Эллиптические задачи (128

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.В. Котович, И.В. Станкевич

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Методические указания к выполнению курсового проекта по курсу «Уравнения математической физики»

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2009

УДК 517.9 ББК 22.161.6

К736

Рецензент А.Ф. Грибов

Котович А.В., Станкевич И.В.

К736 Эллиптические задачи: Метод. указания к выполнению курсового проекта по курсу «Уравненияматематическойфизики». – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 48 с.: ил.

Рассмотрено решение уравнений Лапласа и Пуассона методом суперпозиции. Построение частных решений, являющихся основой метода суперпозиции, выполняется с помощью метода разделения переменных. Решения проводятся для областей, обладающих определенной симметрией (круг, кольцо, прямоугольник, цилиндр, шар, шаровой слой).

Для студентов 3-го курса факультета ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курс «Уравнения математической физики» и выполняющих соответствующую курсовую работу. Пособие может быть полезным студентам старших курсов, изучающим аналитические методы решения краевых задач.

УДК 517.9 ББК 22.161.6

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

ПРЕДИСЛОВИЕ

В пособии рассмотрено построение решений краевых задач, связанных с уравнениями Лапласа и Пуассона. Оба уравнения являются дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка и принадлежат к уравнениям эллиптического типа. К этим уравнениям приводят задачи, связанные с установившимися процессами, например, о стационарных температурных полях в элементах конструкций, о потенциале скоростей установившегося течения несжимаемой жидкости, о потенциале электростатического поля и многие другие.

Основным рассматриваемым методом является метод суперпозиции. Он позволяет на основе совокупности частных линейно независимых решений построить решение исходной (линейной) задачи. При этом множество частных решений должно быть полным.

Основным техническим приемом нахождения частных решений является метод разделения переменных. Для своей реализации этот метод требует нулевых граничных условий. Если граничные условия не являются нулевыми, то рассматриваемую задачу необходимо свести к некоторой вспомогательной задаче, у которой граничные условия являются нулевыми. Кроме того, метод разделения переменных применим лишь для геометрически простых областей, обладающих определенной симметрией, например, для круга, кольца, прямоугольника, цилиндра, шара, шарового слоя и т. д. В случае геометрически сложных областей поиск частных решений, как правило, не представляется возможным. В этой ситуации можно использовать приближенные методы решения краевых задач [10, 11], рассмотрение которых выходит за рамки данного пособия.

Для более полного понимания рассмотренных ниже методов и технических приемов построения решений рекомендуется изучить теоретический материал, относящийся к эллиптическим уравнениям и достаточно полно изложенный в работах [1–3], при этом также весьма полезно ознакомиться с работами [8, 9]. В задачниках и практических пособиях, например [4–7], можно найти методы и приемы решения разнообразных и в том числе достаточно сложных задач, рассмотрение которых в силу ограниченности объема не могли быть представлены в данном пособии.

3

ВВЕДЕНИЕ

Наряду с теплофизическими и физико-механическими процессами и явлениями, развивающимися в пространстве и во времени, существуют много процессов и явлений, которые не изменяются с течением времени. Эти процессы и явления весьма часто описываются краевыми эллиптическими задачами. Классическими эллиптическими уравнениями с частными производными являются уравнение Лапласа u = 0 и уравнение Пуассона u = f , где –

дифференциальный оператор Лапласа.

В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид

∂2u + ∂2u + ∂2u = 0 , ∂x2 ∂y2 ∂z2

в цилиндрической системе координат это уравнение записывается так:

самый сложный вид данное уравнение имеет в сферической системе координат:

Совершенно аналогично в разных системах координат записывается и уравнение Пуассона.

4

1. ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Понятие решения. Классическим решением дифференциального уравнения с частными производными называется функция, которая обладает всеми производными, входящими в уравнение, и при подстановке в уравнение обращает его в тождество в рассматриваемой области.

У одного и того же дифференциального уравнения с частными производными существует много различных решений, но в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений в данном случае множество решений значительно шире.

Кроме приведенного выше понятия классического решения существуют так называемые обобщенные решения (в разных смыслах), но в рамках данного пособия они рассматриваться не будут.

Постановка задач. Для формулирования эллиптических краевых задач нужны граничные (краевые) условия. Рассмотрим три типа граничных условий, имеющих важное прикладное значение:

1)граничное условие первого рода (условие Дирихле);

2)граничное условие второго рода (условие Неймана);

3)граничное условие третьего рода (условие Робэна).

Если задано граничное условие первого рода, то соответствующая задача называется первой краевой задачей или задачей Дирихле. Например, требуется найти стационарное распределение температуры внутри области Ω, если задана температура на ее границе ∂Ω, либо найти распределение электрического потенциа-

ла внутри области Ω, если известен потенциал на ее границе ∂Ω. Математическая формулировка обеих задач Дирихле такова:

где g – заданная функция на границе ∂Ω.

Если задано граничное условие второго рода, то такая задача называется второй краевой задачей или задачей Неймана. Например, требуется найти решение уравнения Лапласа в некоторой области Ω, на границе которой задана производная по направлению

5

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство ∫ f dω=

Ω

=∫ q ds.

∂Ω

Замечание 1.1. Существенной особенностью задачи Неймана для уравнений Дирихле и Пуассона, отличающей ее от краевых задач других типов, является неединственность получаемого решения.

Если задано граничное условие третьего рода, то задача называется третьей краевой задачей или задачей Робэна. Пусть, например, требуется найти решение уравнения Пуассона в некоторой

Замечание 1.2. В отличие от постановок начально-краевых задач для гиперболического волнового уравнения или параболического уравнения теплопроводности эллиптические краевые задачи не требуют задания начальных условий.

2.ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

ВКОЛЬЦЕ

Одним из весьма простых и эффективных методов решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях, обладающих выраженной симметрией, является метод разделения переменных. Общая идея метода заключается в следующем. Вначале находится множество частных решений un (M ), удовлетворяющих однород-

ному уравнению в частных производных. Затем на базе найденных частных решений на основе принципа линейной суперпозиции

7

∞

строится общее решение, которое имеет вид u(M ) = ∑anun (M ),

n=1

где un (M ) – частные решения; an – произвольные постоянные; M =(x1, …, xN ) – точка рассматриваемой области Ω пространства

RN . Для окончательного построения решения постоянные an оп-

ределяются так, чтобы были удовлетворены граничные условия. Пример 2.1. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа u = 0 в области, заключенной между двумя концентрическими

окружностями L1 и L2 , соответственно радиусов R1 и R2 с центром в начале координат:

Решение. Для построения решения удобно ввести полярные

Теперь разделим обе части последнего уравнения на произведение RΦ и выполним алгебраические преобразования с тем, чтобы левая часть преобразованного уравнения зависела только от переменной r, а правая – от ϕ. В результате получим

Уравнение (2.2) называется уравнением с разделенными пере-

менными. Поскольку переменные r и ϕ не зависят друг от друга,

то и левая, и правая части уравнения (2.2) сохраняют постоянное значение, т. е. являются константой. Обозначим эту константу через λ. Отсюда имеем

u (r,ϕ) (в силу ее однозначности) должна принять «первоначаль-

функция Φ(ϕ) является периодической функцией с периодом

T = 2π.

Из (2.3) для функции Φ(ϕ) имеем уравнение Φ′′+λΦ = 0 , из которого следует, что Φ(ϕ)= Acos( λϕ)+ Bsin ( λϕ), где A и B –

произвольные постоянные. В силу периодичности функции Φ(ϕ)

должно выполняться равенство λ = n2 , где n ≥ 0 – целое число. Последнее легко установить. Действительно, примем обозначения

тогда из равенства

9

Acos( λϕ)+ Bsin ( λϕ)= Acos λ(ϕ+ 2π) + Bsin λ(ϕ+ 2π)

т. е. π λ = πn, или λ = n2 , где n ≥ 0 – целое число.

Далее, из уравнения (2.3) для функции R(r ) с учетом того, что

Теперь надо рассмотреть два случая: n ≠ 0 (n > 0) и n = 0. Если n ≠ 0 , то решение уравнения (2.4) ищем в виде R(r )= rμ. Подставляя это выражение в уравнение (2.4) и сокращая на множитель rμ , устанавливаем, что μ2 = n2 или μ = ±n (n > 0). При n = 0

уравнение имеет два решения: 1 и ln r. Таким образом, у нас имеется бесконечный набор функций, удовлетворяющих исходному уравнению (см. формулировку задачи (2.1)):

1, lnr, rn cos(nϕ), rn sin(nϕ), r−n cos(nϕ), r−n sin(nϕ), n =1,2,…

Но, поскольку сумма этих решений также является решением, общее решение уравнения Лапласа в данном случае имеет вид

u (r,ϕ)= a0 +b0 ln r +

10