Элементы теории двойственности (110

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 30 ноября 2011 года, протокол № 3

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Т.К. Кацаран

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре математических методов исследования операций факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 2-го курса дневного и вечернего отделений и магистров факультета ПММ.

Для направлений: 010500 – Прикладная математика и информатика, 080700 – Бизнес-информатика; для специальности 010501 – Прикладная математика и информатика

2

1. ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

1.1.Правила построения двойственных задач

1.Рассмотрим задачу линейного программирования следующего вида:

где cT =(c1, ..., cn ), xT =( x1, ..., xn ), bT =(b1, ..., bn ), A = (aij ), i =1, n, j =1,m.

Функция Лагранжа для задачи (1) – (3) записывается в виде

L( x, y) = cT x + yT (b − Ax) = cT x + ∑ yi (bi −( Ax)i ), x ≥ 0, y ≥ 0 .

Задачу (1) – (3) можно эквивалентно переписать следующим образом:

max min L( x, y),

x≥0 y≥0

так как для любого фиксированного x ≥ 0 имеет место равенство

Двойственная задача по определению записывается в виде

min max L( x, y),

y≥0 x≥0

где L( x, y) =bT y + xT (c − AT y), x ≥ 0, y ≥ 0 .

Зафиксируем произвольное y ≥ 0 . Тогда имеют место равенства

Таким образом, двойственную задачу можно записать в следующем виде:

3

2. Аналогичные рассуждения проведем для задачи, записанной в канонической форме:

сT x → max,

Ax =b, x ≥ 0.

Перепишем задачу в виде (1) – (3):

сT x → max,

Ax ≤b,

−Ax ≤ −b,

x≥ 0.

Функция Лагранжа в этом случае будет выглядеть следующим обра-

зом:

L( x,u,v) = cT x +uT (b − Ax) + vT (−b + Ax) = cT x +(u −v)T (b − Ax), x ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ 0.

Обозначим переменную u −v через переменную y . Тогда функцию Лагранжа можно записать так: L( x, y) = cT x + yT (b − Ax) , x ≥ 0 , y – любого знака.

По определению двойственная задача к канонической записывается в

виде

Таким образом, двойственную задачу к канонической можно записать в следующем виде:

bT y → min,

AT y ≥ с,

y− знака.

3.Рассмотрим далее задачу линейного программирования (1) – (2)

4

но перепишется следующим образом:

cT ( x′− x′′) → max,

A( x′− x′′) ≤b, x′≥ 0, x′′≥ 0.

Функция Лагранжа для задачи имеет вид

L( x′, x′′, y) = cT ( x′− x′′) + yT (b − A( x′− x′′)), x′≥ 0, x′′≥ 0, y ≥ 0.

Исходную задачу перепишем в виде:

max min L( x′, x′′, y).

x′,x′′≥0 y≥0

По определению двойственная задача запишется в виде

min max L( x′, x′′, y),

y≥0 x′,x′′≥0

L( x′, x′′, y) = bT y +( x′− x′′)T (c − AT y).

Зафиксируем произвольное y ≥ 0 . Тогда справедливы равенства

Двойственную задачу можно записать следующим образом:

bT y → min,

AT y = c, y ≥ 0.

5

Таким образом, под двойственной задачей (ДЗ) к исходной понимается задача линейного программирования, которая строится по следующим правилам, приведенным в таблице.

Примечание. Когда целевая функция в исходной задаче минимизируется, таблица прочитывается справа налево.

Данная таблица позволяет формулировать несколько общих правил построения двойственных задач:

•каждому i -му ограничению исходной задачи соответствует переменная yi в ДЗ, и, наоборот, каждому k -му ограничению ДЗ соответствует переменная xk исходной задачи;

•матрицы ограничений в исходной и двойственной задачах взаимно транспонированы;

•правые части ограничений исходной задачи становятся коэффициентами целевой функции в ДЗ, а коэффициенты целевой функции исходной задачи – правыми частями ограничений в ДЗ;

•если целевая функция в исходной задаче максимизировалась (минимизировалась), то в ДЗ целевая функция минимизируется (максимизируется).

6

1.2. Свойства пары двойственных задач

Обозначим через Ω и Q соответственно допустимые множества ис-

ходной задачи (1) – (3) и двойственной задачи (4) – (6):

Ω ={ x : Ax ≤ b, x ≥ 0} ,

Q={ y : AT y ≥ c, y ≥ 0}.

1.Задача, двойственная к двойственной, является исходной. Запишем задачу (4) – (6) в виде

−bT y → max,

−AT y ≤ −c, y ≥ 0,

двойственная к которой по определению имеет вид

решение из-за неограниченности целевой функции на допустимом множестве, то в двойственной к ней допустимое множество пусто.

Например, если sup cT x = +∞, то Q = .

Ω

Доказательство.

Предположим противное. Пусть Q ≠ , тогда y Q .

Используя свойство 2, запишем неравенство cT x ≤ bT y , x Ω, что противоречит неограниченности целевой функции cT x на множестве Ω.

4. Если x Ω и y Q такие, что cT x =bT y , то x – решение исходной задачи, y – решение двойственной задачи.

Из свойства 2 следует, что x Ω можно записать cT x ≤ bT y = cT x . Следовательно, x – решение исходной задачи.

5. Возможна ситуация: Ω = и Q = . Рассмотрим пример. Исходная задача задана в виде

7

Покажем теперь, что y0 – оптимальная точка в двойственной задаче. Действительно, имеет место равенство

cT x0 = cbT xb = cbT B−1b = (y0 )T b = bT y0 .

По свойству 4 точка y0 = cbT B−1 является оптимальной.

Теорема доказана.

Следствие

Совместность системы ( ) является необходимым и достаточным условием для решения исходной и двойственной задачи (если исходная записана в каноническом виде):

cT x = bT y,

Вторая теорема двойственности

Пусть решается задача (1) – (3). Для того, чтобы x0 Ω, y0 Q были

решениями исходной и двойственной задач, необходимо и достаточно выполнение условий дополняющей нежесткости:

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть x0 Ω – решение исходной задачи, y0 Q – решение двойственной задачи. Тогда по первой теореме двойственности

9

cT x0 =bT y0 = y0T b ≥ y0T Ax0 , x0T (c − AT y0 ) ≥ 0.

С другой стороны, x0 ≥ 0, c − AT y0 ≤ 0 . Значит, x0T (c − AT y0 ) ≤ 0 . Получаем, что x0T (c − AT y0 ) = 0 .

Аналогичные рассуждения проводятся для второго равенства. 2. Достаточность.

Пусть в некоторых точках x0 Ω, y0 Q выполняются условия допол-

2. ЭКОНОМИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДВОЙСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть исходная задача планирования производства фирмы имеет вид

CΤx → max,

Ax ≤b, x ≥ 0.

В приведенной модели b = (b1, ..., bm ) , где bi (i = 1, ..., m) обозначает за-

пас ресурса вида i, элементы матрицы A = {aij } обозначают число единиц ресурса вида i, потребляемого при производстве единицы продукции вида j,

10