Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

246503

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

475.29 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

10 ~ISLOWYE RQDY

1). dOPUSTIM,

^TO

NESOBSTWENNYJ

INTEGRAL Z1f(x) dx SHODITSQ K

1f(x) dx = B. tOGDA

NEKOTOROMU ^ISLU B,

T.E.

lim

f(x)

B I IZ

n!1 Z

a1+B

PERWOGO NERAWENSTWA W ( ) SLEDUET, ^TO Sn;a1 6 B. pO\TOMU Sn

DLQ WSEH n I

Sn { OGRANI^ENNAQ SWERHU WOZRASTA@]AQ POSLEDOWATELXNO-

STX I RQD

1 f

(n) SHODITSQ.

n=1

Z1f(x) dx

2). dOPUSTIM

TEPERX, ^TO NESOBSTWENNYJ

INTEGRAL

RA-

lim 1f

SHODITSQ,

T.E.

(x) dx = +

. tOGDA IZ WTOROGO NERAWENSTWA W

n!1 Z

) SLEDUET,

. |TO

(

^TO lim

;

= +

OZNA^AET RASHODIMOSTX RQDA

n!1

1 f(n). .

n=1

oBOB]ENNYE

GARMONI^ESKIE

RQDY.

oBOB]ENNYM

1.2.7.

GARMONI^ESKIM RQDOM S POKAZATELEM p NAZYWAETSQ RQD

pRI

n=1

p = 1 POLU^AETSQ GARMONI^ESKIJ RQD

n=1

1 X

oBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

SHODITSQ PRI p > 1 I RASHODIT-

n=1

SQ PRI p

/ pRI

0 OBOB]ENNYJ

GARMONI^ESKIJ RQD

RASHODITSQ PO

NEOBHODIMOMU PRIZNAKU SHODIMOSTI 1.1.5, POSKOLXKU TOGDA lim

= 0.

n!1np

pUSTX p

0. fUNKCIQ

f(x) =

= x;p

UDOWLETWORQET USLOWIQM

INTEGRALXNOGO PRIZNAKA 1.2.6. kROME TOGO,

8 n1;p

;

PRI p = 1

dx = >

1 ; p

PRI p = 1:

> ln n

pO\TOMU SU]ESTWOWANIE KONE^NOGO PREDELA

lim

dx RAWNOSILXNO

n!1 Z

NERAWENSTWU p > 1, T.E. SHODIMOSTX NESOBSTWENNOGO INTEGRALA Z

RAWNOSILXNA NERAWENSTWU p > 1. .

pRIZNAKI SRAWNENIQ I INTEGRALXNYJ PRIZNAK

w ZADA^AH

1.2.8 { 1.2.14 ISSLEDOWATX RQDY NA SHODIMOSTX.

1.2.8.

n=1

n + 1

tAK

KAK

lim

= 1 = 0,

RQD

RASHODITSQ PO

+ 1

n=1 n

+ 1

n!1 n

1.1.5. .

NEOBHODIMOMU PRIZNAKU SHODIMOSTI

1.2.9. rQD

1 ln

1 + n1 ! RASHODITSQ, POSKOLXKU

n=1

n + 1

= ln(n + 1) ; ln n

an = ln

1 + n!

= ln

Sn = ln 2 ; ln 1 + ln 3 ; ln 2 + : : : + ln(n + 1) ; ln n = ln(n + 1)

I MNOVESTWO

NE OGRANI^ENO.

gn=1

1.2.10. pO PERWOMU PRIZNAKU SRAWNENIQ 1.2.1 RQD

SHODIT-

n=1

(n + 1)3n

TAK KAK GEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ 1

32!n

SQ,

SHODITSQ PO 1.1.7 I

n=1

. .

(n + 1)3n

1.2.11. pO 1.2.7 OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

SHODITSQ, TAK

n=1

n7=5

KAK 7=5 > 1.

1.2.12. pO 1.2.7

OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

RASHODITSQ,

5=7

n=1

TAK KAK 5=7 < 1.

1.2.13.

n=1

;

{ SHODQ]AQSQ BESKONE^NAQ GEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ S

n=1

POKAZATELEM

1=2 (SM. 1.1.7) I

lim

= lim

= 1 = 0. pO WTOROMU

; n

n!1 bn

n!1

PRIZNAKU

SRAWNENIQ

1.2.2 IZ SHODIMOSTI

SLEDUET SHODIMOSTX

n=1

1 an. .

n=1

1.2.14. n=1

n(n2 + 1)

X q

/ tAK KAK RQD

SHODITSQ I

, TO PO PERWOMU

n3=2

n=1

qn(n

+ 1)

12				~ISLOWYE RQDY
PRIZNAKU SRAWNENIQ 1.2.1 RQD	1	1		SHODITSQ. .
	1

	X q
	X q
	n=1		n(n2 + 1)

1.3.pRIZNAKI dALAMBERA, kO[I I lEJBNICA

1.3.1. pRIZNAK dALAMBERA. pUSTX

1 an { RQD S NENULEWYMI ^LENAMI

n=1

I lim

an+1

= L.

n!1

RASHODITSQ.

1) eSLI L > 1, TO RQD

n=1

2) eSLI L < 1, TO RQD

1 an ABSOL@TNO SHODITSQ.

n=1

3) eSLI L = 1, TO RQD

1 an MOVET KAK SHODITXSQ, TAK I RASHODITXSQ.

n=1

an+1

/ 1). tAK KAK

lim

= L > 1, TO

> 1 NA^INAQ S NEKOTOROGO

NOMERA N.

n!1

N. pO\TOMU an NE MOVET

tOGDA

an+1

DLQ WSEH n

STREMITXSQ K NUL@ I PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU SHODIMOSTI 1.1.5 RQD

1 an RASHODITSQ.

n=1

L + 1. tAK KAK L < 1, TO

2). oBOZNA^IM x =

0 <

< x =

xn+1

lim n+1 = L < x < 1

n+1

n!1 an

DLQ WSEH NOMEROW

NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA

pOLOVIM

= x .

tAK KAK 0 < x < 1, TO

bn { SHODQ]IJSQ POLOVITELXNYJ RQD I

jan+1j 6 bn+1 DLQ WSEH n Pn=1N. pO TRETXEMU PRIZNAKU SRAWNENIQ 1.2.3

janj

RQD

SHODITSQ. pO\TOMU RQD 1 an ABSOL@TNO SHODITSQ.

n=1

P j

dLQ

L@BOGO

POLOVIM

I bn =

. pO

3).

an = n

n(n + 1)

1.2.7 RQD

RASHODITSQ, A

RQD

SHODITSQ.

kROME

TOGO,

lim

an+1

Pn=1

bn+1

Pn=1

= lim

= 1 = lim

= lim

n!1 an

n!1 n + 1

n!1 bn

n!1(n + 1)2

1.3.2. rADIKALXNYJ PRIZNAK SHODIMOSTI. pUSTX DLQ RQDA n1=1 an

SU]ESTWUET PREDEL nlim!1 janj1=n = L.

pRIZNAKI dALAMBERA, kO[I I lEJBNICA

1) eSLI L > 1, TO RQD nP1=1 an RASHODITSQ

2) eSLI L < 1, TO RQD nP1=1 an ABSOL@TNO SHODITSQ.

3) eSLI L = 1, TO RQD 1 an MOVET KAK SHODITXSQ, TAK I RASHODITXSQ.

n=1

/ 1). tAK KAK lim

1=n

= L > 1, TO

1=n > 1 NA^INAQ S NEKOTOROGO

NOMERA

n!1 j

> 1

pO\TOMU an NE MOVET

N. tOGDA janj

= 1 DLQ WSEH n

STREMITXSQ K NUL@ I PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU SHODIMOSTI 1.1.5 RQD

1 an RASHODITSQ.

n=1

+ 1

tAK KAK L < 1, TO nlim!1janj1=n = L < x < 1

2). oBOZNA^IM x =

0 <

janj

< x

DLQ WSEH NOMEROW

NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA

gEOMETRI^ESKAQ PROGRESSIQ

1 xn

SHODITSQ,

POSKOLXKU

< x < 1

Pn=1

SM. 1.1.7. pO PERWOMU PRIZNAKU SRAWNENIQ 1.2.1

RQD

SHODITSQ.

n=1

pO\TOMU RQD

1 an ABSOL@TNO SHODITSQ.

P j

n=1

3). oBOZNA^IM an

bn =

. pO

1.2.7 GARMONI^ESKIJ RQD

1 an

Pn=1

RASHODITSQ, A OBOB]ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

S POKAZATELEM

n=1

SHODITSQ. tAK KAK

lim

x1=x = 1, TO

Plim n1=n = 1.

pO\TOMU

x!+1

n!1

lim

1=n = lim

n1=n

= 1, lim

1=n

= lim

n1=n

= 1.

n!1j

n!1

n!1j

n!1

1.3.3.

rQDY lEJBNICA.

rQD NAZYWAETSQ ZNAKO^EREDU@]IMSQ, ESLI

L@BYE EGO DWA SOSEDNIE ^LENA IME@T RAZNYE ZNAKI, T.E. ESLI \TOT RQD

IMEET WID LIBO p1

;

p2 + p3

;

: : : + (

;

1)n;1pn + : : :, LIBO

;

p1 + p2

;

p3 +

: : : + (;1)npn + : : :, GDE WSE pn

> 0. zNAKO^EREDU@]IJSQ RQD p1 ;p2 + p3 ;

: : : + (;1)n;1pn + : : : NAZYWAETSQ RQDOM lEJBNICA, ESLI pn pn+1 > 0

DLQ WSEH n

N I

lim

pn = 0.

n!1

; p2 + p3 ;

: : : + (;1)n;1pn + : : :

1.3.4. pRIZNAK lEJBNICA. pUSTX p1

TAKOJ ZNAKO^EREDU@]IJSQ RQD , ^TO pn

pn+1

> 0 DLQ WSEH n

2 N

lim

pn = 0, SHODITSQ K NEKOTOROMU ^ISLU S

p1. iNYMI SLOWAMI,

n!1

KAVDYJ RQD lEJBNICA SHODITSQ I EGO SUMMA NE PREWOSHODIT PERWOGO

^LENA.

/ pO USLOWI@ pn

; pn+1

0 DLQ WSEH n

N. pO\TOMU DLQ ^ASTI^NYH

SUMM S2k I S2k+2 ^ETNOGO PORQDKA RQDA p1

; p2 + p3 ; : : : IMEEM S2k =

14 fUNKCIONALXNYE RQDY

p1 ; (p2

; p3)

;

(p4

; p5)

; : : :

; (p2k;2

; p2k;1) ; p2k

p1 I S2k+2 =

(p1 ; p2) + (p3

; p4) + : : : + (p2k;1

; p2k) + (p2k+1

; p2k+2)

S2k.

pO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX

S2 S4 : : : S2k : : : OGRANI^ENA

SWERHU

^ISLOM

WOZRASTAET

tOGDA

SU]ESTWUET

KONE^NYJ

PREDEL

S = lim S2k = lim (S2k

;

p2k),

GDE

USLOWI@

lim p2k = 0. pO\-

n!1

POLU^AEM

TOMU DLQ ^ASTI^NYH SUMM S NE^ETNYMI NOMERAMI

S2k;1

lim S2k

;

1 = lim S2k

+ lim p2k

= S. tAK KAK DLQ RQDA p1

;

p2 +p3

;

: : : KAK

n!1

^ASTI^NYE SUMMY Sn S ^ETNYMI NOMERAMI, TAK I ^ASTI^NYE SUMMY Sn

S NE^ETNYMI NOMERAMI STREMQTSQ PRI n

! 1 K ODNOMU ^ISLU S, TO

RQD p1

;p2 + p3

;: : : SHODITSQ K S. kROME TOGO, S p1, POSKOLXKU WY[E

POKAZANO, ^TO S2k 6 p1 I S = lim S2k. .

n!1

w ZADA^AH 1.3.5 { 1.3.8 ISSLEDOWATX NA SHODIMOSTX RQDY.

1.3.5. rQD

SHODITSQ PO PRIZNAKU dALAMBERA 1.3.1,

POSKOLXKU

n=1

lim

an+1

2n(n + 1)2

= lim

n!1 an

n!1 2n+1n2

1.3.6. rQD

SHODITSQ PO RADIKALXNOMU PRIZNAKU 1.3.2,

n=1

;

POSKOLXKU

lim

1=n = lim

;

n!1 j

n!12n

1.3.7. rQD

(;1)2

ABSOL@TNO SHODITSQ, POSKOLXKU PO 1.2.7

OBOB]-

n=1

ENNYJ GARMONI^ESKIJ RQD

S POKAZATELEM 2 > 1 SHODITSQ.

n=1

1 (

1)n;1

pO PRIZNAKU lEJBNICA

RQD

1.3.8.

1.3.4

an =

; n

SHODITSQ

n=1

DRUGOJ STORONY,

janj

{

RASHODQ]IJSQ PO 1.2.7 GARMONI^ESKIJ

n=1

RQD.

2.fUNKCIONALXNYE RQDY

2.1.oB]IE SWOJSTWA FUNKCIONALXNYH RQDOW

2.1.1. fUNKCIONALXNYE RQDY I IH OBLASTI SHODIMOSTI. eSLI

u1(x) u2(x) : : :	un(x) : : : { FUNKCII, OPREDELENNYE NA NEKOTOROM
MNOVESTWE X,	TO FORMALXNAQ BESKONE^NAQ SUMMA n1=1 un(x) = u1(x) +
	P

oB]IE SWOJSTWA FUNKCIONALXNYH RQDOW

u2(x) + : : : + un(x) + : : : NAZYWAETSQ FUNKCIONALXNYM RQDOM. mNOVE-

STWO X PRI \TOM NAZYWAETSQ OBLASTX@ OPREDELENIQ FUNKCIONALXNOGO

RQDA n1=1 un(x). gOWORQT,

^TO FUNKCIONALXNYJ RQD n1=1 un(x)

S OBLAST-

X@ OPREDELENIQ X SHODITSQ W TO^KE x0

2 X, ESLI SHODITSQ SOOTWET-

STWU@]IJ ^ISLOWOJ RQD

1 un(x0). mNOVESTWO WSEH TO^EK x, W KOTOR-

n=1

NAZYWAETSQ OBLASTX@ SHODIMOSTI \TOGO

YH SHODITSQ RQD n1=1 un(x),

RQDA

OPREDELENNAQ NA OBLASTI SHODIMOSTI D RQDA

fUNKCIQ S(x),

1 un(x), NAZYWAETSQ SUMMOJ \TOGO RQDA, ESLI W KAVDOJ TO^KE x0

n=1

1 un(x) SHODITSQ K

S(x0). w \TOM SLU^AE PI[UT S(x) =

RQD

1 un(x).

n=1

2.1.2.

rAWNOMERNO SHODQ]IESQ I MAVORIRU@]IE RQDY. rQD

n1=1 un(x) NAZYWAETSQ RAWNOMERNO SHODQ]IMSQ K FUNKCII S(x) NA MNOVE-

SU]ESTWUET TAKOJ NOMER N,

STWE D, ESLI DLQ L@BOGO ^ISLA " > 0

ZAWISQ]IJ OT ", ^TO PRI n

N I DLQ WSEH x 2

D FUNKCII S(x) I

u1(x) + : : : + un(x) = Sn(x) OTLI^A@TSQ DRUG OT DRUGA MENX[E ^EM NA

", T.E. jSn(x) ; S(x)j < " ILI, \KWIWALENTNO,

uk(x)

< ".

k=n+1

1 a

nEOTRICATELXNYJ ^ISLOWOJ RQD

+ a

: : : + a

+ : : :,

n=1

NAZYWAETSQ

MAVORIRU@]IM DLQ FUNKCIONALXNOGO RQDA n1=1 un(x)

6 an DLQ

u1(x) + u2(x) + : : : un(x) + : : : NA MNOVESTWE D, ESLI jun(x)j

WSEH x

2 D I n 2 N.

2.1.3.

pRIZNAK wEJER[TRASSA RAWNOMERNOJ SHODIMOSTI. eSLI

DLQ FUNKCIONALXNOGO RQDA n1=1 un(x) SU]ESTWUET SHODQ]IJSQ MAVORIR-

1 an,

TO RQD

U@]IJ NA MNOVESTWE D NEOTRICATELXNYJ ^ISLOWOJ RQD

n=1

n1=1 un(x) SHODITSQ NA D RAWNOMERNO I ABSOL@TNO.

/P wOZXMEM

L@BOE

^ISLO

tAK

KAK

MAVORIRU@]IJ

NEOTRICATELXNYJ RQD

1 an SHODITSQ,

ak < " DLQ WSEH

n=1

k=n+1

NA^INAQ S NEKOTOROGO NOMERA N. pO\TOMU DLQ WSEH n N IZ NERAWENSTW

2 oBLASTX SHODIMOSTI FUNKCIONALXNOGO RQDA MOVET KAK SOWPADATX, TAK I NE SOWPADATX S OBLA- STX@ OPREDELENIQ \TOGO RQDA.

16 fUNKCIONALXNYE RQDY

jun(x)j 6 an SLEDU@T NERAWENSTWA

1 uk(x)

6 1

juk(x)j

6 1 ak < "

k=n+1

SRAZU DLQ WSEH x

2 D, ^TO OZNA^AET RAWNOMERNU@ SHODIMOSTX nP=1 un(x).

iZ NERAWENSTW jun(x)j 6 an I PERWOGO PRIZNAKA SRAWNENIQ 1.2.1 SLEDUET,

^TO DLQ L@BOGO x

D RQD n1=1 un(x) ABSOL@TNO SHODITSQ. .

1 cos nx

2.1.4. pRIMER. dOKAZATX, ^TO RQD

RAWNOMERNO SHODITSQ NA

n=1

WSEJ OSI.

cos nx

1 cos nx

/ tAK KAK

TO RQD

MAVORIRUETSQ NA WSEJ OSI

n=1

I RAWNOMERNO SHODITSQ NA WSEJ OSI

SHODQ]IMSQ ^ISLOWOM RQDOM

n=1

PO PRIZNAKU wEJER[TRASSA 2.1.3. .

2.1.5. tEOREMA O NEPRERYWNOSTI SUMMY RQDA. eSLI RQD n1=1 un(x)

RAWNOMERNO

SHODITSQ

OTREZKE

[a b]

I WSE ^LENY \TOGO RQDA

NEPRERYWNY NA [a b], TO SUMMA S(x) RQDA n1=1 un(x) NEPRERYWNA NA

[a b].

/ nADO DOKAZATX, ^TO SUMMA S(x) NEPRERYWNA W L@BOJ TO^KE x0 2

wOZXMEM L@BOE " > 0. tAK KAK NA[ RQD RAWNOMERNO SHODITSQ, TO

NAJDETSQ TAKOJ NOMER N, ^TO jS(x)

; Sn(x)j < "=3 DLQ WSEH n N

I DLQ L@BOGO x 2 [a b]. w ^ASTNOSTI,

jS(x)

;

Sk(x)j < jS(x) ; Sn(x)j < "=3

jS(x0) ; Sk(x0)j < jS(x) ; Sn(x)j < "=3

GDE k

N { PROIZWOLXNYJ FIKSIROWANNYJ NOMER. tAK KAK Sk(x) {

SUMMA KONE^NOGO ^ISLA NEPRERYWNYH W x0 FUNKCIJ, TO FUNKCIQ Sk(x)

NEPRERYWNA W x0. pO\TOMU SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO > 0, ^TO jSk(x)

;

Sk(x0)j

< "=3 DLQ WSEH TAKIH x

2 [a b], ^TO jx ; x0j < . oTS@DA I IZ

NERAWENSTW jS(x) ;

Sk(x)j

< "=3

jS(x0)

;

Sk(x0)j < "=3 SLEDUET, ^TO

S(x)

;

S(x0)

(S(x)

;

Sk(x)) + (Sk(x)

;

Sk(x0)) + (Sk(x0)

S(x0))

jS(x)

; Sk(x)j + jSk(x) ;

Sk(x0)j

+ jSk(x0)

;

S(x0)j 6 3 +

3 = " DLQ

WSEH TAKIH x

[a b],

^TO

; x0j < . |TO OZNA^AET NEPRERYWNOSTX

FUNKCII S(x) W TO^KE x0 2 [a b]. .

oB]IE SWOJSTWA FUNKCIONALXNYH RQDOW

2.1.6. pRIMER. rQD

[arctg nx

;

arctg(n

;

1)x] IZ NEPRERYWNYH NA

n=1

SHODITSQ NA WSJ

WSEJ OSI FUNKCIJ un(x) = ; arctg(n ; 1)x + arctg nx

OSI K SWOEJ SUMME S(x) NERAWNOMERNO I FUNKCIQ S(x) IMEET RAZRYW

PRI x = 0.

RQDA 1 [arctg nx

/ ~ASTI^NYE SUMMY Sn(x)

;

arctg(n

;

1)x] IME@T WID

n=1

Sn(x) = arctg x

; arctg x + arctg 2x ; arctg 2x + arctg 3x+

+ : : : ; arctg(n ; 2)x + arctg(n ; 1)x

; arctg(n ; 1)x + arctg nx = arctg nx:

sUMMA S(x) NA[EGO RQDA RAWNA

PRI x > 0

nlim Sn(x) = nlim arctg nx =

PRI x

= 0

; =2

PRI x < 0:

[arctg nx

arctg(n 1)x]

tAK KAK FUNKCIQ S(x) RAZRYWNA, TO RQD

n=1

;

SHODITSQ K S(x) NE RAWNOMERNO. .

2.1.7. pRIMER. rQD (1

;

x)+(x

;

x2)+(x2

;

x3)+: : : =

(xn;1

;

xn) IZ

n=1

WS@DU NEPRERYWNYH FUNKCIJ SHODITSQ NA OTREZKE [0P1]

K SWOEJ SUMME

S(x) NERAWNOMERNO I FUNKCIQ S(x) IMEET RAZRYW PRI x = 1.

/ tAK KAK n-Q ^ASTI^NAQ SUMMA Sn(x) RQDA

(xn;1

;

xn) RAWNA

Pn=1

1 ; x + x ; x2 + x2 ; x3 + : : : + xn;2 ; xn;1 + xn;1 ; xn = 1 ; xn

TO nlim Sn(x) = S(x) = 8

1 PRI 0 6 x < 1

I FUNKCIQ S(x) RAZRYWNA W

PRI x = 1

xn) = 0.

TO^KE x = 1. dLQ FIKSIROWANNOGO n IMEEM lim Sn(x) = lim

;

pO\TOMU PRI 0 6 x < 1 NERAWENSTWO

S(x)j

= x

jSn(x)

;

j ; x

1=2 = " NE MOVET WYPOLNQTXSQ ODNOWREMENNO DLQ WSEH 0

6 x < 1 I RQD

1 (xn;1

;

xn) SHODITSQ NA OTREZKE [0 1] NE RAWNOMERNO. .

Pn=1

RQDOW. eSLI

2.1.8. pO^LENNOE INTEGRIROWANIE

RQD n=1 un(x)

RAWNOMERNO SHODITSQ NA OTREZKE [a b] I WSE FUNKCII un(x) NEPRERYWNY

NA [a b],

SUMMA

S(x)

DANNOGO

RQDA

INTEGRIRUEMA

[a b]

Zb S(x)dx = 1

Zb un(x)dx.

n=1 a

n1=1 un(x)

/ pO 2.1.5 SUMMA S(x)

RAWNOMERNO

SHODQ]EGOSQ RQDA

NEPRERYWNYH FUNKCIJ NEPRERYWNA NA [a b] I PO\TOMU INTEGRIRUEMA NA

18 fUNKCIONALXNYE RQDY

[a b]. nEPRERYWNYE FUNKCII un(x)

TOVE INTEGRIRUEMY NA [a b]. eSLI

Sn(x) = u1(x) + u2(x) + : : :+ un(x) { n-Q ^ASTI^NAQ SUMMA RQDA n1=1 un(x),

Zb Sn(x)dx = Zb u1(x)dx + Zb u2(x)dx + : : : + Zb un(x)dx:

wOZXMEM L@BOE ^ISLO " > 0. tAK KAK RQD n1=1 un(x) RAWNOMERNO SHODIT-

SQ K S(x), TO SU]ESTWUET TAKOJ NOMER

N, ZAWISQ]IJ OT " > 0 I NE

ZAWISQ]IJ OT x, ^TO jS(x) ; Sn(x)j <

DLQ WSEH n N I x 2 [a b].

tAK KAK

;

Zb S(x)dx ; Zb Sn(x)dx =

Zb(S(x) ; Sn(x))dx 6 Zb jS(x)

; Sn(x)jdx 6

" a b

dx =

(b ; a) = "

;

TO Zb S(x)dx = nlim

Zb Sn(x)dx, ^TO I TREBOWALOSX. .

!1 a

2.1.9. pO^LENNOE DIFFERENCIROWANIE RQDOW. pUSTX RQD n1=1 un(x)

SHODITSQ

OTREZKE

[a b],

WSE ^LENY un(x) \TOGO

RQDA PIME@T

NEPRERYWNYE PROIZWODNYE NA [a b] I RQD 1 u0 (x) = u0 (x) + u0

(x) +

n=1

tOGDA SUMMA S(x) RQDA

: : : + u0 (x) + : : : RAWNOMERNO SHODITSQ NA [a b].

1 u0n(x).

un(x) IMEET PROIZWODNU@ NA [a b] I S0(x) =

n=1

pUSTX

S (x)

{

SUMMA

RQDA

u0 (x). tAK KAK

RQD

(x)

n=1

RAWNOMERNO

SHODITSQ

[a b],

PO 2.1.5 S (x) NEPRERYWNA

[a b]

RQD

u0n(x)

MOVNO

INTEGRIROWATX

PO^LENNO

n=1

[a x],

GDE

{

L@BOE

FIKSIROWANNOE

^ISLO.

tOGDA

x 2

[a b]

S (t)dt

(t)dt

u0 (t)dt = un(x)

;

un(a),

OTKUDA

n=1 a

Zx S (t)dt = 1

[un(x) ; un(a)] = 1 un(x) ; 1 un(a) = S(x) ; S(a).

n=1

tAK

KAK

INTEGRALE

Zx S (t)dt FUNKCIQ S (t)

NEPRERYWNA,

FUNKCIONALXNYJ RQD WIDA

sTEPENNYE RQDY

TEOREME O PROIZWODNOJ OPREDELENNOGO INTEGRALA PO WERHNEMU PREDELU

3 PROIZWODNAQ OT \TOGO INTEGRALA PO x RAWNA S (x). dIFFERENCIRUQ
RAWENSTWO	1	un(x) ;	1	un(a) = S(x) ; S(a),	POLU^IM	S (x) = S0(x). .
	n=1	un(x) ;	n=1	un(a) = S(x) ; S(a),		S (x) = S0(x). .
	X		X

2.2.sTEPENNYE RQDY

2.2.1.sTEPENNYE RQDY. sTEPENNYM RQDOM NAZYWAETSQ

c0 + c1(x ; a) + c2(x ; a)	2	+ : : : + cn(x ; a)	n	1	n	,	GDE
				+ : : : = nP=0 cn(x ; a)

c1 c2 : : : { ^ISLA, NAZYWAEMYE KO\FFICIENTAMI STEPENNOGO RQDA. oBLA-

STX SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA WSEGDA SODERVIT TO^KU a. pEREHODQ K

NOWOJ PEREMENNOJ t = x

; a, MOVNO OGRANI^ITXSQ SLU^AEM a = 0.

2.2.2. tEOREMA aBELQ.

1) eSLI STEPENNOJ RQD 1 cnxn

SHODITSQ PRI x = x1 = 0, TO \TOT RQD

nP=0

ABSOL@TNO SHODITSQ DLQ WSEH x

S USLOWIEM jxj < jx1j.

2) eSLI STEPENNOJ RQD 1 cnxn

RASHODITSQ PRI x = x2, TO \TOT RQD

n=0

RASHODITSQ DLQ WSEH xPS USLOWIEM jxj > jx2j.

1).

tAK KAK RQD 1 cnx1n

SHODITSQ,

TO PO NEOBHODIMOMU PRIZNAKU

n=0

SHODIMOSTI 1.1.5

limPcnx1n = 0. pO\TOMU NAJDETSQ TAKOE M > 0, ^TO

6 M PRI n

n!1

x <

cnx

= 0 1 2 : : :. wOZXMEM L@BOE TAKOE x, ^TO

1 j

xjnj

OBOZNA^IM q =

< 1. tOGDA

cnxn

6 M

= M

1 M

1 j x1

I RQD

qn SHODITSQ, POSKOLXKU 0

q <

pO PERWOMU PRIZNAKU

n=0

cnxn

1 cnxn ABSOL@TNO

SRAWNENIQ 1.2.1 RQD 1

TOVE SHODITSQ, T.E. RQD

SHODITSQ.

n=0

P j

2). dOPUSTIM, ^TO STEPENNOJ RQD

1 cnxn SHODITSQ W KAKOJ-NIBUDX TAKOJ

n=0

TO^KE x, ^TO jx2j < jxj. pO DOKAZANNOMU W 1) RQD n1=0 cnxn SHODITSQ W x2,

^TO PROTIWORE^IT USLOWI@. .

n1=0 cnxn

2.2.3.

eSLI

OBLASTX

SHODIMOSTI

STEPENNOGO

RQDA

SOWPADAET SO WSEJ OSX@ Ox I NE SOSTOIT TOLXKO IZ ODNOJ TO^KI x = 0,

3sM., NAPRIMER, 6.3 IZ [3].

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022312.35 Кб1245013.pdf
#
26.02.2023155.35 Кб2245273.pdf
#
13.11.202218.49 Mб92453.doc
#
13.11.2022125.44 Кб32464.doc
#
13.11.2022583.68 Кб32465.doc
#
15.11.2022475.29 Кб1246503.pdf
#
15.11.2022366.19 Кб2247862.pdf
#
13.11.20221.45 Mб42485.doc
#
13.11.20224.43 Mб292495.doc
#
13.11.2022885.25 Кб72497.doc
#
15.11.2022609.27 Кб3249821.pdf