Применение метода синтеза форм для расчета колебаний космического летательного аппарата (96

узлах. Собственные числа и векторы удовлетворяют соотношениям M- и K-ортогональности. Число найденных собственных чисел и векторов m ≤ r, поэтому матрица [Ф22] в общем случае не квадратная.

Статические формы для записи матрицы [T] представляют собой формы упругих смещений внутренних узловых точек подконструкции при последовательном задании единичных смещений по всем граничным степеням свободы при условии, что перемещения во всех оставшихся граничных точках равны нулю. Обозначим число граничных степеней свободы k = n − r. Тогда матрица ста-

где [E] — k × k-единичная матрица, а [S] подлежит определению из решения задачи статики:

Совокупность перемещений {U1} образует матрицу [E], совокупность перемещений {U2} — матрицу [S]. В правой части (24) набор векторов {P1} образует матрицу [KG] размером k × k, коэффициенты которой равны реакциям в закрепленных узлах подконструкции. Матрица [KG] также подлежит определению. Таким образом, приходим к системе уравнений

10

Матрица [T] преобразования вектора перемещений для сокращенной динамической модели записывается в виде

Выполнив в (1) замену переменных согласно (21) и умножив

(1) на [T]т слева, получим уравнения сокращенной динамической модели подконструкции в формате Крейга — Бэмптона:

Уменьшение числа степеней свободы модели достигается благодаря переходу к координатам форм {q} и удержанию при этом только части тонов колебаний в нижней части спектра подконструкции. Число учитываемых тонов колебаний определяется на основе частотного критерия в методе синтеза форм колебаний [4].

Сокращенная динамическая модель (29) дает удовлетворительные результаты в области частот, не превышающей частоту последнего удерживаемого тона колебаний. Рекомендуется, чтобы частота последнего удерживаемого тона колебаний превышала максимальную интересующую нас частоту составной конструкции в 1,25 – 1,5 раза.

Если вектор координат форм {q} исключить совсем, то метод Крейга — Бэмптона вырождается в метод конденсации Гайана — Айронса [7, 8]. Сокращенная динамическая модель в этом методе по форме совпадает с конечно-элементной моделью:

а матрица преобразования [T] не содержит форм колебаний [Ф22]. Эту сокращенную модель можно применять при частотах, мень-

11

ших наинизшей частоты подконструкции, закрепленной во всех граничных узлах [4].

При создании сокращенной динамической модели летательного аппарата как объекта, не закрепленного в пространстве, важным является сохранение форм смещений и массово-инерционных характеристик его как жесткого целого. Покажем, что метод Крейга — Бэмптона удовлетворяет этим требованиям.

Требования будут выполняться в том случае, если при перемещениях граничных узлов сокращенной динамической модели, соответствующих перемещениям подконструкции как жесткого целого, перемещения внутренних узлов будут также соответствовать перемещениям подконструкции как жесткого целого. Действительно, если подконструкция не закреплена, то исходная матрица жесткости должна допускать такие смещения, т. е. при умножении матрицы жесткости на вектор перемещений жесткого целого получается нуль-вектор. Выделим в векторе перемещений вектор граничных перемещений [U1] и вектор внутренних пере-

мещений {U2} . Для перемещений подконструкции как жесткого целого выполняется условие

при этом внутренние перемещения можно определить через граничные как

При отсутствии упругих смещений в сокращенной динамической модели Крейга — Бэмптона нужно положить {q} = 0. Тогда,

как это ясно из формулы (28) для матрицы [T], перемещения {U1} и {U2} оказываются связанными между собой формулой (34).

Полученный результат можно распространить на всю конструкцию, состоящую из произвольного числа подконструкций. Действительно, если конструкция смещается как жесткое целое, так же перемещаются и все подконструкции. Перемещения узловых точек подконструкций соответствуют перемещениям ее как жесткого целого, а в силу доказанного выше это распространяется

12

и на внутренние узлы всех подконструкций. Массу и моменты инерции системы можно получить из матрицы массы конечноэлементной модели при соответствующем выборе форм смещений как жесткого целого (в общем случае три единичных смещения и три единичных угла поворота относительно главных центральных осей). Так как метод Крейга — Бэмптона позволяет сохранить эти формы, он должен давать те же инерционно-массовые характеристики, что и исходная модель.

3. АЛГОРИТМ ОБЪЕДИНЕНИЯ ПОДКОНСТРУКЦИЙ

Процедуру объединения подконструкций принято называть синтезом подконструкций или синтезом форм. Рассмотрим систему, состоящую из L подконструкций. Номер подконструкции будем обозначать нижним индексом i, принимающим значения i = 1, 2, ..., L. Нижние индексы 1 и 2, отделявшие ранее граничные

узлы от внутренних узлов, опустим. Число граничных степеней свободы подконструкции обозначим ki, а число удерживаемых тонов колебаний — mi. Уравнение (29), описывающее i-ю подконструкцию, в новых обозначениях примет вид

Объединив L матричных уравнений (35) в одно, после перестановки строк и столбцов получим

где [MG] =[MG1] [MG2 ] ... [MGL]; [KG] =[KG1] [KG2] ... [KGL];

[MB ] = [MB1] [MB2 ] ... [MBL ] — блочные квазидиагональные матрицы; [ΛG ] =[ΛG1] [ΛG2 ] ... [ΛGL ] — диагональная матрица;

векторы (символ обозначает прямую сумму матриц).

13

Общее число удерживаемых тонов колебаний подконструкций m = m1 + m2 + ... + mL , суммарное число граничных степеней свободы k = k1 + k2 + ... + kL. Матрицы, входящие в (36), имеют следую-

щие размеры: [MG ] и [KG ] — k × k, [MB ] — k × m , [Λ] — m× m; {U} и {P} — k-мерные векторы, {q} — m-мерный вектор. Система (36) состоит из L не связанных между собой матричных уравнений, условия равновесия и условия неразрывности перемещений в общих узлах сопрягаемых подконструкций в ней не учтены. Число независимых узловых перемещений после учета условий неразрывности обозначим g. Очевидно, что g < k, число координат форм m при синтезе подконструкций не изменится.

Для записи условий неразрывности перемещений и условий равновесия введем в рассмотрение глобальную кинематическую матрицу [A] размером k × g и матрицу условий равновесия [B]

размером g × k. Эти матрицы связаны соотношением

Матрицы [A] и [B] являются булевыми. Каждая строка матрицы [A] и соответственно каждый столбец матрицы [B] содержат лишь один ненулевой элемент, равный 1. С помощью матриц [A] и [B] условия равновесия могут быть представлены в виде

где {Ug } — g-мерный вектор глобальных перемещений системы;

{Pg } — g-мерный вектор внешних сил. Для собственных колеба-

ний {Pg } = 0.

Представим теперь (36) в виде системы из двух матричных уравнений:

14

Умножим уравнение (40) на матрицу [A]т слева и одновременно с помощью (39) перейдем в уравнениях (40) и (41) к перемещениям {Ug }. Объединив полученные уравнения, придем к частот-

ному уравнению для системы в целом:

Уравнение (42) представляет собой обобщенную проблему собственных значений с симметричными матрицами размером (m + k) × (m + k) . Для упрощения процедуры формирования матриц учитывают их блочную структуру.

Зависимости, приведенные выше, реализованы в виде пакета программ REDKB для выполнения расчетов в рамках домашнего задания по курсу «Динамика конструкций космических летательных аппаратов».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Голдмен Р. Исследование колебаний методом расчленения // Ракетная техника и космонавтика. 1969. Т. 7, № 6. С. 191 – 193.

2.Крейг Р., Чжан С. Методы свободных границ для связывания субконструкций при исследовании динамики // Ракетная техника и космонавтика. 1976. Т. 14, № 11. С. 154 – 155.

3.Крейг Р., Бэмптон М. Сочленение подконструкций при динамическом расчете конструкций // Ракетная техника и космонавтика. 1968. Т. 6,

№7. С. 113 – 121.

4.Дмитриев С.Н. О частотном критерии в методе синтеза форм колебаний // Динамика систем и конструкций: Тр. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1990. № 545. С. 51 – 69.

5.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975. 539 с.

6.Вибрации в технике: В 6 т. Т. 1: Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978. 352 с.

7.Гайан Р. Приведение матриц жесткости и массы // Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 3, № 2. С. 287.

8.Айронс Б. Задачи о собственных значениях: исключение лишних переменных // Ракетная техника и космонавтика. 1965. Т. 3, № 5. С. 207–208.

15