3. Экспериментальная часть

Рассмотрим двумерную задачу (). Параллелепипедв этом случае представляет собой прямоугольник. Положим, что,, так что областьявляется единичным квадратом (рис. 3).

Множество формируется с помощью одной ограничивающей функции, т.е.. Примем, что эта функция линейна и проходит через заданную преподавателем точку плоскостис координатами(рис. 3). Таким образом, уравнение этой функции имеет вид,(при этом, очевидно,).

Рис. 3. Расчетная область задачи

В качестве сетки используем равномерную детерминированную сетку с числом узлов по осям,равным 256, т.е. сетку с количеством узлов.

Будем исходить из следующих значений параметров задачи и МВС:

• ;

• l=8;

• ;

• ;

• ;

• .

Отметим, что указанная зависимость соответствует коммуникационной сети с топологией типа квадратная «решетка».

Пренебрежем вычислительными затратами на построение сетки , на вычисление значений ограничивающей функции, а также на построение приближенного значения функционала, т.е. положим,,. Примем также, что вычислительная сложностьвектор-функцииодинакова во всей области.

3.1. Статическая балансировка загрузки методом равномерной декомпозиции параллелепипеда П. В сделанных предположениях при использовании балансировки загрузки методом равномерной декомпозиции параллелепипедаПвремя решения задачи на процессореможно оценить величиной

, (6)

время параллельного решения всей задачи - величиной

, (7)

а время решения задачи на одном процессоре - величиной

. (8)

Таким образом, схема алгоритма для аналитической оценки эффективности рассматриваемого метода балансировки загрузки имеет следующий вид:

• в квадрате строим равномерную по каждому из измерений сетку;

• прямыми, параллельными одной из осей координат, разбиваем квадратнаодинаковых подобластей,;

• для всех подобластей ,находим количества узлов;

• по формуле (6) вычисляем значение величины ;

• по формуле (7) находим величину ;

• по формуле (8) определяем значение величины ;

• по формуле находим оценку ускорения.

Поясним способ определения чисел узлов . Рассмотрим узелсетки. Положим, что квадратразбит на подобласти,прямыми, параллельными оси, так что границы этой подобласти по осиесть точки. Тогда признаком принадлежности узлаподобластиявляется выполнение условия(в последнем неравенстве приследует использовать знак). Аналогично, признаком принадлежности узлапересечению подобластии множестваявляется выполнение условия(в дополнение к приведенному выше условию). Таким образом, для определения количеств узловследует последовательно рассмотреть все узлы сеткии для каждого из них выполнить указанные выше проверки. После определения всех величинопределить величину.

Отметим, что при фиксированной величине увеличение параметрарано или поздно приведет к уменьшению площади множестваи, как результат, к снижению эффективности балансировки методом равномерной декомпозиции параллелепипедаП.

Оценим асимптотическое ускорение метода при (рис. 4).

Рис. 4. К оценке асимптотического ускорения:

Легко видеть, что в данном случае

,

откуда следует, что

.

Величина и в данном случае определяется выражением (8).

Таким образом, асимптотическое ускорение метода равно

. (9)

Положим, что количество узлов сеткикратно количеству процессоров МВС, так что,. Тогда количество узловпропорционально части площади квадрата, принадлежащей множеству, т.е. площадитрапеции. Аналогично, количество узловпропорционально части площади прямоугольника, лежащей выше прямой, т.е. площадитрапеции.

Поскольку и,

.

Аналогично имеем ,,

.

Таким образом,

,.

Здесь учтено, что .

Окончательно, из формулы (9) имеем

.

3.2. Статическая балансировка загрузки методом равномерной декомпозиции расчетных узлов. Для данного метода балансировки загрузки время решения задачи на процессореможно оценить величиной

, (10)

время параллельного решения всей задачи – величиной

, (11)

а время решения задачи на одном процессоре – величиной (8).

Таким образом, схема алгоритма для аналитической оценки эффективности балансировки загрузки методом равномерной декомпозиции расчетных узлов имеет следующий вид:

• в квадрате строим равномерную по каждому из измерений сетку;

• находим количества узлов ;

• по формуле (10) вычисляем значение величины ;

• по формуле (11) находим величину;

• по формуле (8) определяем значение величины ;

• по формуле находим оценку ускорения.

Поясним способ определения количеств узлов . Узелсеткипринадлежит множеству, если выполняется неравенство. Таким образом, для определения количеств узловследует последовательно рассмотреть все узлы сеткии для каждого из них выполнить указанную выше проверку. После этого, как указывалось выше, количество узловопределяется по формуле.

Очевидно, что и в данном случае при фиксированной величине увеличение параметрарано или поздно приведет к уменьшению площади множества. Однако на эффективность статической балансировки загрузки методом равномерной декомпозиции расчетных узлов это обстоятельство должно сказаться незначительно.