Элементы теории двойственности (110

Из неравенств (7) – (8) видим, что поскольку решение yi = 0 при i =1, m соответствует всем ограничениям (7), то базис двойственной задачи образуют векторы An+1, An+2 , ..., An+m . При этом начальное решение системы имеет вид

xn+i = −bi , i =1, m.

Итак, для задачи (1) – (3) при условии (4) применение двойственного симплекс-метода оказывается предпочтительнее в сравнении с прямым.

Двойственный симплекс-метод позволяет в процессе поиска добавлять новые дополнительные ограничения к уже найденному некоторому промежуточному решению. Это важное его свойство широко используется при решении задач условной оптимизации (методы секущих плоскостей).

Пример.

Пусть ЗЛП имеет вид:

2x1 + x3 → min, x1 + x2 − x3 ≥ 5, x1 − 2x2 + 4x3 ≥8, xi ≥ 0, i = 1, 3.

Двойственная к ней задача имеет вид

5y1 +8y2 → max, y1 + y2 ≤ 2,

y1 − 2 y2 ≤ 0,

−y1 + 4 y2 ≤1, y j ≥ 0, j =1, 2.

Перепишем исходную задачу как задачу на максимум и приведем к каноническому виду. А затем решим задачу двойственным симплексметодом.

−2x1 − x3 → max,

−x1 − x2 + x3 +u4 = −5,

−x1 + 2x2 −4x3 +u5 = −8,

xi ≥ 0 , i =1, 3.

21

Таким образом, после выполнения последней итерации значения всех базисных переменных оказываются неотрицательными и, следовательно, значения переменных, а именно x = (0, 14, 9), являются оптимальными для

исходной задачи. Оптимальные значения переменных двойственной задачи равняются соответственно y = (1, 1 / 2)

22

4.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ

ВПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

Вразличных областях управления возникают задачи поиска кратчайших и длиннейших путей на графах.

Общая постановка данной задачи следующая: пусть задана сеть из n +1 вершин, то есть ориентированный граф, в котором выделены две вершины – вход (нулевая вершина) и выход (вершина с номером n ). Для каждой дуги заданы числа, называемые длинами дуг. Длиной пути (контура) называется сумма длин входящих в него дуг (если длины дуг не заданы, то длина пути, или контура, определяется как число входящих в него дуг). Задача заключается в поиске кратчайшего пути (пути минимальной длины) от входа до выхода сети.

Запишем задачу о кратчайшем пути как задачу линейного программирования.

Пусть

Ограничения (2) и (3) отражают требования того, что в искомом пути из входа выходит одна дуга и в выход заходит одна дуга. Ограничение (4) обеспечивает равенство числа заходящих и выходящих в любую промежуточную вершину дуг.

Сформулируем задачу линейного программирования, двойственную задаче (1) – (4), поставив в соответствии с ограничениями (2) – (3) двойственные переменные λ0 и λn , а с ограничениями (4) – двойственные пере-

менные {λi }, i =1, n −1:

По теореме двойственности для оптимальных решений задач (1) – (4) и

(5) – (6) значения целевых функций совпадают. Двойственные переменные имеют следующий смысл: λi – кратчайшее расстояние от 1-го до i -го пункта;

λj – кратчайшее расстояние от 1-го до j -го пункта.

Алгоритм решения задачи о кратчайшем пути

1. По заранее заданной сети выписывается матрица расстояний между всеми узлами сети. Если дуга, соединяющая узлы, отсутствует (отсутствует путь, ведущий из i -го пункта в j -й), то в матрице расстояний ставится знак запрета данного пути.

2. Пусть λj – сумма длин дуг, образующих цепь, ведущую из узла 1 в узел j . Положим λ1 = 0 и λi = λj , если i = j . При условии, что i и j соеди-

нается с i =1 и uj = ui = 0.

3. Определяется кратчайший путь. Проверяется выполнение неравенства λj −λi ≤ li j , при этом выделяют те элементы матрицы, для которых

данное неравенство выполняется как равенство. Если для i, j λj −λi ≤ li j ,

то между узлами не существует более короткого пути. Переход к п. 5.

4. Если i, j , для которых λj −λi > li j , вычисляют новые значения u′j , используя формулу λ′j = λi + li j . Меняются λj и λi для i = j на λ′j . Повторяется п. 2 с новыми значениями λj и λi .

5.Полученные λj определяют кратчайшее расстояние между узлами 1

иj = 2, n . По выделенным элементам матрицы выписывается кратчайший

путь.

Пример.

Рассмотрим данную сеть.

11,5

∞, 9

4

24

Сеть содержит циклы, возникающие из-за возможности двустороннего движения. Если дуга ориентирована, (то есть движение одностороннее), расстояние в другом направлении полагается равным ∞.

Занесем данные в матрицу расстояний, где строка i (столбец j ) пред-

Исходные величины λi и λj определяются следующим образом. Пусть λ1 = 0 . При использовании формулы

λj = mini (λi + li j )

осуществляется последовательное обращение к величинам λi и λj по мере того, как они становятся доступными.

В процессе реализации алгоритма обнаруживается, что условие оптимальности первый раз нарушается при i = 6 для j = 4 и 5. Величины λ4 и

λ5 меняются следующим образом:

λ′4 = λ6 +l6 4 = 3 +5 =8, λ′5 = λ6 +l65 = 3 +1 = 4.

После этого повторяется шаг 2 с измененными значениями λi и λj .

(8)(4)

Из последней таблицы видно, что в новых изменениях нет необходимости, и поэтому последние измененные величины ui дают длину крат-

чайшего пути от 1 до j . Кратчайшее расстояние между узлами 1 и 7 равно

λ7 (= 13).

Найдем участки кратчайшего пути между узлами 1 и 7. Определение участков пути должно начинаться с узла 7. Из столбца 7 видно, что равенство выполняется (подчеркнутый элемент) при i = 5 и i = 6 , то есть либо узел 5, либо узел 6 соединены с узлом 7 (альтернативные решения). Анало-

26

гичные исследования для 5-го и 6-го узлов дадут i = 6 и i = 2 . Будем продолжать эту процедуру до тех пор, пока не вернемся в первый узел.

Таким образом, кратчайший путь имеет вид

1 2 6 5

7

1 2 6

5. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

x S ,

где φ, fi , i =1... m – заданные функции, S – некоторое множество. Построим для нее функцию Лагранжа

m

Φ(x, y) = φ(x) + ∑ yi fi (x), x S, y ≥ 0.

i=1

Исходная задача перепишется в виде

min max Φ(x, y).

x s y≥0

Двойственная к ней задача по определению имеет вид

max min Φ(x, y).

y≥0 x s

Введем обозначение ω(y) = min Φ(x, y). Функцию ω(y) называют

x s

двойственной функцией.

Тогда двойственную задачу можно переписать в виде max ω(y).

y ≥0

Утверждение.

Докажем, что maxω( y) является задачей выпуклого программирования.

y≥0

Доказательство.

Вначале докажем, что

Этот факт непосредственным образом вытекает из неравенства

min Φ(x, y) ≤ Φ(x, y), y ≥ 0, x S.

x s

Покажем теперь, что наша задача является задачей выпуклого программирования (ω является выпуклой вверх функцией), то есть

Умножив первое неравенство на α , а второе – на (1 −α ) и сложив их, мы получим

m

αω( y1) + (1 −α)ω( y2 ) ≤ φ(x) + ∑(αωy1 + (1−α) y2 ) fi (x), x S.

i=1

Полученное выражение верно для любого x S , следовательно, оно будет верно, если мы возьмем от обеих частей минимум по x S . Значит, верно неравенство (**).

Что и требовалось доказать.

Скачок двойственности

Рассмотрим следующую задачу оптимизации: φ(x) → max,

где φ, fi , i =1,m – заданные функции, S – некоторое множество. Функция Лагранжа для данной задачи имеет вид

Φ(x, y) = φ(x) + yT (b − f (x)), x ≥ 0 (x S), y ≥ 0.

При этом исходная задача записывается с помощью Φ(x, y) следую-

щим образом:

max min Φ(x, y),

x≥0 y≥0 ( x s)

двойственная задача по определению имеет вид

min max Φ(x, y).

y≥0 x≥0 ( x s)

Свойства двойственности, справедливые для линейного программирования, вообще говоря, неверны в нелинейном случае. Проиллюстрируем это на примере.

28

Пример.

10 −3x1 −2x2 − x3 → min,

Φ(x, y) =10 −3x1 −2x2 − x3 + y(−4 + 2x1 +3x2 + 4x3 ), x S, y ≥ 0.

Исходная задача имеет вид

min max Φ(x, y).

x s y≥0

Исходная задача легко решается перебором (множество S состоит всего из 8 точек, а допустимых из них 4). В результате получаем ответ:

Lmin = 7, x *T = (1, 0, 0).

Решим ее графически:

ω(y) = 10 – 4y

ω(y) = 9

ω(y) = 9 – y

ω(y) = 7 + 3y

ω(y) = 7·2y

ω(y) = 6 + 2y

ω(y) = 5 + y

ω(y) = 4 + 5y

29

Обе задачи – и исходная, и двойственная – имеют решение, но значения целевых функций не совпадают. Это явление называется скачком двой-

ственности.

Замечание. Как мы убедились, верная для линейных задач первая теорема двойственности в нелинейной оптимизации не выполняется.

Слабая теорема двойственности

Пусть x * – решение исходной задачи, а y * – решение двойственной.

Тогда справедливо следующее неравенство:

ω( y) ≤ ω( y*) ≤ φ(x*) ≤ φ(x), x S, y ≥ 0.

Доказательство.

Покажем, что ω( y) ≤ ω( y*) ≤ φ(x*) ≤ φ(x).

Неравенства ω(y) ≤ ω(y*) и φ(x*) ≤ φ(x) справедливы, так как x * – решение исходной задачи, а y *– решение двойственной.

По определению двойственной функции верно следующее неравенст-

во:

ω( y*) ≤ φ(x) + y *T f (x), x S.

При x = x * получим

ω( y*) ≤ φ(x*) + y *T f (x). Здесь y *T ≥ 0, f (x*) ≤ 0.

Следовательно, ω( y*) ≤ φ(x*). Что и требовалось доказать.

Теорема двойственности

I.Если (x*, y*) – седловая точка исходной задачи, то φ(x*) = ω( y*).

II. Если x * – решение исходной задачи, y* ≥ 0 и справедливо равенство ϕ(x*) =ω( y*) , то исходная задача имеет седловую точку (x*, y*).

Доказательство.

I. Требуется доказать равенство φ(x*) = ω( y*).

По определению седловой точки имеют место следующие неравенства:

Φ(x*, y) ≤ Φ(x*, y*) ≤ Φ(x, y*), x S, y ≥ 0.

1.Перепишем неравенство Φ(x*, y) ≤ Φ(x*, y*), y ≥ 0 в виде