Расчет нелинейных электрических цепей (96

3.3. Анализ электромагнитных процессов в нелинейных индуктивных цепях переменного синусоидального тока методом эквивалентных синусоид

В соответствии с особенностью электромагнитных процессов в катушке с ферромагнитным магнитопроводом их модель должна количественно учитывать все процессы в катушке: изменение индуктивности (статической, динамической, средней), гистерезис, потери энергии на гистерезис и вихревые токи, потоки рассеяния

Φs , замыкающиеся по воздуху, а не по магнитопроводу вследст-

вие конечности магнитной проводимости материала магнитопровода. Наконец, следует учитывать несинусоидальность тока, а также насыщение магнитопровода.

Однако в целом ряде прикладных задач не требуется точного исследования формы кривой тока или напряжения. Например, в теории электрических машин или в электроэнергетике иногда достаточно провести расчет действующих значений токов, напряжений и мощностей, детально не анализируя искажение их синусоидальной формы вследствие нелинейности и других причин. Решение этих задач значительно облегчается, если периодические токи и напряжения приближенно представлять (аппроксимировать) эквивалентными синусоидальными токамиинапряжениями(эквивалентнымисинусоидами).

Эквивалентность синусоиды и исходной периодической электрической величины базируется на законах сохранения энергии (балансе мощностей). Поэтому синусоида, эквивалентная периодическому току (напряжению, ЭДС), во-первых, имеет такой же период и, вовторых, такое же действующее значение, как и исходный периодический ток (напряжение, ЭДС). После перехода к эквивалентным синусоидам можно пользоваться комплексным методом расчета цепей синусоидальноготокаиаппаратомвекторныхдиаграмм.

Реальная катушка со сталью в цепи синусоидального тока.

Полное уравнение состояния для катушки со сталью (второй закон Кирхгофа) согласно рис. 17:

e +es = −u +iR, u =iR −es −e =iR + ddtΨs −e.

Так как поток рассеяния Φs замыкается по воздуху, который ненасыщаем, то Ψs =Lsi, где Ls – индуктивность рассеяния (линейная величина). В таком случае u =iR + Ls dtdi −e.

21

Рис. 17

В комплексной форме U = IR + IjX s − E, где X s =ωLs – индук-

тивное сопротивление рассеяния.

Феррорезонанс напряжений. В цепи с последовательным соединением нелинейной катушки индуктивности и линейного конденсатора (рис. 18, а) возможно явление, аналогичное резонансу наряжений в линейной цепи. Для упрощения анализа схемы с нелинейной индуктивностью сделаем следующие предположения:

1)индуктивную катушку с ферромагнитным магнитопроводом представим как нелинейную индуктивность с резистивным сопротивлением обмотки;

2)при каждом изменении действующего значения тока в цепи установившийся периодический режим будем описывать эквивалентным синусоидальным режимом и применять комплексный метод и векторные диаграммы;

3)нелинейную зависимость B(H ) или Ψ(H ) для ферромаг-

нитного магнитопровода преобразуем в нелинейную ВАХ UL (Ι)

для действующих значений эквивалентных синусоид тока и напряжения нелинейной индуктивности.

Линейная емкость имеет линейную ВАХ UC (I ). Согласно

второму закону Кирхгофа для цепи, показанной на рис. 18, б:

U =UR +UL +UC .

22

в

Рис. 18

23

Пренебрегая напряжением UR (рис. 18, а), с учетом противоположности напряжений UL и UC по фазе получаем: U =|UL −UC |, т. е. геометрическая сумма превращается в ариф-

метическую разность. Поскольку используются действующие значения напряжений и токов, разность берем по абсолютной величине.

Проведя графическое вычитание ВАХ UL (Ι) и UC (Ι) при раз-

личных значениях тока, получим ВАХ цепи с последовательным соединением линейной емкости и нелинейной индуктивности. Эта ВАХ имеет нулевое напряжение при токе Ι =5 A (рис. 18, в,

штрих-пунктирная кривая). Это точка резонанса K, UL0 =UC0 .

Главное отличие феррорезонанса напряжений от резонанса напряжений здесь состоит в том, что изменяются не частота, индуктивность или емкость в цепи, как это имело место при резонансе напряжений, а ток в цепи (хотя, в конечном счете, изменяется все же нелинейная индуктивность). Эта индуктивность уменьшается, и индуктивное сопротивление становится равным емкостному сопротивлению при резонансе. Кроме того, ток в нелинейной цепи оказывается несинусоидальным, и резонанс наступает лишь на первой гармонической составляющей.

Если учесть резистивное сопротивление R и его ВАХ UR (I),

то результирующая ВАХ цепи поднимается выше. Точка резонанса напряжений K становится точкой 2, результирующее напряже-

ние U = UR2 +(UL −UC )2 уже не равно нулю при резонансе, а равно сумме UR и нескомпенсированных высших гармонических

составляющих.

Для последовательной феррорезонансной цепи ВАХ имеет N- образную неоднозначную форму с максимумом (точка 1) и минимумом (точка 2). Всю N-образную характеристику можно получить лишь от источника тока, поскольку для тока ВАХ цепи однозначна. Если использовать источник напряжения, то для напряжения ВАХ цепи неоднозначна и одному значению напряжения могут соответствовать три значения тока, например, при U =75 В и возможны три

режима в цепи, соответствующие рабочим точкам 5, 6 и 7. Причем режим в точке 5 устанавливается при увеличении напряжения, режим в точке 7 – при уменьшении напряжения, а режим в точке 6

24

находится на неустойчивой части ВАХ цепи и может быть получен не от источника напряжения, а лишь от источника тока.

триггерный, эффект – это скачкообразное изменение одной величины (вданномслучаетока) приплавномизменениидругой(напряжения).

Феррорезонанс токов. Аналогичное явление, называемое феррорезонансом токов, имеет место и при параллельном соединении нелинейной индуктивности и линейной емкости (рис. 20, а). При тех же допущениях построим ВАХ ветвей IR (U ), IL (U ) и IC (U ) и

всей цепи I (U ) (рис. 20, б).

При некотором значении входного напряжения U (точка резонанса K ВАХ цепи) разность фаз эквивалентных синусоид тока цепи I и входного напряжения U равна нулю (резонанс токов). Проводимость цепи при резонансе (ϕ=0) минимальна и равна активной про-

водимости g = R1 , при этом минимален и входной ток цепи в окрест-

ности точки резонанса 2. ВАХ Ι(U ) цепи также имеет падающий

участок (неустойчивая часть характеристики), цепь имеет S-образную ВАХ и в ней возможны релейные (триггерные), скачкообразные изменения напряжения U при плавном изменении тока I, если цепь

питается от источника тока. При питании цепи от источника напряженияВАХоднозначнаиможетбытьснятаполностью.

Пример расчета параметров цепи в режиме феррорезонанса напряжений. ВАХ нелинейной индуктивности (рис. 21) представлена уравнением

где I выражено в амперах, U – в вольтах; xC = 100 Ом (по первой гармонике); R = 100 Ом.

25

а

Rп = 50 Ом, xCп = 50 Ом.

26

Сопротивление цепи только активное:

zвх = Rэ =50 Ом,

следовательно,

U = IRэ = 2 50 =100 В.

Пример расчета параметров цепи в режиме феррорезонанса токов. ВАХ нелинейной индуктивности (рис. 22) задана уравнением

27

При резонансе bL =bCэ , следовательно,

Проводимость цепи при резонансе только активная:

Yвх = gэ =0,06 См,

значит,

I =UYвх = 0,9 0,006 =0,0054 А.

28

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1985.

2. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов: В 3 т. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. СПб.: Пи-

тер, 2003.

3.Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи: Учеб. для студентов электротехн. спец. вузов. 2-е изд., перераб. и

доп. М.: Высш. шк., 1986.

4.Бессонов Л.А. Нелинейные электрические цепи: Учеб. пособие для втузов. 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1977.

5.Енин В.Н., Николаев С.С. Расчет установившихся и переходных процессов в нелинейных цепях: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

6.Масленникова С.И., Курашова Л.И. Нелинейные цепи постоянного тока: Сборник задач по курсу «ТОЭ». Ч. I. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1981.

29

3.2.Анализ электромагнитных процессов в катушке

смагнитопроводом из материала с прямоугольной кривой

30