Устойчивость сжатых стержней (110
..pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет
Л. В. Кукса, Е. Е. Евдокимов
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
Учебно-практическое пособие
Под редакцией Л. В. Куксы
Волгоград
ВолгГАСУ
2012
УДК 624.075.224(075.8) ББК 38.112.5я73
К 898
Р е ц е н з е н т ы:
кандидат технических наук, доцент кафедры строительной механики Г. В. Воронкова; кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем и математического моделирования О. В. Коновалов
Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Кукса, Л. В.
К 898 Устойчивость сжатых стержней : учебно-практическое пособие / Л. В. Кукса, Е. Е. Евдокимов ; под ред. Л. В. Куксы ; М-во образования и науки Росс. Федерации, Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. — Волгоград :
ВолгГАСУ, 2012. — 34, [2] с.
ISBN 978-5-98276-540-6
Рассматриваются теоретические вопросы расчетов на устойчивость сжатых стержней. Даются методические указания и контрольные задания по теме «Устойчивость сжатых стержней» для студентов заочной формы обучения. Особое внимание уделяется экспериментальным методам исследования продольного изгиба: описываются этапы проведения лабораторной работы по данной теме, даются рекомендации по обработке полученных результатов и составлению отчетов.
Для студентов второго и третьего курсов направлений «Строительство» и «Технология транспортных процессов» очной и заочной форм обучения технических вузов.
УДК 624.075.224(075.8) ББК 38.112.5я73
ISBN 978-5-98276-540-6
© Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный
архитектурно-строительный университет», 2012
2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
|
|
|
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
4. . . . . . |
|
1. |
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
.5. . . . . |
2. |
Вывод формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
7. . . . . . |
3. |
Пределы применимости формулы Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
.10. . . . . . |
|
4. |
Действительный вид зависимости критического напряжения от гибкости . . |
. |
. . |
. |
. |
11. . . . |
5. |
Выбор материала и рациональной формы поперечного сечения . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
.13. . . . . . |
|
6. |
Расчет внецентренно сжатой гибкой стойки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
14. . . . . . |
7. |
Продольно-поперечный изгиб сжатых стержней . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
. 6. . . . . . |
8. |
Практический метод расчета сжатых стержней . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
19. . . . . . |
9. |
Расчет составной колонны на устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
20. . . . . . |
10. Методические указания и контрольные задания по теме |
|
|
|
|
|
|
«Устойчивость сжатых стержней» для студентов заочной формы обучения . . |
. |
. . |
. |
. |
27. . . . |
|
|
10.1. Контрольные задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
27. . . . . . . |
|
10.2. Пример решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. |
. . |
. |
. |
28. . . . . . |
11. Лабораторная работа «Экспериментальное исследование продольного изгиба» |
. |
. . |
. |
.30. . |
||
Контрольные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33. . . . . . .
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34. . . . . .
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебно-практическое пособие посвящено рассмотрению теоретических вопросов устойчивости сжатых стержней и соответствует ФГОС ВПО и рабочим программам учебных дисциплин «Техническая механика» для направления 270800 «Строительство», «Сопротивление материалов» для направления 190700 «Технология транспортных процессов».
Авторы стремились к тому, чтобы изложение учебного материала отмечалось достаточной ясностью, последовательностью, полнотой освещения рассматриваемых вопросов.
При изучении материала, изложенного в пособии, студентам рекомендуется повторить следующие разделы: растяжение и сжатие; геометрические характеристики поперечных сечений; теория напряженного и деформированного состояния; изгиб прямого бруса; определение перемещений при изгибе.
В пособии приведены примеры решений задач, которые помогут студентам лучше усвоить материал и успешно выполнить контрольные работы по данному курсу; подробно описана лабораторная работа, направленная на формирование навыков практического исследования продольного изгиба.
4
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
При изучении такого явления, как устойчивость сжатых стержней, прежде всего необходимо уделить внимание рассмотрению понятий устойчивого и неустойчивого равновесия.
Положение равновесия шарика, находящегося на вершине выпуклости, является неустойчивым, так как самое незначительное его смещение вызовет движение вниз и шарик уже никогда не вернется в исходное положение (рис. 1, а). Если шарик находится на дне лунки, принудительный вывод его из состояния равновесия возможен только при действии определенной силы, после чего он снова возвратится в исходное положение, сохраняя устойчивое равновесие (рис. 1, б). Если же после перемещения на плоскости шарик может находиться в состоянии равновесия (рис. 1, в), то речь идет о так называемом безразличном равновесии.
а |
б |
в |
Рис. 1
Теперь рассмотрим случай растяжения стержня (рис. 2, а): при возрастающей растягивающей нагрузке стержень останется прямолинейным. Другая ситуация наблюдается при его сжатии (рис. 2, б и в): по мере возрастания силы происходит переход от исходного вертикального (неустойчивого) положения к отклоненному (устойчивому) положению равновесия. Такой переход называют потерей устойчивости исходного равновесия стержня, или потерей устойчивости стержня. Потеря устойчивости центрально сжатого стержня называется продольным изгибом, а значение силы, при достижении которой происходит потеря устойчивости, — критической силой.
5
а |
б |
в |
Рис. 2
На рис. 3 показаны различные случаи потери устойчивости: при изгибе рамы (рис. 3, а), при гидростатическом сжатии цилиндрической оболочки (рис. 3, б), при переходе плоского поперечного изгиба в косой изгиб
(рис. 3, в).
а |
б |
в |
Рис. 3
6
2. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Обратимся к рассмотрению центрально сжатого стержня (см. рис. 2, в). При достижении критического значения силы F стержень будет находиться в равновесии в искривленном состоянии. Воспользуемся приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси:
d 2v |
= |
M |
. |
(1) |
|
dz2 |
EJ |
||||
|
|
|
|||
Значение изгибающего момента составляет |
|
||||
M = −Fv. |
|
(2) |
|||
Так как знак прогиба всегда противоположен знаку второй производной, дифференциальное уравнение будет иметь следующий вид:
d 2v |
= − |
Fv |
. |
(3) |
|
dz2 |
EI |
||||
|
|
|
Обозначим EIF = k2 , тогда
′′ |
+ k |
2 |
v =0. |
(4) |
v |
|
Таким образом, получено однородное линейное дифференциальное уравнение, решение которого будет выглядеть следующим образом:
v = Asin kz + B cos kz, |
(5) |
где A и B — постоянные интегрирования. Рассмотрим граничные условия:
1) если z = 0 и v = 0, то A sin 0 + B cos 0 = 0. Так как B = 0, функция прогиба представляет собой синусоиду:
v = Asin kz; |
(6) |
2) если z =l и v = 0, то Asin kl = 0. Так как A ≠ 0, sin kl =0. Решение этого тригонометрического уравнения будет таково: kl = πn, где в общем случае
n — натуральный ряд чисел 0, 1, 2, 3,…, n. Подставим k: |
|
F |
|
||
|
|
l = πn. Сле- |
|||
|
|||||
довательно, |
|
|
|
EI |
|
|
|
|
|
|
|
F = |
π2n2EI |
. |
|
|
(7) |
l2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Наименьшее значение сила F принимает при n = 1:
F = |
π2EJ |
. |
(8) |
кр |
l2 |
|
|
|
|
|
7
С помощью данного уравнения можно определить критическую силу. Вид изогнутой оси в этом случае будет представлять собой половину волны синусоиды (рис. 4, а):
v = Asin |
π z. |
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
l |
|
l |
|
|
π |
|
|
Наибольшее значение прогиба достигается при |
z = |
, |
sin |
=1, когда |
||||
|
2 |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|||
vmax = A, т. е. вторая постоянная интегрирования А равна наибольшему значению прогиба vmax .
При n = 2 изогнутая ось будет представлять собой полную волну синусоиды (рис. 4, б):
v = Asin |
2π |
z. |
(10) |
|
|||
|
l |
|
|
После подстановки n = 2 в уравнение (7) значение критической силы возрастет в 4 раза:
F |
= |
4π2EI |
. |
(11) |
кр |
|
l2 |
|
|
|
|
|
|
При n = 3 (рис. 4, в) изогнутая ось представляет собой три полуволны синусоиды:
v = Asin |
3π |
z, |
(12) |
|||
|
||||||
|
|
|
l |
|
|
|
а критическая сила возрастает в 9 раз: |
|
|
|
|
|
|
F |
= |
9π2EJ |
. |
(13) |
||
кр |
|
l2 |
|
|
||
|
|
|
|
|||
Случаи, когда n = 2, n =3 и т. д., реально достижимы только при наличии промежуточных закреплений.
а |
б |
в |
Рис. 4
8
Отметим, что формула Эйлера получена в предположении шарнирного опирания концов стержня. Для определения критической силы в других случаях вводится понятие приведенной длины стержня (рис. 5):
l0 =μl, |
(14) |
где μ — коэффициент приведенной длины.
F
F F F
l0 |
=0,7l |
l0 =l |
l0 = 0,5l |
|
l0 = 2l
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ =1 |
μ = 0,7 |
μ = 0,5 |
||
|
|
|
а |
|
б |
в |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μ = 2
Рис. 5
Приведенная длина соответствует тем случаям, когда условно изогнутая ось представляет собой половину волны синусоиды. Учитывая, что потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости, принимаем I = Imin . Тогда формула Эйлера для критической силы будет иметь следую-
щий вид:
F = π2EJmin . |
(15) |
кр (μl)2
9
Критическое напряжение определяется по формуле
σкр = |
Fкр |
= |
π2EI |
min = |
|
π2E |
, |
|
A |
|
|
|
2 |
||||
|
|
(μl )2 A |
μl |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
при этом принимается, что IminA =imin2 . Вводится понятие гибкости стержня λ:
λ = μl .
imin
(16)
(17)
Гибкость стержня зависит не от материала, а от способа закрепления стержня, его длины, формы и размеров поперечного сечения; это безразмерная величина.
В итоге мы получаем следующую формулу вычисления критического напряжения:
|
π2E |
|
σкр = |
λ2 . |
(18) |
Таким образом, критическое напряжение зависит от гибкости стержня и модуля Юнга E. Зависимость σкр = f (λ) носит название гиперболы Эйлера.
3. ПРЕДЕЛЫ ПРИМЕНИМОСТИ ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА
Применение формулы Эйлера возможно при соблюдении следующего условия: критическое напряжение σкр не должно превосходить предел пропор-
циональности σпц, т. е.:
σкр ≤σпц, |
|
|
(19) |
|
π2E |
≤σпц |
, |
|
(20) |
λ0 |
|
|||
|
|
|
|
|
λ0 ≥ |
π2E |
, |
(21) |
|
σпц |
|
|||
|
|
|
|
|
где λ0 — такое значение гибкости стержня, при котором применима форму-
ла Эйлера.
На рис. 6 показана зависимость σкр от λ. Формула Эйлера справедлива для значений гибкости, равных или превышающих λ0. Левая область кривой соответствует значениям напряжений, превосходящих предел пропорцио-
10