Прохождение излучения через границу раздела однородных изотропных сред (96

УДК 535.(075.8)

ББК 22.34

П21

Рецензенты: Б.И. Голубь, Л.Н. Тимашова

П21

Пахомов И.И., Хорохоров А.М.

Прохождение излучения через границу раздела однород-

ных изотропных сред: Учеб. пособие. –

М.: Изд-во МГТУ

им. Н.Э. Баумана, 2006. – 42 с.: ил.

1. ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ

ЧЕРЕЗ ГРАНИЦУ РАЗДЕЛА ОДНОРОДНЫХ

ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕД

1.1.

Уравнения Френеля

Рассмотрим поведение плоской электромагнитной волны, пада-

ющей на границу раздела двух сред со значениями диалектрической

проницаемости ε1,, ε2, магнитной проницаемости μ1, μ2

по обе сто-

роны от границы раздела.

Если на границу раздела двух однородных сред, обладающих

разными оптическими свойствами, падает плоская волна, она раз-

деляется на две волны: проходящую во вторую среду и отраженную.

Существование этих волн вытекает из граничных условий. Можно

показать, что они удовлетворяются при наличии как проходящей,

так и отраженной волн. Предположим, что эти волны также являют-

ся плоскими, и выведем выражения для их амплитуд и направлений

распространения.

Обозначим величины, относящиеся к падающей волне, индек-

сом (i), к отраженной и прошедшей —

индексами (r) и (t) соответ-

ственно.

Уравнения падающей, прошедшей и отраженной волн запишем

в комплексной форме:

~(i)

~rS

E~ (i) = E~0(i)

∙ exp "i(ωit − ωi

+ δi)# ;

V1

~(r)

E~ (r) = E~0(r)

∙ exp "i(ωrt − ωr

~rS

+ δr)# ;

(1.1)

V1

~(t)

~rS

E~ (t) = E~0(t)

∙ exp "i(ωtt − ωt

+ δt)# ,

V2

3

где E0

,

E0

, E0

—

амплитуды колебаний электрического векто-

~ (i)

~ (r)

~

(t)

частоты колебаний волн; δ(i), δ(r), δ(t) —

ра в волнах; ωi, ωr, ωt —

начальные фазы волн; S

,

S

(r)

, S

—

единичные векторы, харак-

~(i)

~

~(t)

скорости рас-

теризующие направления распространения; V1, V2 —

пространения волны в средах 1

и

2,

V1 = √

c

; V2 = √

c

.

ε1μ1

ε2μ2

Введем комплексные амплитуды волн

~

~ (i)

e

iδi

;

~

~

(t)

e

iδt

;

~

~ (r)

e

iδr

(1.2)

A = E0

T = E0

R = E0

и обозначим переменные части аргументов волновой функции

~(i)

~rS

τi = ωit − ωi

;

V1

~

(r)

~rS

(1.3)

τr = ωrt − ωr V1

;

~(t)

~rS

τt = ωtt − ωt

.

V2

Тогда уравнения волн примут вид

~ (i)

~

iτi

;

~

(r)

~

iτr

;

~ (t)

~iτt

.

(1.4)

E

= Ae

E

= Re

E

= T

Воспользуемся граничным условием для напряженностей элек-

трического поля

~ (i)

~ (r)

]τ

~ (t)

]τ ,

(1.5)

[E

+ E

= [E

которое говорит о том, что тангенциальные составляющие полей в

средах 1

и 2 равны. Тогда с учетом

(1.4)

~

iτi

~

iτr

]τ

~

iτt

]τ .

(1.6)

[Ae

+ Re

= [T e

Равенство (1.6) должно выполняться для всех значений τi, τr,

τt, т. е. для любого момента времени t

и любой точки с радиусом-

вектором ~r на границах раздела. Покажем,

что для обеспечения это-

го равенства необходимо,

чтобы соблюдалось условие

τi = τr = τt.

4

Действительно, левую часть выражения (1.6) можно предста-

вить в виде

~

iτi

~

iτr

= ae

i(τi+δi)

+ be

i(τr+δr)

,

(1.7)

z = (A)τ e

+ (R)re

где a = (E0

)τ ; b = (E0

)τ —

тангенциальные составляющие ам-

~ (i)

~ (r)

плитуд колебаний падающей и отраженной волн.

6= τr

Покажем, что модуль m комплексного числа (1.7) при τi

будет зависеть от t

и ~r. Это противоречит условию (1.6),

поскольку

правая часть в (1.6)

представляет собой комплексное число с посто-

янным модулем:

Для того чтобы обеспечить независимость m от t и r, необходи-

мо положить τi = τr = τ, тогда из (1.6) получим

(A~ + R~)τ e−iτi = (T~)τ e−iτt ,

(1.8)

откуда следует, что τi = τt.

Таким образом, мы доказали, что переменные части аргументов

волновой функции волн должны быть равными, т. е.

τi = τr = τt = τ,

(1.9)

и, следовательно, граничное условие (1.6) будет связывать лишь

комплексные амплитуды волн:

~ ~

~

(1.10)

(А + R)τ

= (T )τ .

Это очень важный вывод, который позволяет нам значительно упро-

стить решение поставленной задачи.

Поместим начало координат в плоскости раздела сред. Посколь-

ку выражение (1.9) справедливо для всех ~r и t, рассмотрим точку

r = 0. С учетом (1.3) и (1.9) получим ωit = ωrt = ωtt = ω, откуда

ωi = ωr = ωt = ω,

(1.11)

5

т. е. частота электромагнитной волны при отражении и преломле-

нии не изменяется. Рассмотрим теперь условие (1.9)

в некоторый

момент времени t0. С учетом

(1.3) и (1.11) оно имеет вид

~(i)

~(r)

~(t)

~rS

=

~rS

=

~rS

.

(1.12)

V

V

1

1

V

2

Выберем в плоскости

P (рис. 1)

начало координат (точка O) та-

кое, что для радиуса-вектора

~r некоторой точки О0 плоскости вы-

~

(i)

= 0,

т. е. ~r

~

(i)

, тогда из (1.12) получим

полняется условие ~rS

S

~

(r)

~(t)

~

(i)

~(r)

~

(t)

)

~rS

= ~rS

= 0. Cледовательно, все три вектора (S

, S

, S

перпендикулярны одному радиусу-вектору ~r и находятся в одной

плоскости Q,

нормальной к P .

~(i)

~(r)

кости падения (Q) и единичных векторов падающей S

, отраженной S

~(t)

волн

и прошедшейS

будем называть

~(i)

~(r)

~(t)

Направления единичных векторов S

, S

, S

лучами. Введем систему координат xyz, в которой ось ox совпадает

с линией пересечения плоскостей Q и Р,

а оси oz и oy находятся в

плоскостях Q и

Р

соответственно (ось oy направлена по радиусу-

вектору ~r, а ось oz

совпадает с направлением нормали ~n к плоскости

Рис. 2. К выводу законов отражения, преломления и формул Френеля

Проекции векторов S

, S

, S

на выбранные оси равны:

~

(i)

~(r)

~(t)

~

(i)

{sin θi

, 0, cos θi} ;

S

~

(r)

{sin θr, 0, cos θr} ;

(1.13)

S

~

(t)

{sin θt, 0, cos θt} .

S

В связи с тем, что (1.12) справедливо для всех точек плоскости

P , выберем в ней точку O0, для которой

~r = xi~,

тогда из (1.12) по-

лучим

x sin θi

x sin θr

=

,

т е

−

V1

V1

Последнее равен

. sin θi = sin (π

r

r

,

откуда

r

-

.

θ0 ) = sin θ0

θ0 = θi.

7

x sin θi

=

x sin θt

,

V1

V2

из которого вытекает известный закон преломления. Действитель-

но,

sin θi

V1

cV1

√

n2

ε2μ2

(1.14)

=

=

=

=

.

sin θt

V2

cV2

√

n1

ε1μ1

Из закона преломления следует, что если n2 > n1,

то θt < θi, а если

n2 < n1, то

θt > θi.

Во втором случае может наблюдаться так называемое полное

внутреннее отражение,

при котором преломленный луч движется

вдоль границы раздела θt = π/2.

Соответствующий этому случаю

угол θi = θ

называется предельным углом полного внутреннего

отражения,

причем

n2

(1.15)

sin θпр

=

.

n

При θi > θпр уравнение (1.14) не имеет решения в области дей-

1

ствительных значений углов θt. Перейдем к нахождению амплитуд

колебаний волн.

Рассмотрим некоторую плоскость I, перпендикулярную падаю-

щему лучу, т. е. представляющую собой волновой фронт падающей

волны. Очевидно, что векторы E

(i)

и

H

(i)

падающей волны лежат

~

~

в этой плоскости. Введем в эту плоскость систему координат XOY

таким образом, чтобы ось OX находилась в плоскости падения, а

ось OY была параллельна оси Oy (см.

рис. 2). Пусть падающая вол-

на линейно-поляризована и вектор

E

(i)

составляет азимутальный

угол αi с осью OX. Вектор H

~

и

перпендикулярен вектору E

(i)

выражается через вектор

E

~ (i)

~

следующим образом [1, 2]:

~

(i)

H~~(i()i)= p

S~(i) × E~ (i).

(1.16)

ε1/μ1

(i)

Разложим вектор E

на две составляющие: Ek

, находящуюся

в плоскости падения, и E(i), ортогональную ей (см. рис. 2):

E(i) = E(i) cos αi;

E(i) = E(i) sin αi;

(1.17)

k

8

аналогично поступим и с вектором H

:

ˉ (i)

H

(i) = H(i) sin αi;

H(i)

= H(i) cos αi.

(1.18)

k

Обозначим на чертеже также параллельные и перпендикуляр-

ные компоненты векторов отраженной и прошедшей волн

(E(r),

E(r),

E(t),

E(t)

). Найдем амплитуды отраженной и прошедшей

волн, используя граничные условия для векторов E

k

и H. Эти усло-

k

~

~

вия в проекциях на оси ox и oy выглядят так:

Ex(i) + Ex(r) = Ex(t);

Ey(i) + Ey(r) = Ey(t);

(1.19)

Hx(i) + Hx(r) = Hx(t);

Hy(i) + Hy(r) = Hy(t).

Для того чтобы решить систему уравнений (1.19), воспользу-

емся соотношением (1.16), которое для всех рассматриваемых волн

можно записать в общем виде

H~ (j) = q

S~(j) × E~ (j),

(1.20)

где j = i, r, t.

εj/μj

В выражении (1.20) εi

= εr

= ε1

, μi

= μr

= μ1, εt

= ε2,

μt = μ2

, S

(j)

—

единичные векторы волн,

определяемые соотно-

шением

~

(1.13),

~

(j)

{sin θj

, 0, cos θj} ,

(1.21)

причем

S

sin θr = sin θi;

cos θr

= − cos θi.

(1.22)

Амплитуды E

принимают конкретные значения: при j = i E

(i)

=

= Ae

~

(j)

= Re

;

при j = t

E

= T e

.

~

; при j = r E

~

iτi

~ (r)

~

iτr

~ (t)

~

iτt

Запишем проекции векторов всех волн через перпендикулярные

и параллельные составляющие (см.

рис. 2 ):

Ex(j) = Ek(j) cos θj;

Ey(j) = E(j);

Ez(j) = −Ek(j) sin θj.

(1.23)

9

Из (1.20) для векторов

~

H всех волн найдем

~

~

~

.

i

j

k

H~ (j) =

r

εj

sin θi

0

cos θj

(1.24)

μj

E(j) cos θj

E(j)

E(j) sin θj

||

− ||

компоненты векторов

~

~

в (1.19). С

Подставим теперь

E и

H

учетом соотношений (1.20)—(1.24)

и условия на границе раздела

τi = τr = τt

получим окончательно

Ak cos θi − Rk cos θi

= Tk cos θt;

A + R = T ;

(1.25)

A

√

cos θi

−

R

√

cos θi =

T

√

cos θt;

ε1

ε1

ε2

−

−

√ε1A + √ε1R = √ε2T .

k

k

k

(1.25)

μ

= μ

= 1

Система

уравнений