Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Расчет параметров настройки цифровых регуляторов (90.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

503 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

с информацией об изменении динамики объекта [1]. Введение запаса устойчивости по ограничению на максимум АЧХ рассматривалось в [3].

Выведем формулы для расчета запаса устойчивости по ограничению на расположение корней характеристического уравнения, конкретно — по ограничению на m — степень колебательности. Для этого используем математический аппарат D- разбиения [2].

Характеристическое уравнение замкнутой дискретно-непрерывной АСР имеет вид:

1 + Wpc (z) = 0,	(6. 1)
Wpc (z) = Wp (z) WμWдм(z),	(6. 2)

WμWдм(z) — Z - преобразование произведения соответствующих импульсных

характеристик объекта управления и демодулятора [5].
Пусть
z = е−mωT еjωT ,	(6. 3)
тогда выражение (2.2) примет вид:
Wpc (m,T, j ω) = Wp (m,T, j ω) WμWдм(m,T, j ω),	(6. 4)

Вывод формул начнем с наиболее общего случая — дискретного ПИДалгоритма регулирования, КЧХ которого записывается следующим образом:

W	(m,T, j ω) = K		+ К		T	+ К		1 − е−mωT+jωT	.	(6. 5)
W	(m,T, j ω) = K		+ К	и1 − е−mωT+jωT		+ К			.	(6. 5)
pc		п		и1 − е−mωT+jωT			д	Т
Расширенную КЧХ объекта управления представим через мнимую и дей-
ствительную составляющие:
	WμWдм(m,T, j ω) = RμR дм(m,T, ω) + j JμJдм(m,T, ω),									(6. 6)
и учтем, что
			е−jωT = cos ωT − jsin ωT.							(6. 7)

Подставив (6. 4 — 6. 7) в (6. 2) и приравняв к нулю действительную и мнимую составляющие, получим систему из двух уравнений:

KпRμRдм(m,T, ω) + Ки		T	×
	mωT	2mωT

×[RμRдм(m,T, ω)(1 − еmωT cosωT)+ JμJдм(m,T, ω) еmωT sin ωT]+

+Kд T1 [RμR дм(m,T, ω)(1 − еmωT cosωT)− JμJдм(m,T, ω) еmωT sin ωT]+1 = 01 − cosωT + е2е

KпJμJдм(m,T, ω) + Ки		T	×
	mωT	2mωT

×[JμJдм(m,T, ω)(1 − еmωT cosωT)− RμRдм(m,T, ω) еmωT sin ωT]+

+[RμRдм(m,T, ω) еmωT sin ωT + JμJдм(m,T, ω) (1 − еmωT cosωT)]= 01 − 2е cosωT + е

Решив приведенную систему уравнений относительно Кп и Ки, получим формулы для границы заданного запаса устойчивости по критерию m, выраженные через расширенные вещественную и мнимую комплексные частотные характеристики дискретного объекта управления:

Kи(m,T, ω) = −

JμJдм(m,T, ω)(1 − 2еmωT cosωT + е2mωT )

еmωT sin ωT(RμR дм2

(m,T, ω) + JμJдм2 (m,T, ω))

+ Kд

(1 − 2еmωT cosωT + е2mωT );

Kп(m,T, ω) =

(m,T, ω)(1 − еmωT cosωT)

RμR

дм(m,T, ω)еmωT sin ωT − JμJдм

еmωT sin ωT(RμR дм2 (m,T, ω) + JμJдм2 (m,T, ω))

−

− 2Kд

(1 − еmωT cosωT).

(6. 8)

(6. 9)

Формулы (6. 8) и (6. 9) можно переписать через расширенные амплитуд- но-частотную и фазочастотную характеристики, используя известные выраже-

ния [2]:

RμR дм(m,T, ω) = AμAдм	(m,T, ω) cosϕμϕдм(m,T, ω)	(6. 10)
JμJдм (m,T, ω) = −AμAдм	(m,T, ω) sin ϕμϕдм(m,T, ω)	(6. 11)

Тогда

Kи(m, T, ω) =

1 1

− 2еmωT cos ωT +

е2mωT sin ϕμϕдм(m, T, ω)

еmωT sin ωT

AμAдм

(m, T, ω)

(6. 12)

(1− 2еmωT cos ωT + е2mωT ),

+ Kд

Kп(m, T, ω) = −

cos ϕμϕдм(m, T, ω) еmωT sin ωТ

еmωT sin ωTAμAдм (m, T, ω)

sin ϕμϕдм(m, T, ω) (1−еmωT cos ωT)

−

(6. 13)

еmωT sin ωTAμAдм (m, T, ω)

− 2Kд

(1−еmωT cos ωT).

Из (6. 8) и (6. 9) можно получить формулы для ПИ- и ПД-алгоритмов регулирования как частных случаев формул ПИД-алгоритма.

ПИ-алгоритм:

Kи(m,T, ω) = −

JμJдм(m,T, ω)(1 − 2еmωT cosωT + е2mωT )

;

еmωT sin ωT(RμRдм2 (m,T, ω) + JμJдм2 (m,T, ω))

Kп(m,T, ω) =

RμRдм(m,T, ω)еmωT sin ωT − JμJдм (m,T, ω)(1 − еmωT cosωT)

еmωT sin ωT(RμRдм2 (m,T, ω) + JμJдм2 (m,T, ω))

или

Kи(m, T, ω)

1 1−2еmωT cos ωT +

е2mωT sin ϕμϕдм(m,T, ω)

;

еmωT sin ωT

AμAдм (m, T, ω)

Kп(m, T, ω) = −

cos ϕμϕдм(m, T, ω) еmωT sin ωТ

еmωT sin

ωT AμAдм (m, T, ω)

sin ϕμϕдм(m, T, ω) (1−еmωT cos ωT)

еmωT sin ωT AμAдм

(m, T, ω)

(6. 14)

(6. 15)

(6. 16)

(6. 17)

ПД-алгоритм:

Kд(m,T, ω) =

Те−mωTJμJдм(m,T, ω)

;

sin ωT(RμRдм2 (m,T, ω) + JμJдм2

(m,T, ω))

Kп(m,T, ω) =

RμR дм

2 (m,T, ω) + JμJдм2 (m,T, ω)

JμJдм (m,T, ω)(е

−mωT

− cosωT)

RμR дм

(m,T, ω) +

sin ωT

		Kд(m,T, ω) =				Те−mωT sin ϕμϕдм(m,T, ω)
										;
										;
						AμAдм (m,T, ω)sin ωT
Kп(m,T, ω) =				1			×
Kп(m,T, ω) =				AμAдм (m,T, ω)			×
				AμAдм (m,T, ω)			(m,T, ω)(е
					sin ϕμϕдм			−mωT
× cosϕ ϕ		дм	(m,T, ω)		sin ϕμϕдм				−cosωT).
× cosϕ ϕ			(m,T, ω)				sin ωT		−cosωT).
	μ						sin ωT

(6. 18)

(6. 19)

(6. 20)

(6. 21)

Переходя к частным случаям ПИалгоритма регулирования, получим:

И-алгоритм:

Kи(m, T, ωи) =

1 1− 2еmωиT cos ωиT + е2mωиT

AμAдм

(m, T, ωи)

где ωи - частота, при которой выполняется условие:

−

mω

cosωиT

ϕμϕдм(m,T, ωп) =

+arctg

mω

sin ωиT

П-алгоритм:

Kп(m,T, ωи) =

дм

(m,T, ω

)

где ωп - частота, при которой выполняется условие:

ϕμϕдм(m,T, ωп) = π.

(6. 22)

(6. 23)

(6. 24)

(6. 25)

Дискретный ПДД(2)-алгоритм регулирования:

Дискретная КЧХ ПДД(2) алгоритма регулирования имеет вид:
W (m,T, jω) = K	п	+K	д	1−е−mωT+jωT	+K	дд	(1−е−mωT+jωT )2	(6. 26)

p				T			T2

Подставив (6. 4),(6. 6), (6. 7) и (6. 26) в (6. 2) и приравняв к нулю действительную и мнимую составляющие, получим систему уравнений:

RμR дм(m,T, ω) ×

×Kп + Kд (1 − еmωT cosωT)+ Kдд (1 − 2еmωT cosωT + е2mωT cos2ωT) −T T2

дд

− JμJдм

(m,T, ω)

еmωT sin ωT +

(2еmωT sin ωT

− е2mωT sin 2ωT)

+1 = 0;

JμJдм(m, T, ω) ×

дд

× K

(1 −

еmωT cos ωT)+

(1 − 2еmωT cos ωT + е2mωT cos 2ωT) +

+ R

дм

(m, T, ω)

Kд

еmωT sin ωT +

Kдд

(2еmωT sin ωT − е2mωT sin 2ωT) = 0.

Решив приведенную систему уравнений относительно Кп и Кд, получим

формулы для границы заданного запаса устойчивости:

Kп(m,T, ω) =

Kдд

(1+еmωT (еmωT −2cosωT))−

(m,T, ω) (е−mωT −cosωT) (6. 27)

RμR дм (m,T, ω)sin ωT + JμJдм

−

sin ωT(RμR дм2 (m,T, ω) +JμJдм2 (m,T, ω))

;

Kд(m, T, ω) =

2Kдд

(1 −еmωT − cos ωT)+

(6. 28)

Т JμJдм (m, T, ω)

еmωT sin ωT(RμRдм

2 (m, T, ω) + JμJдм

2 (m, T, ω))

или через расширенные амплитудно- и фазочастотную характеристики:

Kп(m,T, ω) =

Kдд

+ еmωT (еmωT

− 2cosωT))+

− cosωT)− cosϕμϕдм(m,T, ω)sin ωT

sin ϕμϕдм(m,T, ω)(е−mωT

(6. 29)

AμAдм

(m,T, ω )sin ωT

Kд(m,T, ω) =

дд

(1 − еmωT − cosωT)−

sin ϕμϕдм(m,T, ω)

. (6. 30)

AμAдм(m,T, ω)еmωT sin ωT

Принимая в выведенных формулах m=0, получим выражения для определения области устойчивости, к которой можно применить метод введения запаса устойчивости посредством пересчета границы этой области; можно рассчитать множество областей устойчивости для определения общей подобласти; можно учесть информацию о доверительном коридоре на оценку КЧХ объекта

[1].

При Т→0 формулы расчета настроек алгоритмов регулирования сходятся к известным формулам расчета настроек непрерывных алгоритмов регулирова-

ния [4].

7. Оптимизация настроек цифровых алгоритмов регулирования

Сигнал на выходе непрерывного объекта регулирования ДНСУ является непрерывным, поэтому для выбора оптимальных настроек цифровых алгоритмов регулирования используют те же прямые и косвенные критерии качества регулирования, как и в непрерывных системах, в частности, — интегральные критерии для ступенчатых возмущающих воздействий и дисперсию для случайных воздействий. Специфика расчета этих критериев в ДНСУ заключается в необходимости перехода от дискретной модели сигнала к непрерывной, что обеспечивается варьированием параметра сф (параметр, характеризующий фиктивное запаздывание на выходе ДНСУ, позволяющее провести исследование поведения выходного сигнала системы между моментами прерывания модулятора) модифицированного Z-преобразования.

Таким образом [5],

= ∞y(t)dt = T1 Y*(z, c

)

d c

∫

z=1

∞

2 +

I2 = ∫y2 (t) dt =

∫T

∫|Y*

(jω, cф)

2 dcф dω ,

2π

−

y =

∫

∫Gy*(jω,cф) dcф

dω2.

2π

−

В частности, для дисперсии в моменты прерывания:

Dy = T2	+	π

	∫T G*y (jω)dω,
2π	−	π
		T

(7. 1)

(7. 2)

(7. 3)

(7. 4)

Dy – обозначает дисперсию регулируемой величины, осредненную на интервале Т.

За исключением простейших случаев интегралы по cф от

Y*(z,c

) |

z=1

Y*( jω,c

)

,G*

(ω,c

) не берутся и заменяются соответствую-

щими суммами. Число членов суммы можно ограничить пятью — десятью.

В одноконтурной системе при возмущении по каналу λ:

			*	*	(z)
Y*(z, c		)= Х*(z)−	WμWдм(z, cф)Wр		(z)	X(z) W(z, c			).	(7. 5)
Y*(z, c		)= Х*(z)−	1+ W W*			X(z) W(z, c			).	(7. 5)
	ф		1+ W W*	(z)W*(z)			λ	ф
			μ дм	р

Для случайного возмущающего воздействия формула, определяющая дисперсию, имеет вид:

Dy =

2π

Wλ*(jω, cф){1

+ Wр*(jω)(WμWдм* (jω)− WμWдм* ( jω, cф))}

× ∫

∫

1+ W W* (jω) W*(jω)

−

μ дм

или иначе:

Dy = Dx +

2π

WμWдм* ( jω, cф)Wр*(jω)

× ∫

∫

Sx (ω)dcф

dω−

1+ W W*

(jω)W*(jω)

−

дм

2 +

−

∫T

∫Re

WμWдм( jω, cф)Wр(jω)

S*x (ω)dcф dω.

1+ W W* (jω)W*(jω)

−T

μ дм

S*x (ω)dcф dω

(7. 6)

(7. 7)

Если речь идет о случайном возмущающем воздействии, приведенном к выходу ДНСУ, то Wλ* (jω,cф)=1.

Z-преобразование спектральной плотности возмущающего значения определяется соотношением [7]:

Sx (ω) =Sx (z)	z=−jω = Rx (z) + Rx (z −1) − R x (0),	(7. 8)

гдеR*x (z) — Z-преобразование корреляционной функции возмущающего воздействия.

При расчете дисперсии на выходе ДНСУ, содержащей объект регулирования с транспортным запаздыванием, величину запаздывания необходимо учесть в выражении Z-преобразования КЧХ объекта.

8. Примеры расчета

Пример 1. Передаточная функция объекта регулирования:

W (p) =	Kμ e−τp	,	(8. 1)

μ	Tμ p +1

где Kμ =1, Tμ =1, а отношение τ/ Tμ = 6 [7].

На объекте установлена одноконтурная АСР с дискретным ПИалгоритмом регулирования.

Произведение КЧХ объекта управления и демодулятора имеет вид:

WμWдм(p) =		1 − e−Тp Kμ e−τ p		= (1 − e−Тp )	Kμ e−τ p
					р(T p +1)=
		Р	T p +1
			μ		μ
= (1 − e−Тp )	αKμ e−τ p		,	(8. 2)

		р(р + α)

гдеα =1/ Тμ.

Применив модифицированное Z-преобразование (приложение, №11), получим:

−1

−αcT

−r

WμWдм(z) = Kμ(1 − z

)

−

(8. 3)

z − e

−αT

z −1

где r — целая часть от деления τ на Т, а c =1 − (2 / T − r).

Используя формулы (6.14) и (6.15) для расчета настроек ПИ-алгоритма регулирования, построим области заданного запаса устойчивости для m=0,366 при шагах дискретизации T=0 (аналоговый ПИ-алгоритм); T=0,14; T=0,7; T=1,7. Графики областей заданного запаса устойчивости приведены на рис.19.

По линейному интегральному критерию I1(Ки→max) находим оптимальные настройки дискретного ПИ-алгоритма регулирования для различных шагов дискретности. Найденные настройки приведены в табл. 1.

Кн	1,5		T=0
	1,2	T=1,7	T=0,14
	0,9	T=1,7


	0,6

0,3				T=0,7
0,3
0			-0,4		0	0,2		0,6		1
-1	-0,8	-0,6		-0,2			0,4	0,6	0,8 Кп
-1	-0,8	-0,6		-0,2			0,4		0,8 Кп

Рис. 19. Графики линий заданного запаса устойчивости (m=0,366) одноконтурной ДНСУ с ПИ-алгоритмом регулирования

при различных шагах дискретности Т

Таблица 1 Параметры настроек дискретного ПИ-алгоритма регулирования

Т	Кн	Кп

0	1,06	0,329

0,14	0,976	0,3

0,7	0,78	0,0653

1,7	1,45	0,0463

Пример 2. Объект регулирования — стекловаренная печь, канал стабилизации коэффициента линейного термического расширения. Передаточная функция объекта регулирования:

Wμ(p) = ( Kμ )(e−τp ), (8. 4)

T1 p +1 T2 p +1

где Kμ =1, T1=101,2ч, T2=26,6ч, а τ = 2ч [7].

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]