Руководство по выполнению контрольной работы по эконометрике (110

Казанский институт (филиал) ГОУ ВПО Российский государственный торгово-экономический университет

_______________________________________________________

Кафедра информатики и высшей математики

ТАЛЫЗИН В.А.

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭКОНОМЕТРИКЕ

Учебное пособие

КАЗАНЬ-2008г.

Введение

При проведении практических занятий осуществляется более углубленное изучение студентами тем дисциплины, развиваются навыки самостоятельного решения конкретных практических задач. Методика проведения практических занятий заключается в совместном решении студентами учебной группы под руководством преподавателя типовых задач небольшого размера по изучаемым темам дисциплины. При этом студенты используют учебные и учебнометодические разработки кафедры по данной дисциплине, а также, в связи со значительным объемом вычислений – калькуляторы. Одна из целей проведения практических занятий – научить студентов использовать при решении задач математические и математико-статистические таблицы.

Эконометрика опирается на массивы данных и достаточно сложные расчеты, поэтому целесообразно некоторые практические занятия проводить в компьютерных классах, т. е. проводить занятия в форме лабораторных работ. Цель лабораторных занятий – выработка у студентов навыков по использованию ПЭВМ в эконометрическом анализе систем, привитие умения по овладению методами научного анализа. При решении таких задач рекомендуется ис-

пользовать ППП Excel, STATGRAPHICS, STATISTICA, MathCAD.

Целесообразно в лабораторный практикум включить следующие темы:

1.Модель парной линейной и нелинейной регрессии.

2.Модель множественной линейной регрессии.

3.Выявление (тесты Спирмена, Голдфелда-Квандта) и устранение гетероскедастичности (ВМНК).

4.Выявление (тест Дарбина-Уотсона) и устранение автокорреляции.

5.Исследование временного ряда.

6.Моделирование сезонных колебаний.

Задачи, предназначенные для решения с использованием компьютера, помечены в сборнике символом (*).

При применении компьютерных пакетов студенты должны как можно больше использовать возможности этих пакетов. Например, построение линейного уравнения множественной регрессии опирается на основы линейной алгебры и для нахождения произведения матриц, обратной матрицы следует использовать встроенные функции МУМНОЖ(-;-), МОБР(-) табличного процес-

сора MS Excel.

Отчет по лабораторной работе должен содержать: исходную информацию, постановку задачи, результаты решения задачи (в таблицах) и анализ полученных результатов.

1. Основные понятия математической статистики, используемые в эконометрике

1.1. Статистическое оценивание

Изучается количественный признак X генеральной совокупности по выборке объема n : x1 , x2 ,..., xn . Признак X характеризуется неизвестным параметром , значение которого

требуется оценить по данной выборке. Различают точечные и интервальные оценки параметра.

Точечной называют статистическую оценку параметра, которая определяется одним

~

числом .

Несмещенной называют точечную оценку, математическое ожидание которой равно самому оцениваемому параметру при любом объеме выборки

~

M ( ) .

Эффективной называют точечную оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию среди всех несмещенных оценок этого параметра

Состоятельной называют точечную оценку, которая при n стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

x 1 n xi .

n i 1

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является исправленная выборочная дисперсия

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами 1 , 2 - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр с вероятностью . Интервал ( 1 , 2 ) называют доверительным интервалом (он характеризует точность оценки), а величину -

доверительной вероятностью (она характеризует надежность оценки).

Доверительным интервалом для математического ожидания m при нормальном распределении признака X является:

- при известном стандарте

ние 1), при котором выполняется равенство (t) / 2 ; tкр - критическая точка распределения Стьюдента (приложение 2), которая находится по двум входным числам: числу степеней

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормального распределения X определяется по формуле:

Если генеральная совокупность подчиняется нормальному закону распределения и объем выборки достаточно велик ( n >30), то справедлива формула:

1. Цена некоторого товара в 20 магазинах была следующей:

50, 48, 47, 55, 50, 45, 50, 52, 48, 50, 52, 48, 50, 47, 50, 48, 52, 50, 50, 48.

На основе этих данных найти:

а) выборочные числовые характеристики; б) несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии и средне-

го квадратического отклонения цены товара.

2. За последние 12 лет статистические данные по годовым темпам инфляции

(%) в стране составили:

1,7; 1,2; 2,8; 3,3; 5,1; 1,9; -0,8; 0,3; 2,3; 2,8; 4,0; 3,6.

Найти несмещенные оценки среднего темпа инфляции, ее дисперсии и среднего квадратичного отклонения.

3. Даны результаты 8 независимых измерений веса упаковки сахара прибором, не имеющем систематических ошибок:

369; 378; 315; 420; 385; 401; 372; 383 (гр).

Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если: а) вес упаковки сахара известен m =375 гр.;

б) вес упаковки сахара неизвестен.

4. При изучении производительности труда X (тыс. руб) на одного работника торговли было обследовано n 68 однотипных магазинов. При этом выборочное среднее признака X составило x 5,28 тыс. руб, а выборочное стандартное отклонение - в 0,63 тыс. руб. Полагая, что изменчивость признака X описывается законом нормального распределения, найти:

а) доверительный интервал для ожидаемого среднего значения m производительности труда с заданной надежностью 0,95;

б) вероятность того, что величина производительности труда X в выбранном наугад магазине окажется в пределах от 5, 0 тыс. руб до 6,0 тыс. руб.

5. При изучении предела прочности ткани X (Н/cм) было испытано 15 образцов, при этом выборочный средний предел прочности составил x 27,3 Н/cм, а исправленное стандартное отклонение s 2,2 Н/cм. Найти доверительный интервал для ожидаемого среднего предела прочности m ткани данного артикула

с заданной надежностью 0,95, предполагая, что изменчивость показателя X описывается законом нормального распределения.

6.Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания m генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 0,3 нормально распределенной генеральной совокупности.

7.Каков должен быть минимальный объем выборки n для того, чтобы с надежностью 0,99 точность оценки математического ожидания m генеральной

совокупности с помощью выборочного среднего была 0,2, если стандартное отклонение совокупности 1,5 ?

8. При оценке свойств картофеля было обследовано 20 проб и получены следующие значения содержания крахмала X (%):

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание m нормально распределенной случайной величины X генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

9. При изучении объема товарооборота X (млн. руб) 10 магазинов города, торгующих одинаковым ассортиментом товаров, найдено среднее арифметическое x 30,1 и исправленное среднее квадратическое s 6 статистических данных.

Оценить истинное значение изучаемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью 0,99.

10. Произведено 12 измерений одним прибором, не имеющем систематических ошибок, некоторой физической величины. Исправленное среднее квадратическое отклонение s случайных ошибок измерений оказалось равным 0,6. Найти точность прибора с надежностью 0,99.

11. Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием m =1000 $ и дисперсией

2 40000. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход

x900 $. Следует ли на основании 95% доверительного интервала отклонить

предложение о ежемесячном доходе в стране в 1000 $?

12. Взвешено 25 пакетов с чипсами, заполняемых автоматом, и найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s 1. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,95, если считать вес пакета X нормально распределенной случайной величиной.

13. Вес продуктов измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки распределены нормально со средним квадратическим отклонением =20 г. Сколько необходимо сделать независимых взвешиваний продукта, чтобы определить вес с ошибкой не более 15 г при доверительной вероятности 0,9?

14. На контрольных испытаниях 16 осветительных ламп были определены несмещенные оценки математического ожидания x 3000 часов и среднего квадратического отклонения s 20 час их срока службы. Производитель ламп дает гарантию срока службы в 3100 часов. Считая, что срок службы каждой лампы является нормальной величиной определить:

а) доверительный интервал для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 0,95;

б) можно ли по полученным данным доверять рекламе производителя?

15. На основе продолжительных наблюдений за весом X пакетов орешков, заполняемых автоматом, установлено, что стандартное отклонение веса пакетов=10 г. Взвешено 25 пакетов и найден их средний вес x 244 г. В каком интервале с надежностью 95% находится истинное значение среднего веса пакетов?

16. Станок-автомат заполняет пакет чипсами по 250 г. Считается, что станок требует подналадки, если стандартное отклонение от номинального веса превышает 5 г. Контрольное взвешивание 10 пакетов дало следующие результаты:

245; 248; 250; 252; 250; 256; 243; 251; 244; 253.

Можно ли по 95% и 99% доверительным интервалам для стандартного отклонения от номинального веса судить о необходимости подналадки станка?

17. Обследование 25 человек показало, что их средний доход составил 1200 $ при среднем отклонении s 120 $. Полагая, что доход имеет нормальный закон распределения, определить:

а) 95% интервальные оценки для математического ожидания m и среднего квадратического отклонения ;

б) вероятность того, что абсолютное значение ошибки оценивания m не превзойдет 50 $;

с) количество обследованных, чтобы абсолютное значение ошибки оценивания m не превзошло 50 $ с вероятностью 0,9.

18. На основании наблюдений за работой 25 кандидатов на должность секрета- ря-референта установлено, что в среднем они тратили 7 минут на набор 1 страницы текста на компьютере при выборочном стандартном отклонении s 2 мин. При предположении, что время X набора текста имеет нормальный закон распределения:

а) определить 90% и 95% доверительные интервалы для математического ожидания m и среднего квадратического отклонения набора страницы;

б) оценить количество претендентов на работу, которые набрали текст быстрее, чем за 5 минут;

с) не противоречат ли полученные данные предположению о том, что среднее время набора страницы должно составить 5 минут?

19. Пусть X , Y - годовые дивиденды от вложений денежных средств в акции компаний А и В соответственно. Риск от вложений характеризуется дисперсиями D( X ) 25, D(Y ) 16. Коэффициент корреляции xy =0,8. Что менее рискован-

но, вкладывать деньги в обе компании в соотношении 25% и 75% или только в компанию В?

20. Доход X населения имеет нормальный закон распределения со средним значением 5000 руб и стандартным отклонением 1000 руб. Обследуется 1000 человек. Каково наиболее вероятное количество человек, имеющих доход более

6000 руб?

1.2 Статистическая проверка гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известного распределения.

Нулевой называют выдвинутую гипотезу H 0 . Конкурирующей называют гипотезу H1 , которая противоречит нулевой.

Для статистической проверки гипотезы H 0 используют специально подобранную

случайную величину K (статистику), называемую статистическим критерием, закон распределения которой либо точно, либо приближенно известен.

Наблюдаемым значением k наб критерия называют его значение, вычисленное по выборочным данным.

Совокупность значений критерия, при которых гипотеза H 0 отклоняется, называется критической областью. Множество значений критерия, при которых гипотеза H 0 принимается, называется областью принятия гипотезы. Точки kкр , разделяющие эти области, назы-

ваются критическими.

В зависимости от сформулированной альтернативной гипотезы H1 различают право-

стороннюю ( K kкр ), левостороннюю ( K kкр ) и двустороннюю ( K k1 , K k2 , k2 k1 )

критические области.

Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется так: если k наб принадлежит критической области, то гипотезу H 0 отклоняют, в противном случае ее при-

нимают.

Для проверки гипотезы задают уровень значимости (обычно используют0,1 0,001), который определяет вероятность того, что будет отвергнута правильная ги-

потеза. Используются следующие основные схемы проверки гипотез при условии, что уровень значимости задан.

1. Гипотеза о математическом ожидании при известной дисперсии.

Генеральная совокупность X имеет нормальное распределение, ее математическое ожидание m неизвестно, а дисперсия 2 - известна. На основе выборки: x1 , x2 ,..., xn находится выборочное среднее x .

Выдвигается нулевая гипотеза H 0 : m m0 , где m0 - предполагаемое число. Для проверки гипотезы используют статистику

Ux m0 ,

/ n

2 (n 1)s 2 ,

02

который при справедливости гипотезы H 0 имеет 2 распределение с k n 1 степенями свободы.

числу степеней свободы k n 1.

4. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух случайных величин при известных дисперсиях.

вергается.

5. Гипотеза о равенстве математических ожиданий двух нормальных случайных величин при неизвестных дисперсиях.

Пусть X ~ N (mx , x2 ) , Y ~ N(my , y2 ) , причем их дисперсии x2 , y2 неизвестны. По

имеющий распределение Стьюдента с k n l 2 степенями свободы при справедливости

H 0 .

При H1 : mx m y по заданному и k n l 2 с помощью критических точек

нения H 0 . Если tнаб t / 2 , то H 0 отклоняется в пользу H1 .

При H1 : mx m y находят критическую точку t . Если tнаб t - H 0 принимается, а при tнаб t - отвергается.

двум независимым выборкам объема n : x1 , x2 ,..., xn и объема l : y1 , y2 ,..., yl находятся ис-

Fнаб F , то нет оснований отклонить H 0 . При Fнаб F гипотеза H 0 отклоняется.

7. Гипотеза о значимости коэффициента корреляции.

Пусть для двумерной генеральной совокупности ( X , Y ), распределенной нормально, извлечена выборка объема n и по ней вычислен выборочный коэффициент корреляции

rxy 0 . Следует проверить гипотезу о статистической значимости коэффициента корреляции

xy .

Гипотеза H 0 : xy 0 (о статистической незначимости xy ) проверяется с помощью критерия

который при верности H 0 имеет распределение Стьюдента с k n 2 степенями свободы.

21. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением 5,2 извлечена выборка объема n 100 и по ней найдено выборочное среднее x 27,56. На уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H 0 : m 26:

а) при конкурирующей гипотезе H1 : m 26; б) при конкурирующей гипотезе H1 : m 26.

22. Средний вес таблетки лекарства должен быть равен m 0,5мг. Многократные опыты по взвешиванию таблеток показали, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением 0,11 мг. Выборочная