Равновесие твердого тела. Произвольная пространственная система сил (90
.pdf
∑ Fkx |
= 0, |
X A + X B − P cosα = 0 |
|
|
|
(1) |
||||||
∑ Fky |
= 0, |
YA |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
∑ Fkz |
= 0, |
Z A |
+ Z B |
− F − G + P sin α = 0 |
|
|
(3) |
|||||
∑ М X ( |
Fk )= 0, |
ZA × (l1 |
+ l2 ) - G × l2 + P × sinα × l2 |
+ F × l3 |
= 0 |
(4) |
||||||
∑ МY ( |
Fk )= 0, |
F × l4 - P × r = 0 |
|
|
|
(5) |
||||||
∑ МZ ( |
Fk ) = 0, |
- XA × (l1 + l2 ) + P × cosα × l2 |
= 0 |
X и |
Z найдены по |
(6) |
||||||
|
|
|
|
относительно |
|
|
||||||
Моменты |
силы |
P |
осей |
теореме |
||||||||
Вариньона путем разложения этой силы на две составляющие Pх = P·cosa, Pу = P·sina, параллельные координатным осям (рисунок 11).
Из уравнения (6)
|
|
|
Р × cosα × l |
2 × |
|
3 |
× 0,3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
Х A |
= |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
= 0,866кН |
||||||||
l1 + l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0,3 + 0,3 |
|
|
|
|
||||||||||||
Из уравнения (5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F = |
Р × r |
|
|
= |
2 × 0,1 |
= 0,25кН |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
l4 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из уравнения (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gl2 - Р × sinα × l2 - F ×l3 |
|
|
0,08 × 0,3 - 2 × |
1 |
× 0,3 - 0,25 × 0,3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Z A = |
= |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= -0,585кН |
||||||||
|
|
|
|
|
|
0,3 + |
0,3 |
||||||||||||
|
l1 + l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из уравнения (3)
Z B = -Z A + F + G - P sin α = 0,585 + 0,25 + 0,08 - 2 × 0,5 = -0,085кН
Из уравнения (2)
YA = 0
Из уравнения (1)
X B = -X A + P cosα = -0,866 + 2 × 0,866 = 0,866кН
21
Проверка:
∑М X 1 (Fk )= F × (l3 + l2 ) - Z B × l2 + Z A × l1 = 0,25 × (0,3 + 0,3) + 0,085 × 0,3 - 0,585 × 03 =
=0,1755 - 0,1755 = 0
∑МZ 1 (Fk )= X B ×l2 - X A × l1 = 0,866 × 0,3 - 0,866 × 03 = 0
Следовательно, реакции опор найдены верно.
Ответ: XА = 0,866 кН; |
YA = 0; ZA = – 0,585 кН; |
|
XB = 0,866 кН; |
ZB = – 0,085 кН; F = 0,25 |
кН. |
Знак минус, полученный для значений сил ZA, ZB указывает, что эти силы имеют направления, противоположные принятому на рисунке 11.
Задача 2
Однородная прямоугольная рама ВAЕ весом G = 400 кН (рисунок 12).
прикрепленная к стене с помощью сферического шарнира в точке А и петли в точке В, удерживается в горизонтальном положении тросом СD. К раме в точке К подвешен груз весом Р = 50 кН. Определить реакции связей.
Рисунок 12
22
Дано: Р = 50 кН, G = 400 кН, |
ВС = l; КС = КЕ; α = 60°; β = 60°. |
Определить: реакции опор X А , |
YA , Z A , YВ , Z B Т. |
Решение.
Рассмотрим равновесие рамы ВAЕ (рисунок 13). На неё действуют: вес
рамы G , в точке К приложим силу натяжения нити (предварительно оборвав нить),
которая направлена вдоль нити, в сторону обрыва и по модулю равна весу груза Р,
так как натяжение нити во всех ее точках одинаково. Связями для рамы являются опоры в точках А, В, С. Отбросим связи и заменим их действие силами реакции связей: в точке В – две составляющих силы реакции YВ и Z B , расположенные в плоскости, перпендикулярной оси петли и совпадающие с положительным
направлением координатных осей., в точке А – |
три составляющих силы реакции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Х |
А , YА , Z A , в точке С – сила натяжения нити Т |
, |
которая направлена вдоль нити, в |
|||||
сторону обрыва (рисунок 13). |
|
||||||||
Рисунок 13
23
Получили произвольную пространственную систему сил, которая имеет шесть уравнений равновесия. Данная задача является статически определенной,
так как число неизвестных ( X А , YA , Z A , YВ , Z B , Т ) равно числу уравнений равновесия.
Составим уравнения равновесия:
∑Fkx |
= 0, |
X A −T cosα cos β = 0 |
(7) |
||||||||||||
∑Fky |
= 0, |
YA |
+YB −T cosα sin β = 0 |
(8) |
|||||||||||
∑Fkz |
= 0, |
Z A |
+ Z B |
− G − P +T sin α = 0 |
(9) |
||||||||||
∑М X ( |
Fk )= 0, |
T × sinα × l - P × l - G × |
l |
= 0 |
(10) |
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
∑МY ( |
Fk )= 0, |
P × |
AB |
+ G × |
AB |
- T × sinα × AB - Z B × AB = 0 |
(11) |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||
∑МZ ( |
|
|
YB × AB = 0 |
(12) |
|||||||||||
Fk )= 0, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
относительно осей X и Y найдены по |
|
||||||||||
Моменты |
силы |
T |
теореме |
||||||||||||
Вариньона путем разложения этой силы на три составляющие Tх =T·cosa·cosb, Tу=T·cosa·sinb, Tz=T·sina, параллельные координатным осям (рисунок 13).
Из уравнения (12)
YB = 0
Из уравнения (10)
|
l |
Р + |
G |
|
|
50 + |
400 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||
T = |
|
|
2 |
= |
|
= 288,68 кН |
|||
l × sinα |
|
|
|
||||||
|
|
|
0,866 |
|
|
||||
Из уравнения (11)
Z B |
= |
P |
+ |
G |
- T ×sinα = |
50 |
+ |
400 |
- 288,68 × |
3 |
= -25 кН |
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||
Из уравнения (9)
Z A = -Z B + G + P - T sin α = 25 + 400 + 50 - 288,68 × 0,866 = 225 кН
24
Из уравнения (8)
YA = T × cosα sin β - YB = 288,68 × 0,5 × 0,866 - 0 = 125 кН
Из уравнения (7)
X А = Т cosα cos β = 288,68 × 0,5 × 0,5 = 72,17 кН
Проверка:
∑М X 1 |
( |
Fk )= -Z B |
× |
ВС |
- Z А × |
ВС |
- Р × |
ВС |
|
+ Tsinα × |
|
ВС |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
ВС |
× (25 - 225 - 50 + 288,68 × 0,866) = |
ВС |
(275 - 275) = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
∑ |
|
|
( |
|
)= Y × |
|
AB |
- Y |
|
× |
AB |
+ X |
|
× |
BC |
= |
AB |
× |
0 -125 + 72,17 × |
BC |
|
= |
|||||||||||||||||||
М |
Z 1 |
F |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
B |
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
AB |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
AB |
× (-125 + 72,17 × tg60°)= |
AB |
× (-125 +125)= 0, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
|
|
BC |
= tg60° =1,73 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, реакции опор найдены верно.
Ответ: XА = 72,17 кН; YА = 125 кН; ZA = 225 кН; YВ = 0; ZB = – 25 кН; Т = 288,68 кН.
Знак минус, полученный для значения силы ZB указывает, что эта сила имеет направление, противоположное принятому на рисунке 12.
25
5 Литература, рекомендованная для изучения дисциплины
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике:
учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А.
Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд., стер.-М.:Высш. шк.,2010.- 416 с.
3Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учебное пособие для для студ. вузов по техн. спец. В 2 т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. 5-ое изд.,– испр. СПб.:Лань, 1998. - Т.2 - 729 с.
4Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. /М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.2 - 670 с.
Помимо указанных в списке, могут быть использованы любые учебники и
пособия по теоретической механике.
26
Список использованных источников
1 Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: учебное пособие для студ. втузов /А.А. Яблонский [и др.]; под общ. ред. А.А. Яблонского. - 11-е изд., стер.-М.;Иитеграл-Пресс, 2010.-382 с.
2 Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 т. /М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-
М.:Наука, 1990. - Т.1 - 670 с.
3 Сборник коротких задач по теоретической механике: учебное пособие для втузов / О.Э. Кепе [и др]; под ред. О.Э.Кепе. – М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.
4 Попов, М.В. Теоретическая механика: Краткий курс: учебник для втузов /
М.В. Попов. – М.: Наука, 1986. – 336 с.
5 Дырдина, Е.В. Теоретическая механика в таблицах и схемах: учебное пособие для студ.: в 2 ч. /Е.В. Дырдина, Т.И. Коршунова. – Оренбург: ОГУ, 2001.
– Ч.1 – 40 с.
27