Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие для студентов заочного факультета по дисциплине «Дискретная математика» (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

178.	Положительная полустепень вершины xi орграфа D							( xi ) -…
179.	Отрицательная полустепень вершины xi орграфа D							( xi ) -…
180.	Для вершины xi орграфа D выполняется равенство…
1)	(xi )	xi		xi .
2)	(xi )	xi		xi .
3)	(xi )	xi		xi .
4)	(xi ) 2		xi	xi .
5)	(xi )	xi		xi	0 .
							n
181.	В графе D		V D	n ,	E D	m .	xi …

182.В графе D число вершин нечетной степени (поставьте 0, если четно, и 1,

если нечетно)…
183.	Граф G называется однородным (регулярным), если…
184.	Однородный граф G с	xi	0…
185.	Однородный граф G с	xi	1 …
186.	Однородный связный граф G с xi 2…

187.Неориентированный граф G называется связным, если…

188.Ориентированный граф D называется несвязным, если…

189.Неориентированный граф G без кратных ребер и петель с заданным

набором степеней вершин 1 2 ... n существует тогда и только тогда, когда существует граф с набором степеней вершин: …

190.Орграф D называется сильно связным, если…

191.Орграф D называется односторонне связным, если…

192.Орграф D называется слабо связным, если…

193.Маршрут в неориентированном графе G -…

194.Расстояние между двумя вершинами в неориентированном графе G -… (Укажите не менее двух пунктов).

195. Условный радиус графа G относительно вершины c r(G) …

196.Радиус графа G r(G) …

197.Центр графа G C …

198.	Диаметр графа G d (G) …
199.			- число вершин графа G ,	E G	- число ребер графа G .	R G	-
199.		V G	- число вершин графа G ,	E G	- число ребер графа G .	R G	-

число областей, на который граф G разбивает плоскость. Эйлерова характеристика графа G …

200. Эйлерова характеристика связного планарного графа равна…

Рекомендации к выполнению контрольной работы.

Задание 1.

Множество всех подмножеств множества 0, 2,9 имеет вид:

1.	,0, 2,9,			0, 2		, 0,9 , 2,9	, 0, 2,9 .
2.	, 0 , 2			, 9		, 0,0 , 2, 2	, 9,9	, 0, 2,9 .
3.	,	0 ,	2	,	9	, 0, 2 , 0,9	, 2,9	, 0, 2,9 .
4.	,	0 ,	2 ,		9 , 18 , 0 , 0 , 0 .

5., 0 , 2 , 9 , 0,0 , 2, 2 , 2,9 , 0, 2,9 .

Решение.

Множество всех подмножеств состоит из пустого множества, подмножеств, состоящих из одного элемента, двух элементов, …, и самого множества. Таким образом, правильный ответ под номером 3.

Задание 2.

A 12,17,38,49 , B 17,38,49,50 , С 38,51,53,54 . Тогда множество A B \ C ...

1.12,49 .

2.17,49 .

3.12,17 .

4.17,38 .

5.38,40 .

Решение.
				B ,		то есть		разность	множеств	A и B состоит из
A \ B	x	x	Aи x
элементов,	которые принадлежат						A ,	но не принадлежат		B .	Следовательно,
B \ C 17,49,50 .							B ,	то есть	пересечение		двух множеств
			A B	x	x	Aи x

состоит из элементов, которые принадлежат каждому из множеств.

Следовательно, A	B \ C	17,49 . Правильный ответ под номером 2.
Задание 3.
Если A 3,5 , B	3,4,8	, то множество A B

1.9,12,24,15,20,40 .

2.	3, 4	,	3,8	,	5,3	,	5, 4	,	5,8 .
3.	3,3	,	4,3	,	8,3	,	3,5	,	4,5 , 8,5 .
4.	3,3	,	3, 4	,	3,8	,	5,3	,	5, 4 .

5.3,3 , 3, 4 , 3,8 , 5,3 , 5, 4 , 5,8 .

Решение.

Прямое произведение A B a, b a A, b B , то есть это множество пар,

первый элемент пары принадлежит A ,второй - B . Правильный ответ под номером 5.

Задание 4.

Отношение d 10,10 , 13,13 , 35,35 , 49, 49 , 10,13 , 10,35 , 35,10 , 13,35 , 13, 49 на множестве

M10,13,35,49 является отношением…

1.Частичного порядка.

2.Эквивалентности.

3.Строгого порядка.

4.Не обладает ни одним из указанных свойств. Решение.

Проверим все свойства.

Рефлексивность: x M x, x d . Свойство выполняется. Все пары с

одинаковыми элементами принадлежат d .
Антирефлексивность:		x	M	x, x d .		Свойство не выполняется. В
отношении есть пары с одинаковыми элементами.
Симметричность: x, y		M	x, y		d	y, x	d . Свойство не выполняется.
10,13 d , а 13,10 d .
Антисимметричность:		x, y M			x, y	d, y, x d		x	y .	Свойство	не
выполняется. 10,35 d ,	35,10	d , но 10			35.
Транзитивность:	x, y, z		M	x, y d ,		y, z	d	x, z	d .	Свойство	не
выполняется. 35,10 d ,	10,13	d , но		35,13		d .
Следовательно, правильный ответ под номером 4.
Задание 5.
Отношение d 29, 29 , 31, 31 , 41, 41 ,			43, 43 , 31, 41 ,			41, 31 ,	29, 43 ,	43, 29	на множестве

M29,31,41,43 является отношением…

1.Частичного порядка.

2.Эквивалентности.

3.Строгого порядка.

4.Не обладает ни одним из указанных свойств. Решение.

Проверим все свойства.

Рефлексивность: x M x, x d . Свойство выполняется. Все пары с

одинаковыми элементами принадлежат d .
Антирефлексивность:	x	M	x, x	d . Свойство не выполняется. В
отношении есть пары с одинаковыми элементами.
Симметричность: x, y	M	x, y	d		y, x	d . Свойство выполняется.
Антисимметричность:	x, y		M	x, y d,		y, x	d	x y .	Свойство не
выполняется. 31,41 d , 41,31	d , но 31			41.
Транзитивность:	x, y, z		M	x, y	d ,	y, z	d	x, z	d . Свойство
выполняется.

Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Это отношение эквивалентности. Правильный ответ под номером 2.

Задание 6.

Отношение d 20, 20 , 24, 24 , 26, 26 , 31,31 , 20, 24 , 20, 26 , 20,31 , 24, 26 , 24,31 на множестве

M20,24,26,31 является отношением…

1.Частичного порядка.

2.Эквивалентности.

3.Строгого порядка.

4.Не обладает ни одним из указанных свойств. Решение.

Проверим все свойства.

Рефлексивность: x M x, x d . Свойство выполняется. Все пары с

одинаковыми элементами принадлежат d .
Антирефлексивность:	x	M	x, x	d . Свойство не выполняется. В
отношении есть пары с одинаковыми элементами.
Симметричность: x, y	M	x, y	d	y, x	d . Свойство не выполняется.
20,24 d , а 24,20 d .
Антисимметричность:		x, y	M	x, y d,	y, x d x y .	Свойство

выполняется. В отношении нет симметричных пар, кроме пар			с равными
элементами.
Транзитивность:	x, y, z M x, y d , y, z d	x, z d .	Свойство

выполняется.

Отношение рефлексивно, симметрично и транзитивно. Это отношение частичного порядка. Правильный ответ под номером 1.

Задание 7.

Отношение d 13,14 , 13, 20 , 13, 43 , 14, 20 , 14, 43 , 20, 43 на множестве

M13,14,20,43 является отношением…

1.Частичного порядка.

2.Эквивалентности.

3.Строгого порядка.

4.Не обладает ни одним из указанных свойств. Решение.

Проверим все свойства.

Рефлексивность: x M x, x d . Свойство не выполняется. В отношении нет пар с одинаковыми элементами. Поэтому отношение антирефлексивно (

x M	x, x d ).
Симметричность: x, y M x, y d		y, x d . Свойство не выполняется.
13,14	d , а 14,13 d .

Антисимметричность:	x, y	M x, y	d, y, x	d	x	y .	Свойство
выполняется. В отношении нет симметричных пар.
Транзитивность:	x, y, z M	x, y	d , y, z	d	x, z	d .	Свойство

выполняется.

Отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Это отношение строгого порядка. Правильный ответ под номером 3.

Задание 8.

Таблица истинности булевой функции f x, y xy x y …

	x	y	f	x, y

	0	0		0
	0	1		0
	1	0		1
	1	1		1
2.
	x	y	f	x, y

	0	0		1
	0	1		1
	1	0		0
	1	1		1
3.
	x	y	f	x, y

	0	0		1
	0	1		1
	1	0		0
	1	1		0
4.
	x	y	f	x, y

	0	0		1
	0	1		0
	1	0		0
	1	1		1
5.
	x	y	f	x, y

	0	0		1
	0	1		0
	1	0		1
	1	1		0

Решение.

f (x1 ,..., xi 1 , xi , xi 1 ,..., xn )

	В	формуле		xy	x y	определим,		какие		операции		выполняются
первыми. Обычный порядок такой:							, ,	,	,	,	. В нашем случае,
вначале вычисляется xy , затем						x	y , затем	xy	x	y	. Составляем таблицу
истинности:
	x	y	xy	x	y	f x, y

	0	0	0	1		1
	0	1	0	1		1
	1	0	0	0		0
	1	1	1	1		1
	Правильный ответ под номером 2.
Задание 9.
Для булевой функции					f (x, y, z) , заданной набором значений							(11110011),
справедливо утверждение

1.y , z - cущественные переменные, x - фиктивная.

2.x , y , z - cущественные переменные.

3.x , y - cущественные переменные, z - фиктивная.

4.x , z - cущественные переменные, y - фиктивная.

5.x - cущественная переменная, y , z - фиктивные.

Решение.

Переменная xi (1 i n ) булевой функции называется фиктивной, если имеет место равенство

f (x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn ) f (x1 ,..., xi 1 ,1, xi 1 ,..., xn )

для любых значений переменных x1 ,..., xi 1 , xi 1 ,..., xn . В противном случае переменная xi называется существенной. Наборы значений переменных в последнем равенстве называются соседними по переменной xi .

Для удобства приведем таблицу истинности.

x	y	z	f (x, y, z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Проверим, является ли переменная		x	существенной или фиктивной.
Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной x :
f (0,0,0)	1,
f (1,0,0)	0 .
f (0,0,0) f (1,0,0) . Значит, переменная x		–	существенная.

Рассмотрим теперь значения функции на наборах, соседних по переменной y :

f (0,0,0)	1,	f (0,0,1)	1,	f (1,0,0)	0 ,
f (0,1,0)	1.	f (0,1,1)	1.	f (1,1,0)	1.

f (1,0,0) f (1,1,0) . Следовательно, переменная y – существенная. Рассмотрим значения функции на наборах, соседних по переменной z :

f (0,0,0)

f (0,1,0)

f (1,0,0)

0 ,

f (1,1,0)

f (0,0,1)

f (0,1,1)

f (1,0,1)

0 .

f (1,1,1)

На всех парах соседних по переменной z

наборов значений переменных

функция принимает

равные

значения, следовательно,

переменная z –

фиктивная.

Правильный ответ под номером 3.

Задание 10.

Совершенная дизъюнктивная

форма

булевой

функции

f (x, y, z) , заданной

набором значений (10111011),…

1. x y z x yz xyz xy z xyz .

xyz

x yz

xyz

xy z

xyz

xyz .

x y z

xyz

xy z

xyz

xyz .

x y z

xyz

x yz

xy z

xyz

xyz .

x y z

x yz

xyz

xy z

xyz

xyz .

Решение.

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) для булевой

функции f (x1 ,...,

xn ) , не равной тождественно нулю, имеет вид:

f (x ,...,x

)

...x

n ,

( 1,...,

n ):

f ( 1,...,

n) 1

где

x,если

x ,если

Алгоритм построения СДНФ.

1.Построить таблицу истинности данной булевой функции.

2.Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать

	элементарная конъюнкция x					1 x	2	2 ...x	n , где (	1	,	2	,...,	n	)	– соответствующий
					1		2		n	1		2		n
	набор значений перемен-ных. В конъюнкции мы записываем xi , если i 1,

	и xi , если			i	0 . Конъюнкции соединяются знаком .
x			y	z	f (x, y, z)
0		0		0	1
0		0		1	0
0		1		0	1
																27

0	1		1		1
1	0		0		1
1	0		1		0
1	1		0		1
1	1		1		1
	СДНФ имеет вид:
f (x, y, z)		x y z		x y z xyz xy z		xyz xyz .
	Правильный ответ под номером 5.
Задание 11.
Совершенная				конъюнктивная		форма булевой функции f (x, y, z) , заданной
набором значений (00100111),…
1.	x y z x y z x y z .
2.	x y z x y z x y z x y z .
3.	x y z x y z x y z .
4.	x y z x y z x y z x y z .
5.	x y z x y z x y z x y z .

Решение.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) для функции f (x1 ,..., xn ) , отличной от тождественной единицы, имеет вид:

f (x ,...,x	n	)				(x	1	... x	n ) .
1	n	(	1,...,		n ):	1			n
		(	1,...,		n ):
		f (		1,...,	n) 0

Алгоритм построения СКНФ.

1.Построить таблицу истинности данной булевой функции.

2.Каждому нулевому значению булевой функции будет соответствовать

	элементарная			дизъюнкция		x	1 x	2	...	x	n ,	где	(	1	,	2	,...,	n	) -
					1			2			n			1		2		n
	соответствующий набор значений переменных. В дизъюнкции мы

	записываем xi , если i 0 , и				xi ,		если		i	1.	Дизъюнкции		соединяются
	знаком .
x		y	z	f (x, y, z)
0		0	0	0
0		0	1	0
0		1	0	1
0		1	1	0
1		0	0	0
1		0	1	1
1		1	0	1
1		1	1	1

СКНФ имеет вид:

f (x, y, z) x y z x y z x y z x y z .

Правильный ответ под номером 2.

Задание 12.

Полином Жегалкина булевой функции f (x, y, z) , заданной набором значений

(11110011)…

1.	xy	xz	1 .
2.	xyz	x	1.
3.	xy	x	1.
4.	xy	x	z .
5.	xy	1.

Решение.

Всякая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина:

f (x1 , x2 ,...,xn )	a0	a1 x1	... an xn
an 1 x1 x2 ...	a2n 1 x1 x2 ...xn ,
где a0 , a1,...,an ,...,a2n		1	0,1 , где знак обозначает сумму по модулю 2.

Алгоритм построения полинома Жегалкина.

1.Построить таблицу истинности данной булевой функции.

2.Каждому единичному значению булевой функции будет соответствовать

конъюнкция x					1 x	2	2 ...x		n	, где		(	1	,	2	,...,		n	) - соответствующий набор значений
				1		2		n					1		2			n
перемен-ных. Конъюнкции соединяются знаком .
3. Заменить выражения xi											по формуле: xi								xi 1. Раскрыть скобки и привести
подобные слагаемые по правилу:															x		x		0 .
x	y		z		f (x, y, z)
0	0		0			1
0	0		1			1
0	1		0			1
0	1		1			1
1	0		0			0
1	0		1			0
1	1		0			1
1	1		1			1
f (x, y, z)		x y z		x yz			xyz			xyz		xyz			xyz
(x	1)(y		1)(z	1)	(x 1)(y						1)z		(x			1) y(z			1)
(x	1) yz		xy(z 1)				xyz
xyz	yz		xz	z	xy		x		y		1	xyz			xz
yz	z	xyz		xy	yz		y			xyz		yz
xyz xy xyz xy x 1.
	Правильный ответ под номером 3.
																			29

Задание 13.

Для

булевой функции

f (x, y, z) , заданной набором значений (01101001),

справедливо утверждение…

T1 ,

S .

2. f T0 , f S , f M , f L .

3. f T0 , f T1 , f

S .

4. f T0 , f T1 , f L .

5. f T1 , f S , f L .

Решение.

Таблица истинности булевой функции имеет вид:

f (x, y, z)

f (0,0,0)

0 , следовательно f ( x, y, z) T0 .

f (1,1,1) 1 , следовательно

f ( x, y, z) T1 .

На всех противоположных наборах значений функция принимает

противоположные значения, следовательно, f (x, y, z) S .

Для проверки монотонности разобьем строку значений функции пополам:

0110

1001 . 0110 не предшествует 1001, следовательно, f (x, y, z) M .

Построим полином Жегалкина.

f (x, y, z)

x yz

xy z

xyz

( x

1)( y

1)z

( x

1) y(z

x y

1 (z

xyz

Функция представляет собой полином Жегалкина первой степени, следовательно,

f (x, y, z) L .

Правильный ответ под номером4.

Задание 14.

Для булевой функции f (x, y, z) , заданной набором значений (00110111), справедливо утверждение…

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]