Учебное пособие для студентов заочного факультета по дисциплине «Дискретная математика» (90
..pdf
Федеральное агентство связи
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Самара
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
Блатов И.А., Сергиевская И.М.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для студентов заочного факультета
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Дискретная математика
Самара
2011
2
УДК 621.391
Блатов И.А., Сергиевская И.М. Дискретная математика. Учебное пособие для студентов заочного факультета. - Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2011. - 63 с.
Учебное пособие включает программу экзамена по дискретной математике, вопросы для самопроверки разной степени сложности по разделамдискретной математики и ответы к ним, рекомендации к выполнению контрольной работы.
Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и подготовки к тестированию.
Редактор:
Старожилова О.В. – к.т.н., доц., доцент кафедры высшей математики ПГУТИ
Рецензент:
Головкина М.В. – к.ф.-м.н., доц., доцент кафедры физики ПГУТИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Блатов И.А., Сергиевская И.М., 2011
3
Содержание
Введение……………………………………………………………4
Программа экзамена по дискретной математике.……………….5
Литература………………………………………………………….7
Вопросы для самопроверки………………………………………..9 Рекомендации к выполнению контрольной работы……………30 Ответы на вопросы для самопроверки…………………………..48
Введение
Курс «Дискретная математика» является одним из основных курсов при подготовке программистов.
В настоящее время широко применяется тестирование как контроль знаний студентов. Данное пособие содержит рекомендации по выполнению контрольной работы студентов-заочников, а также может помочь организовать тестовый контроль знаний студентов специальностей 230100 «Программное обеспечение средств вычислительной техники и автоматизированных систем», 230400 «Информационные системы и технологии», поскольку написано в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по названным специальностям. Пособие может быть использовано и студентами других специальностей в курсе дискретной математики.
Тестовые задания затрагивают такие разделы курса как элементы теории множеств, булевы функции, комбинаторика, графы.
Программа экзамена по дискретной математике.
1.Понятие множества. Операции над множествами. Диаграммы ЭйлераВенна.Законы алгебры множеств.
2.Прямое произведение множеств.
3.Мощность множества.Теорема о мощности декартова произведения конечных множеств.Теорема о числе подмножеств конечного множества.Множества мощности континуума.
4.Понятие n-местного отношения.Бинарные отношения. Свойства отношений.
5.Отношение эквивалентности. Связь между отношением эквивалентности и разбиением множества. Классы эквивалентности.
6.Отношение частичного порядка. Отношение строгого порядка.
7.Реляционные базы данных.
8.Функции и отображения.Инъекция, сюръекция, суперпозиция, биекция, обратные функции.
9.Булевы функции одной и двух переменных.
10.Булевы функции. Способы задания. Существенные и фиктивные переменные.
4
11.Булевы формулы. Свойства логических операций.
12.Разложение булевой функции по переменным. Теоремы существования и алгоритмы построения СДНФ и СКНФ.
13.Свойства суммы по модулю 2. Алгоритм построения полинома Жегалкина. 14.Функционально полные системы. Теорема о функциональной полноте двух
систем функций.
15.Замкнутые классы функций. Классы T0 ,T1 , S , M, L.
16.Теорема о слабой полноте. Теорема Поста. Выделение базиса из функционально полной системы.
17.Минимизация булевых функций с помощью карт Карно
18.Схемы из функциональных элементов.
19.Неполностью определенные переключательные функции. Ограниченнодетерминированные функции.Диаграммы Мура.
20.Метод Блейка и метод Нельсона построения сокращенной ДНФ. 21.Основные задачи теории выборок.
22.Правила суммы и произведения.
23.Перестановки, размещения, сочетания без повторения.
24.Перестановки, размещения, сочетания с повторениями.
25.Формула Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.
26.Треугольник Паскаля. Полиномиальная формула.
27.Формула включения и исключения.
28.Задача о беспорядках.
29.Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами. 30.Графы. Основные понятия и определения. Изоморфизм графов. Некоторые
частные типы графов.
31.Матрица смежности. Матрица инцидентности.
32.Степени и полустепени вершин графа. Свойства.
33.Построение графа с заданным набором степеней вершин. Необходимое и достаточное условие существования. Алгоритм построения.
34.Маршруты, цепи, циклы. Связность в неориентированных и ориентированных графах.
35.Метрические характеристики графа.
36.Алгоритм определения достижимости вершин в графе.
37.Алгоритм нахождения кратчайших путей.
38.Транспортные сети.
39.Планарность графов.
40.Теорема Куратовского.
41.Раскраска графа.
5
Литература. Основная литература.
1.Блатов И.А., Сергиевская И.М. База тестовых заданий по учебной дисциплине «Дискретная математика» для студентов 2 курса заочной формы обучения по специальностям 230105, 230105у, 230210у. ПГУТИ, 2010.
2.Бочкарева О.В. Учебное пособие по математике (специальные главы). М., Радио и связь. 2001.
3.Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной математики. М., Наука. 1992.
4.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. М., Наука.
2000.
5.Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженеров. М., Энергоатомиздат. 1988.
6.Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М., Наука.1990.
7.Логинов Б.М. Введение в дискретную математику. Калуга, 1998.
8.Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях. М., Логос. 2000.
9.Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. М., Изд-во МАИ.
1992.
10.Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб, Питер.
2000.
11.Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. СПб, БХВ-Петербург. 2007.
12.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М., Высшая школа.
2001.
Дополнительная литература.
1.Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванова В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М., Наука. 1990.
2.Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения. СПб, Лань. 1999.
3.Меньшиков М.В., Ревякин А.М., Копылова А.Н., Макаров Ю.Н., Стечкин Б.С. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. М.,Наука. 1982.
4.Оре О. Теория графов. М., Мир, 1980.
5.
Методические разработки.
1.Гурзова Г.В. Методические указания к типовому расчету “Исследование и реализация булевых функций”. Самара, 1995.
2.Гурзова Г.В., Сергиевская И.М., Соловьева Л.А. Методические указания по разделу дискретной математики “Комбинаторика” (часть I). Самара, 1998.
3.Сергиевская И.М. Методические указания по дискретной математике для студентов, обучающихся по специальности 220400. Самара, 2001.
6
4.Сергиевская И.М. Методические указания и контрольные задания по дискретной математике для студентов заочного факультета. Самара, 2001.
Вопросы для самопроверки.
1.Истинное утверждение…
1)1 1, 2, 3 .
2)1 1, 2, 3 .
3)1 1, 2, 3 .
4) 0 1, 2, 3 .
5)1 1, 2, 3 .
2.Истинное утверждение…
1)0 1, 2, 3 .
2)1 1, 2, 3 .
3)1 1, 2, 3 .
4)1 1, 2, 3 .
5)1 1, 2, 3 .
3. |
Объединение множеств A и B A B |
… |
|
4. |
Пересечение множеств A и B A |
B |
… |
5. |
Разность множеств A и B A \ B |
… |
|
6.Дополнение множества A …
7.Симметрическая разность множеств A и B … (Укажите не менее двух пунктов).
8.Свойство коммутативности объединения множеств…
9.Свойство коммутативности пересечения множеств…
10.Свойство ассоциативности объединения множеств…
11.Свойство ассоциативности пересечения множеств…
12.Свойство дистрибутивности пересечения множеств относительно объединения…
13.Свойство дистрибутивности объединения множеств относительно пересечения …
14.Свойство ассоциативности симметрической разности множеств…
15.Закон двойного дополнения… 16.Законы де Моргана для множеств… (Укажите не менее двух пунктов).
17.Соответствие между свойствами операций над множествами и формулами…
1) |
Ассоциативность объединения. |
1) A |
B |
C |
A B |
A C . |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Коммутативность пересечения. |
2) A |
B |
B |
A. |
|
3) |
Ассоциативность симметрической разности. |
3) A |
B C |
A B |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
7
4)Дистрибутивность пересеченияотносительно |
4) A |
B |
C |
A B C . |
объединения. |
|
|
|
|
5) Коммутативность объединения. |
5) A |
B |
B |
A. |
18.Соответствие между свойствами операций над множествами и формулами…
1) |
Закон де Моргана. |
1) A |
B |
B |
A. |
|
|
||||||
2) |
Коммутативность пересечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
A |
B |
|
A |
|
B . |
|
||||||
3) |
Ассоциативность пересечения. |
3) |
A |
B |
C |
A |
B |
C . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4)Дистрибутивность пересеченияотносительно |
4) A |
B |
C |
A |
B |
C . |
|||||||
объединения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
Ассоциативность объединения. |
5) A |
B |
C |
A |
B |
A C . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.Соответствие между свойствами операций над множествами и формулами…
1) |
Ассоциативность пересечения. |
1) A |
B C |
|
A B |
C . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Коммутативность пересечения. |
2) A |
B |
B |
A. |
|
|
||||||
3) |
Ассоциативность симметрической разности. |
3) A |
B |
|
C |
|
|
A |
B |
C . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4)Дистрибутивность объединенияотносительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) A |
B |
|
A |
|
B . |
|
|
||||||
пересечения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Закон де Моргана. |
5) A |
B |
C |
A B |
A |
C . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.Соответствие между свойствами операций над множествами и формулами…
1) |
Закон де Моргана. |
|
1) A |
B |
B |
A. |
|
|
||||||||||||
2) |
Коммутативность объединения. |
|
2) A |
B |
C |
A |
B |
A C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3) |
Двойное дополнение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3) A |
B |
|
A |
|
B . |
|
|||||||||||||
4)Дистрибутивность пересеченияотносительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4) A |
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
объединения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5) |
Ассоциативность объединения. |
|
5) A |
B |
C |
A |
B |
C . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
21.Прямое произведение множеств A и B A B |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
22.В общем случае выполняется свойство… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1) |
A |
B |
B |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
A |
B |
B |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
A |
B |
B |
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
A |
B |
B |
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
A |
B |
B |
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.Ассоциативность прямого произведения множеств…
24.A B тогда и только тогда, когда…
25.A B тогда и только тогда, когда…
26.A B тогда и только тогда, когда…
27.Множества A и B находятся в общем положении тогда и только тогда, когда… Для множеств из вопросов 28-31 справедливы свойства:
1)A B .
2)B A.
8
3) |
A |
B . |
|
4) |
A |
B |
. |
5)A и B находятся в общем положении.
28.A 
1,2,3 , B 
3,4 .
29. A |
1, 2 |
, B |
1, 2, 3 . |
30. A |
1, 2 |
, B |
3,4 . |
31. A |
1,2,3 , B |
3 . |
|
32.Множество всех подмножеств множества 1,2,3 |
… |
|||||||||||||||||
33.Множество всех подмножеств множества |
3,4,5 |
… |
||||||||||||||||
34.Множество всех подмножеств множества |
4,5 … |
|||||||||||||||||
35.Если |
|
A |
|
|
n , то |
|
P A |
|
… |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
36.Если |
|
A |
|
m , |
|
B |
|
n , то |
|
A B |
|
… |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
37.Мощность конечного множества…
38.Счетным множеством называется множество, эквивалентное множеству… 39.Счетные множества… (Укажите не менее трех пунктов).
1)N .
2)Q .
3)Z .
4)R .
5)C .
40.Мощность континуума имеют множества… (Укажите не менее двух пунктов).
1)R .
2)Z .
3)C .
4)N .
5)Q .
41.Бинарное отношение |
на множестве M – это подмножество множества… |
||||
Даны свойства бинарного отношения на множестве M : |
|||||
1) |
x |
M x |
|
x . |
|
2) |
x, y M x y, y x x y . |
||||
3) |
x, y |
M x y y x . |
|
||
4) |
x |
M x |
|
x . |
|
|
|
||||
5) |
x, y, z M x y, y z |
x z . |
|||
Определить: |
|
|
42.Свойство рефлексивности бинарного отношения |
на множестве M … |
|
43.Свойство антирефлексивности бинарного отношения |
на множестве M … |
|
44.Свойство симметричности бинарного отношения |
на множестве M … |
|
45.Свойство антисимметричности бинарного отношения |
на множестве M … |
|
46.Свойство транзитивности бинарного отношения |
на множестве M … |
|
Даны свойства бинарного отношения 
на множестве M :
9
1) |
x |
M |
x, x |
. |
|
|
|
2) |
x, y M |
x, y |
, y, x |
x y . |
|
||
3) |
x, y M |
x, y |
y, x |
. |
|
||
4) |
x |
M |
x, x |
. |
|
|
|
5) |
x, y, z M x, y |
, y, z |
x, z |
. |
|||
Дать определения: |
|
47.Свойство рефлексивности бинарного отношения |
на множестве M … |
48.Свойство симметричности бинарного отношения |
на множестве M … |
49.Свойство транзитивности бинарного отношения |
на множестве M … |
50.Отношение эквивалентности на множестве M … (Укажите не менее трех пунктов).
51.Отношение частичного порядка на множестве M … (Укажите не менее трех пунктов).
52.Отношение строгого порядка на множестве M … (Укажите не менее трех пунктов).
53.Отношение эквивалентности на множестве M не… (Укажите не менее двух пунктов).
54.Отношение строгого порядка на множестве M не… (Укажите не менее двух пунктов).
55.Отношение частичного порядка на множестве M не… (Укажите не менее двух пунктов).
56.Данная таблица истинности соответствует булевой функции…
x |
y |
f x, y |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
57.Данная таблица истинности соответствует булевой функции…
x |
y |
f x, y |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
58.Данная таблица истинности соответствует булевой функции…
x |
y |
f x, y |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
59.Данная таблица истинности соответствует булевой функции…
10