Теория графов – от истоков к современности (80
..pdfсинтез графов с указанными характеристиками, классификация графов по свойствам);
2.Исследования геометрического (топологического) характера (например, обходы, укладки, разбиения графов, восстановление графа по его подграфам, вложения графов в различные поверхности);
3.Исследования алгебраического характера (например, изоморфизм, гомеоморфизм, гомоморфизм, автоморфизм графов);
4.Оптимизационные исследования (например, решение задач о «назначениях», «транспортных задач» о перевозках);
5.Исследования алгоритмического характера (например, решение экстремальных задач о построении максимального потока через сеть и нахождении минимального разреза, эффективные алгоритмы, находящие точное или приближенное решение);
6.Исследования прикладного характера (например, решение задач, связанных с электрическими сетями).
Теория графов включает большое число разнообразных задач, причем одни из них относятся к определенным типам, а другие являются изолированными.
Так, к типовым задачам теории графов относятся следующие:
Задача о кратчайшей цепи и ее приложения:
-поиск маршрутов минимальной длины в коммуникационных сетях [1, с.
25];
-замена оборудования [1, с. 26];
-составление расписания движения транспортных средств [1, с. 26];
-размещение пунктов скорой помощи [1, с. 26];
-размещение телефонных станций [1, с. 27];
Задача о максимальном потоке и ее приложения:
-анализ пропускной способности коммуникационной сети [1, с. 27];
-организация движения в динамической сети [1, с. 28];
-оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ [1, с. 28];
11
- синтез двухполюсной сети с заданной структурной надежностью [1, с.
29];
-задача о распределении работ [1, с. 30];
Задачи об упаковках и покрытиях и их приложения:
-оптимизация структуры в ПЗУ (постоянных запоминающих устройствах)
[1, с. 32]; - размещение диспетчерских пунктов городской транспортной сети [1, с.
32];
-выбор проекта (поиск максимального независимого множества вершин) [5, с. 386];
-размещение центров обслуживания (поиск доминирующего множества вершин) [5, с. 386];
-выбор маршрутов самолетов, поездов (задача о наименьшем покрытии) [5, с. 386];
-выбор оптимального состава переводчиков (задача о наименьшем покрытии) [5, с. 386];
-задача о назначении (поиск наибольшего паросочетания в двудольном графе) [5, с. 404];
-подбор партнеров для совместной работы (поиск максимального паросочетания) [1, с. 33];
-маршрутизация в транспортных сетях (задача покрытия орграфа системой пересекающихся подграфов) [1, с. 33];
-организация вычислений в многопроцессорных системах (задача покрытия в гиперграфе) [1, с. 33];
-оптимизация структур баз данных (поиск доминирующего множества вершин) [1, с. 33];
Раскраска в графах:
-составление расписаний [1, с. 33];
-проектирование технических систем [1, с. 33];
-размещение объектов и распределение ресурсов [1, с. 33];
12
-классификации объектов [1, с. 33];
-распределение памяти в ЭВМ [1, с. 33];
-проектирование сетей телевизионного вещания [1, с. 34];
Связность графов и сетей:
-проектирование кратчайшей коммуникационной сети [1, с. 34];
-синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи, которая представляет собой ориентированный групповой канал, подключенный к источнику информации и ее потребителям (сеть радиовещания, телевизионная сеть, сигнальная сеть и т. п.) [1, с. 35];
-анализ надежности стохастических сетей связи [1, с. 36];
Изоморфизм графов и сетей:
-структурный синтез линейных избирательных цепей, который включает две основные проблемы: функциональный синтез (аппроксимация) и реализацию, предполагающую последующую оптимизацию [1, с. 36];
-автоматизация контроля при проектировании БИС (больших интегральных схем) [1, с. 37];
Изоморфное вхождение и пересечение графов:
-локализация неисправности с помощью алгоритмов поиска МИПГ (максимального изоморфного пересечения графов) [1, с. 40];
-покрытие схемы заданным набором типовых подсхем [1, с. 41];
Автоморфизм графов:
-конструктивное перечисление структурных изомеров для производных органических соединений [1, с. 42];
-синтез тестов цифровых устройств [1, с. 43].
Таким образом, теория графов, берущая свое начало от математических головоломок и развлечений, благодаря развитию математики и ее приложений, переросла в самостоятельный раздел математики. Сегодня существуют разделы математики, к примеру, дискретная математика, кибернетика, теория математических отношений, в которых теория графов является естественным аппаратом [8, с. 9]. Теория графов также применяется при решении различных
13
многочисленных практических проблем - при установлении разного рода соответствий, при решении транспортных задач, задач о потоках в сети нефтепроводов и т. д. В терминах теории графов определяется большинство вопросов, связанных с дискретными объектами, таких как проектирование интегральных схем, схем управления, электрических цепей, блок-схем программ. В настоящее время графы применяются практически во всех научных областях - биологии, истории, лингвистике, математике, программировании, социальных науках, статистике, технике, физике, химии, экономике и пр. Наибольшей популярностью теория графов пользуется при исследовании коммуникационных сетей, химических и генетических структур,
электрических цепей и других систем сетевой структуры [1, с. 25]. Однако математические игры и головоломки до сих пор образуют особый класс среди задач теории графов, в частности, это проблема четырех красок, интерес математиков к которой не ослабевает.
Литература:
1.Алгоритмы и программы решения задач на графах и сетях // Нечепуренко М.И., Попков В.К., Майнагашев С.М. и др. Новосибирск: Наука. Сиб.
отд-ние. 1990. 515 с.
2.Андерсон Джеймс А. Дискретная математика и комбинаторика: пер. с
англ. М.: Вильямс. 2004. 960 с.: ил.
3.Введение в дискретную математику (элементы комбинаторики, теории графов и теории кодирования): учеб. пособие // Мальцев Ю.Н., Петров Е.П. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та. 1997. 135 с.
4.Ерош И.Л., Сергеев М.Б., Соловьев И.В. Дискретная математика: учеб.
пособие / СПбГУАП. СПб. 2005. 144 с: ил.
5.Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир. 1978. 432 с.
6.Макоха А.Н., Сахнюк П.А., Червяков Н.И. Дискретная математика: учеб. пособие. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2005. 368 с.
14
7.Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. М.: Наука. 1988. 160 с.
8.Оре О. Графы и их применение / Пер. с англ. Л.И. Головиной; под редакцией И.М. Яглома. М.: Мир. 1965. 174 с.
9.Харари Фрэнк. Теория графов. М.: УРСС. 2003. 300 с.
Сведения об авторе:
1.ФИО: Дридгер Клавдия Александровна.
2.Ученая степень: кандидат педагогических наук.
3.Ученое звание: ─
4.Место работы: ФГБОУ ВПО «Оренбургский государственный педагогический университет» 460021 г. Оренбург, пр. Гагарина, 1 (раб.), 8(3532)332789 (раб.)
5.Старший преподаватель кафедры алгебры и истории математики ОГПУ.
6.E-mail: kldrid@mail.ru.
7.Тел. 89228462135.
8.Домашний адрес: 460021 г. Оренбург, пр. Гагарина, д. 17, кв. 12.
Information about the author:
1.Dridger Klavdiya Aleksandrovna.
2.Candidate of pedagogics.
3.─
4.The Orenburg State Pedagogical University 460021 Gagarin avenue, 1 Orenburg, Russia. Tel. 8 (3532) 332789.
5.Senior lecturer of the chair of algebra and the history of mathematics.
6.E-mail: kldrid@mail.ru.
7.Tel. 89228462135.
8.460021 Gagarin avenue, 17 – 12 Orenburg, Russia.
15