n RASHODITSQ.

Pn=1

sPRAWO^NYJ MATERIAL

5.1.4.

nEOBHODIMYJ PRIZNAK. eSLI

RQD

SHODITSQ,

lim an = 0,

A ESLI

lim an = 0,

RQD

Pn=1RASHODITSQ

eSLI

n!1

n=1

, TAK I RASHODITXSQ.

lim

an = 0, TO RQD

an MOVET KAK SHODITXSQP

n!1

Pn=1

an I

bn { TAKIE

5.1.5. pERWYJ PRIZNAK SRAWNENIQ. pUSTX

n=1

RQDY, ^TO janj bn DLQ WSEH n NA^INAQ S NEKOTOROGOP

NOMERAP .

tOGDA IZ

SHODIMOSTI RQDA

bn SLEDUET ABSOL@TNAQ SHODIMOSTX RQDA

1 an,

n=1

A IZ RASHODIMOSTIPRQDA

SLEDUET RASHODIMOSTX RQDA

bn.

Pn=1 j

Pn=1

5.1.6. wTOROJ PRIZNAK SRAWNENIQ. pUSTX

an I

{ RQDY

n=1

S POLOVITELXNYMI ^LENAMI I SU]ESTWUET KONE^NYJP

NENULEWOJP

PREDEL

lim

an . tOGDA RQDY

an I

bn LIBO OBA SHODQTSQ, LIBO OBA RA-

n!1 bn

n=1

SHODQTSQ.

5.1.7. pRIZNAK dALAMBERA. pUSTX DLQ RQDA

an SU]ESTWUET

KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL

lim

an+1

Pn=1

= q. tOGDA PRI q < 1

RQD

n!1

an RASHODITSQ, A

an ABSOL@TNO SHODITSQ, PRI q >

RQD

n=1

PRI qP= 1 \TOT RQD MOVET KAK SHODITXSQ,

TAK I RASHODITXSQP

5.1.8. rADIKALXNYJ PRIZNAK. pUSTX DLQ RQDA

an SU]ESTWUET

n=1

KONE^NYJ ILI BESKONE^NYJ PREDEL nlim!1 janj1=n = q. tOGDAP

PRI q < 1 RQD

an ABSOL@TNO SHODITSQ, PRI q > 1

RQD

an RASHODITSQ, A PRI

n=1

qP= 1

\TOT RQD MOVET KAK SHODITXSQ, TAK I RASHODITXSQP

5.1.9. iNTEGRALXNYJ PRIZNAK. eSLI PRI x

1 FUNKCIQ f(x)

NEPRERYWNA, UBYWAET

POLOVITELXNA,

RQD

f(n) I NESOB-

Pn=1

STWENNYJ INTEGRAL Z1

f(x) dx LIBO OBA SHODQTSQ, LIBO OBA RASHODQT-

SQ.

5.1.10. pRIZNAK lEJBNICA. eSLI

lim pn = 0 I

pn+1

0 PRI

N, TO RQD p1

p2 + p3

n!1

(

;

+ : : : =

;

1)n;1pn SHODITSQ K ^ISLU

n=1

OT ^ASTI^NOJ SUMMY

S p1, PRI^EM DLQ L@BOGO n

^ISLO S OTLI^AETSQP

Sn \TOGO RQDA NE BOLEE ^EM NA pn+1.

5.1.11.

pRIZNAK

wEJER[TRASSA. eSLI

^ISLOWOJ

RQD

jfn(x)j

n=1

NEOTRICATELXNYMI ^LENAMI SHODITSQ I

an DLQ WSEHP

I n

N, TO FUNKCIONALXNYJ RQD

fn(x)

RAWNOMERNO SHODITSQ NA

n=1

MNOVESTWE D.

5.2. tABLICA NEKOTORYH PREDELOW.

lim

n1=n = 1,

lim

= 1,

lim

arctg x =

n!1

n!1 p2 n nne;n

x!+1

46 sPRAWO^NYJ MATERIAL

lim

arctg x =

lim xp

= 0,

lim

ln x = 0,

lim sin x

= 1,

x!;1

x!+1 ex

x!+1

x!0

lim tg x = 1,

lim arcsin x = 1,

lim arctg x

= 1,

lim

1 ; cos x

= 1,

x!0

x2=2

lim (1 + x)1=x = e, lim ln(1 + x)

= 1, lim loga(1 + x)

= 1, lim ax

; 1

= 1,

x!0

x= ln a

x!0 x ln a

lim (1 + x)a ; 1

= 1.

x!0

5.3. aRIFMETI^ESKAQ I GEOMETRI^ESKAQ PROGRESSII.

aRIFMETI^ESKAQ

PROGRESSIQ

{ \TO

POSLEDOWATELXNOSTX

^ISEL

a1 a2 : : : an : : :, W

KOTOROJ KAVDOE POSLEDU@]EE ^ISLO, NA^INAQ SO

WTOROGO, POLU^AETSQ IZ PREDYDU]EGO DOBAWLENIEM K NEMU NEKOTOROGO

POSTOQNNOGO ^ISLA d, NAZYWAEMOE [AGOM ILI RAZNOSTX@ PROGRESII. tOGDA an = a1 + (n ; 1)d I

a1 + a2 + : : : + an = a1 + an n. 2

gEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ { \TO POSLEDOWATELXNOSTX NENULEWYH ^ISEL b1 b2 : : : bn : : :, W KOTOROJ KAVDOE POSLEDU@]EE ^ISLO, NA^INAQ SO WTOROGO, POLU^AETSQ IZ PREDYDU]EGO UMNOVENIEM NA NEKOTOROE

NENULEWOE ^ISLO q, NAZYWAEMOE ZNAMENATELEM PROGRESII. tOGDA bn =

b1qn;1 I PRI q = 1 IMEEM

= b1 ; bn+1

; q

b1 + b2 + : : : + bn

= b1

1 ; q

; q

5.4. tABLICA PROIZWODNYH.

(logax)0

(ln x)0 = 1

, (ax)0

= ax ln a, (ex)0

= ex, (xa)0

axa;1,

x ln a

; sin x, (tg x)0 =

(sin x)0

cos x,

(cos x)0

, (ctg x)0 = ;

cos2 x

sin2 x

(arcsin x)0

(arccos x)0

(arctg x)0

= ;

x2 + 1

1 ; x2

(arcctg x)0

= ;

x2 + 1

5.5. tABLICA INTEGRALOW.						ax
Z	ex dx = ex + C,			Z ax dx =
							+ C,
						ln a
Z	xadx =	xa+1	+ C,	a	=			;	1,

	dx	a + 1			6
Z				Z sin x dx = ; cos x + C,					Z
	px = 2px + C,

Z x = ln jxj + C,

Z dxx2 = ;x1 + C, cos x dx = sin x + C,

sPRAWO^NYJ MATERIAL

= tg x + C, Z

= ; ctg x + C,

= a arctg a

+ C,

sin2 x

cos2 x

x2 + a2

x ; a

+ C,

= arcsin x

+ C,

x2 ; a2

pa2 ; x2

x + a

= ln x

+ px

+ C.

Z sin x

= ln

tg 2

+ C,

+ 4 !

cos x

= ln

tg 2

+ C.

Z sh x dx = ch x + C, Z ch x dx = sh x + C,

= th x + C.

sh2 x

ch2 x

= ;cth x + C, Z

5.6. nEKOTORYE TRIGONOMETRI^ESKIE FORMULY.

1 ; cos 2 = 2 sin2

1 + cos 2 = 2 cos2

1 ; sin 2 = 2 sin2

; !

1 + sin 2 = 2 cos2

4 ; !

cos( ; ) = cos cos + sin sin

cos( + ) = cos cos

; sin sin

sin( + ) = sin cos + sin cos

sin( ; ) = sin cos ; sin cos

2 cos cos = cos( + ) + cos( ; )

2 sin sin = cos( ; ) ; cos( + )

2 sin cos = sin( + ) + sin( ;

)

2 tg

cos x = 1 ; tg2

sin x =

tg2

+ 1

tg2

+ 1

48	sPRAWO^NYJ MATERIAL

lITERATURA

[1]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. pREDELY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 54 S. ISBN 978-5-9765-1219-1

[2]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. pROIZWODNYE I GRAFIKI FUNKCIJ: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 91 S. ISBN 978-5-9765-1305-1

[3]tUGANBAEW a.a. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. iNTEGRALY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 76 S. ISBN 978-5-9765-1306-8

[4]tUGANBAEW a.a. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ: [\LEKTRONNYJ RES-

URS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 31 S. ISBN 978- 5-9765-1309-9

[5]tUGANBAEW a.a. fUNKCII NESKOLXKIH PEREMENNYH I KRATNYE INTEGRALY: [\LEKTRONNYJ RESURS]. { 2-E IZD., STEREOTIP. // m.: fLINTA, 2011. { 66 S. ISBN 978-5-9765-1308-2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022312.35 Кб1245013.pdf
#
26.02.2023155.35 Кб2245273.pdf
#
13.11.202218.49 Mб92453.doc
#
13.11.2022125.44 Кб32464.doc
#
13.11.2022583.68 Кб32465.doc
#
15.11.2022475.29 Кб1246503.pdf
#
15.11.2022366.19 Кб2247862.pdf
#
13.11.20221.45 Mб42485.doc
#
13.11.20224.43 Mб292495.doc
#
13.11.2022885.25 Кб72497.doc
#
15.11.2022609.27 Кб3249821.pdf