Устойчивость сжатых стержней (110

Решение:

1. Определение номера швеллера.

Используем практический метод расчета сжатых стержней, согласно ко-

Так как в данной задаче площадь и коэффициент продольного изгиба φ неизвестны, решение проводится методом последовательных проб.

Для 1-й пробы примем ϕ1 =0,6, тогда

По ГОСТу на сортамент прокатной стали (швеллеры стальные горячека-

По табличным данным [14] находим значение ϕ2 , соответствующее данному значению λ2, используя метод интерполяции:

λ ϕ

50 — 0,867

60 — 0,820

10 — 0,047

1 — 0,0047

ϕ2 =0,867 −0,0047 4 =0,848.

Определим расчетное нормальное напряжение:

ϕ2R =0,848 210 =178 МПа.

Найдем расхождение в процентах: 178 −128100 % = 28 %. 178

Так как расчетное напряжение значительно меньше расчетного сопротивления с учетом коэффициента продольного изгиба φ, возьмем 2-ю пробу:

21

Используя метод линейной интерполяции, найдем коэффициент ϕ4 :

λ ϕ

60 — 0,820

70 — 0,770

10 — 0,050

1 — 0,005

ϕ4 = 0,820 −0,005 3 =0,805.

В таком случае

Так как процент расхождения значителен, рассмотрим швеллер № 10, для

ϕR = 0,743 210 =156 МПа;

156 −183100 % = −17,3 %.

156

Расчетное напряжение оказалось больше расчетного сопротивления с учетом коэффициента продольного изгиба на 17,3 %. Допустимое расхождение здесь не должно превышать ≈ 3 %.

С точки зрения запаса устойчивости останавливаемся на швеллере № 12.

22

2. Определение количества соединительных планок и расстояния между ними.

Расстояние между соединительными планками lв (рис. 14, в) определяется из условия, что гибкость отдельной ветви λв ≤ 40, и вычисляется по формуле

В данном случае в запас устойчивости принимаем, что коэффициент приведенной длины μ =1, iв min необходимо принять равным iy′ (рис. 14, б), т. е. iвmin =iy′ =1,53 см. Подставим это значение в уравнение (54) и получим, что

3. Определение расстояния между составными частями колонны.

Расстояние между составными частями колонны определяется из условия равной устойчивости в двух плоскостях, образованных геометрической осью колонны и осями OX и OY, которое может быть записано так:

Таким образом, расстояние между составными частями колонны составляет ≈ 9 см.

23

4. Определение допускаемой и критической нагрузки на спроектированную колонну при 4-х способах закрепления ее концов.

На рис. 15 показаны четыре схемы закрепления концов стержня колонны. Рассмотрим поочередно каждую из этих схем.

поэтому для определения критического напряжения воспользуемся форму-

Определим коэффициент запаса устойчивости: nу = [FFкр]= 348,5235 =1,48.

F

F F F

24

=633 103 Н = 633 кН. Соответственно, коэффициент запаса устойчивости составляет ny = 450633 =1,41.

Исходя из данных, отображенных на третьей схеме (рис. 15, в), необходимые вычисления будут выглядеть так:

λ = 0,7 300 = = 44; ϕ 0,89;

4,78

[F ]= 0,89 210 106 2 13,3 10−4 = 497 103 Н = 497 кН; σкр =310 −1,14 44 = 260 МПа;

Fкр =σкрA = 260 106 2 13,3 10−4 = 692 103 Н = 692 кН;

n = 692497 =1,39.

Для четвертой схемы (рис. 15, г) решение задачи осуществляется следующим образом:

25

10. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

10.1. Контрольные задания

Стальной стержень длиною l сжимается силой P. Исходя из данных табл. 2 определите:

1)размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [σ] = 160 МПа (расчет производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом ϕ = 0,5);

2)значение критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

P

3 300 2,3

μ=1

4 400 2,4

5 500 2,5

7 700 2,7

8 800 2,8

μ=0,5

27

0 1000 3,0

μ=0,5

10.2. Пример решения задачи

Стальной стержень длиною l = 3 м сжимается силой P = 200 кН. Схема закрепления концов стержня и форма поперечного сечения стержня представлена на рис. 16 а и б соответственно.

Необходимо:

1.Определить размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие [σ] = 160 МПа.

2.Определить значение критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

P Y

a

Решение:

1. Определение размеров поперечного сечения.

Используем практический метод расчета сжатых стержней, согласно ко-

28

Для заданной формы поперечного сечения имеем следующие геометриче-

Для заданной схемы закрепления концов стержня μ = 0,5. Выразим гиб-

кость стержня через искомый размер a: λ = μl = 0,5 300 = 238,5. imin 0,629a a

Для решения задачи воспользуемся методом последовательных приближениий, предварительно задавшись коэффициентом ϕ = 0,5.

1-я проба:

Так как расчетное напряжение значительно меньше расчетного сопротивления с учетом коэффициента продольного изгиба ϕ, переходим ко 2-й пробе.

2-я проба:

29

λ2 = 2,345238,5 =101,7;

ϕ2 =0,586;

ϕ2 [σ]= 0,586 160 =193,76 МПа.

Определим недонапряжение: 93,76 −91,3100 = 2,6 % <3 %. 93,76

Принимаем размер a = 2,345 см.

2. Определение значения критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

В связи с тем, что гибкость стержня в последней пробе λ =101,7 >100,

чение допускаемой силы: [P]=ϕ2 [σ]A = 0,586 160 106 22 10−4 = 206272 Н = = 206,272 кН.

Следовательно, коэффициент запаса устойчивости будет иметь следую-

щее значение: nу = [PPкр]= 206,272419,624 = 2,03.

11. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА «ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОДОЛЬНОГО ИЗГИБА»

Цель работы — экспериментальное определение критической силы для центрально сжатого прямого стержня при различных способах его закрепления и сравнение полученных результатов с теоретическими значениями.

30