Стабилизация динамических систем с использованием свойства пассивности (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.Е. Голубев

СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВА ПАССИВНОСТИ

Конспект лекций

Под редакцией А.П. Крищенко

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 51(075.8) ББК 22.1

Г62

Рецензенты: А.А. Панкратов, А.С. Фурсов

Голубев А.Е.

Г62 Стабилизация динамических систем с использованием свойства пассивности : конспект лекций / А.Е. Голубев ; под ред. А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 45, [3] с. : ил.

Представлены результаты применения математической теории управления, связанные с методами стабилизации пассивных динамических систем. Подробно изложены основные теоретические сведения, рассмотрены примеры. Материал учебного пособия соответствует программе курса «Прикладные задачи теории управления».

Для студентов 6-го курса факультета «Фундаментальные науки», обучающихся по специальности «Прикладная математика».

УДК 51(075.8) ББК 22.1

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1.Основные обозначения

Пусть область D Rn содержит точку 0. Непрерывную функцию V (x), V : D → R, удовлетворяющую условиям V (0) = 0, V (x) > 0 при всех x D \ {0}, называют положительно определенной (в D) и пишут V (x) > 0. Если же V (0) = 0 и V (x) ≥ 0 при всех x D \ {0}, то V (x) называют положительно полуопределенной или неотрицательно определенной (в D) и пишут V (x) ≥ 0. Функцию V (x) называют отрицательно определенной (в D) и пишут V (x) < 0 (отрицательно полуопределенной или неположительно определенной (в D) и пишут V (x) ≤ 0), если функция — V (x) положительно определенная (в D) (соответственно положительно полуопределенная (в D)).

Далее в качестве нормы в Rn будем использовать евклидову норму

x = x21 + ··· + x2n, x = (x1,...,xn)т Rn.

1.2. Постановка задачи стабилизации динамической системы

Рассмотрим нелинейную динамическую систему с управлением, имеющую вид

где x Rn — вектор состояния системы; u Rm — управление; отображение f : Rn × Rm → Rn локально липшицево, f(0,0) = 0.

Задачей стабилизации динамической системы (1.1) называют задачу нахождения такой локально липшицевой функции k(x), k(0) = 0, определенной в окрестности точки x = 0, что при

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

u = k(x) положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1) асимптотически устойчиво. В дальнейшем будем говорить, что найденное управление u = k(x) стабилизирует положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1). В случае, если при u = k(x) положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1) асимптотически устойчиво в целом, то будем говорить, что управление u = k(x) глобально стабилизирует положение равновесия x = 0 замкнутой системы (1.1).

1.3. Теоремы Барбашина — Красовского

Рассмотрим нелинейную динамическую систему

где x D Rn — вектор состояния системы, область D содержит точку 0, отображение F : D → Rn локально липшицево в D.

Теорема 1.1 (первая теорема Барбашина — Красовского).

Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2), определенной в Rn, и существует непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая при x → ∞

функция V (x), производная по времени V˙ (x) = ∂V∂x(x)F(x) ко-

торой в силу системы (1.2) отрицательно определена в Rn. Тогда положение равновесия x = 0 системы (1.2) асимптотически устойчиво в целом.

Теорема 1.2 (вторая теорема Барбашина — Красовского).

Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2), определенной в области D Rn, и существует такая непрерывно дифференцируемая положительно определенная функция V : D → R, что V˙ (x) = ∂V∂x(x)F(x) ≤ 0 в D, а множество S = {x D : V˙ (x) = 0} не содержит целых траекторий системы (1.2), за исключением x(t) ≡ 0. Тогда положение равновесия x = 0 системы (1.2) асимптотически устойчиво.

Теорема 1.3 (третья теорема Барбашина — Красовского).

Пусть x = 0 является положением равновесия системы (1.2), определенной в Rn, и существует такая непрерывно дифференцируемая, положительно определенная и бесконечно большая при

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

x → ∞ функция V (x), что V˙ (x) = ∂V (x)

∂x

множество S = {x Rn : V˙ (x) = 0} не содержит целых траекторий системы (1.2), за исключением x(t) ≡ 0. Тогда положение равновесия x = 0 системы (1.2) асимптотически устойчиво в целом.

1.4. Классы функций сравнения

Непрерывную функцию α : [0,a) → R+, R+ = [0,+∞), 0 < < a ≤ +∞, называют функцией класса K, если данная функция строго возрастающая и α(0) = 0.

Функцию α(·) класса K называют функцией класса K∞, если a = +∞ и α(s) → +∞ при s → +∞.

Непрерывную функцию β : [0,a) × R+ → R+ называют функцией класса KL, если при любом фиксированном t функция β(s,t) является функцией класса K по отношению к переменной s, а при

любом фиксированном s имеем β(s,t) → 0 при t → +∞.

Лемма 1.1 (лемма об оценке положительно определенной функции). Пусть функция V (x) непрерывна в области D Rn,

содержащей точку 0, и положительно определена. Тогда для любой замкнутой ε-окрестности Bε = {x D : x ≤ ε} точки x = 0 существуют функции α1(·), α2(·) класса K, определенные на интервале [0, ε], такие, что при всех x Bε выполнено неравенство

α1( x ) ≤ V (x) ≤ α2( x ).

При D = Rn функции α1(s) и α2(s) можно выбрать определенными при s R+. Если дополнительно функция V (x) бесконечно большая при x → ∞, то функции α1(·) и α2(·) можно выбрать в классе K∞.

2.ПАССИВНЫЕ СИСТЕМЫ

2.1.Определения пассивности. Примеры пассивных систем

Рассмотрим нелинейную статическую систему

5

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где u Rm — вход системы; y Rm — выход системы; отображение h : [0,+∞) × Rm → Rm непрерывно.

Определение 2.1. Cистему (2.1) называют пассивной, если при всех t [0,+∞) и u Rm справедливо неравенство

yтu ≥ 0.

В частности, если при всех t [0,+∞) и u Rm имеет место

равенство

yтu = 0,

то систему (2.1) называют системой без потерь энергии.

Пример 2.1. Рассмотрим резистор с линейной вольт-ампер- ной характеристикой U = IR, где U — напряжение на резисторе, I — сила тока через резистор; R > 0 — сопротивление резистора. Возьмем в качестве входа и выхода системы u = U и y = I соответственно. Тогда имеем

где yu = IU = U2/R > 0. Следовательно, система (2.2) пассивна. Произведение yu представляет собой энергию, поступающую

всистему (2.2) в единицу времени и выделяемую в виде теплоты

врезисторе.

Замечание 2.1. Далее вне зависимости от физической природы системы (2.1) будем рассматривать произведение yтu как энергию, поступающую в систему в единицу времени.

Рассмотрим нелинейную динамическую систему, имеющую

вид

x˙ = f(x,u), y = h(x),

где x Rn — вектор состояния системы; u Rm — вход системы; y Rm — выход системы; отображение f : Rn × Rm → Rn локально липшицево; отображение h : Rn → Rm непрерывно, f(0,0) = 0, h(0) = 0.

Определение 2.2. Динамическую систему (2.3) называют пассивной, если существует такая непрерывно дифференцируемая неотрицательно определенная функция V (x), называемая функци-

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ей запаса, что при всех x Rn и u Rm справедливо неравенство

В частности, если при всех x Rn и u Rm имеет место равен-

ство

V˙ = ∂V∂x(x)f(x,u) = yтu,

то систему (2.3) называют системой без потерь энергии.

Пример 2.2. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных линейных резистора, индуктивного элемента и конденсатора. Соответствующая цепи система дифференциальных уравнений выглядит следующим образом:

Cx˙1 = x2,

Lx˙2 = u − x1 − Rx2, y = x2,

где x1 — напряжение на конденсаторе; C > 0 — емкость конденсатора; x2 — сила тока через индуктивный элемент; L > 0 — индуктивность; R > 0 — сопротивление резистора; u — напряжение на входе цепи; y — силa тока на входе цепи.

В качестве кандидатуры на роль функции запаса для системы

которая накапливается в электрическом и магнитном полях, создаваемых соответственно конденсатором и индуктивным элементом. Производная по времени функции V (x1,x2) в силу системы (2.5) имеет вид

V˙ = Cx1x˙1 + Lx2x˙2 = x1x2 + x2(u − x1 − Rx2) =

= x2u − Rx22 = yu − Ry2 ≤ yu. (2.7)

Следовательно, система (2.5) пассивна.

Eсли R = 0, то соотношение (2.7) примет вид

V˙ = yu.

Таким образом, при R = 0 система (2.5) является системой без потерь энергии.

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Произведение yu представляет собой энергию, поступающую в систему (2.5) в единицу времени. Часть поступающей энергии накапливается в магнитном и электрическом полях, создаваемых соответственно индуктивным элементом и конденсатором. Остав-

шаяся часть выделяется в виде теплоты в резисторе.

Замечание 2.2. Проинтегрировав левую и правую части неравенства (2.4) по промежутку [0,t], при всех x0 Rn и t [0,T), 0 < T ≤ +∞, получим

t

V (x(t)) − V (x0) ≤ yт(s)u(s)ds,

0

где u(t) — произвольная непрерывная и ограниченная на [0,T) функция на входе системы; T — точная верхняя грань моментов времени, для которых существует решение x(t) системы (2.3) для заданных x(0) = x0 и u = u(t). Далее вне зависимости от физической природы системы (2.3) будем рассматривать произведение yтu как энергию, поступающую в систему в единицу времени, а функцию запаса V (x(t)) — как энергию, накопленную в системе к моменту времени t.

Пример 2.3. Рассмотрим уравнения Эйлера вращения твердого тела вокруг центра масс:

где w1, w2, w3 — угловые скорости вращения тела вокруг главных осей инерции; u1, u2, u3 — управляющие моменты, действующие вокруг главных осей инерции; I1, I2, I3 — моменты инерции тела относительно главных осей инерции.

В качестве кандидатуры на роль функции запаса для системы (2.8) возьмем кинетическую энергию системы

Производная по времени функции K(w1,w2,w3) в силу системы (2.8) имеет вид

K˙ = I1w1w˙1 + I2w2w˙2 + I3w3w˙3 =

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

=(I2 − I3)w1w2w3 + w1u1 + (I3 − I1)w1w2w3 + w2u2+

+(I1 − I2)w1w2w3 + w3u3 = w1u1 + w2u2 + w3u3 = yтu,

где y = (w1,w2,w3)т, u = (u1,u2,u3)т. Следовательно, система (2.8) с выходом y = (w1,w2,w3)т является системой без потерь энергии.

Пример 2.4. Покажем пассивность уравнений Эйлера — Лагранжа

Покажем, что выражение, стоящее в (2.12) в квадратных скобках, представляет собой полную энергию E(q,q˙) = K(q,q˙)+P(q) системы (2.10). Действительно,

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

=q˙тM(q)q˙ − 12q˙тM(q)q˙ + P(q) = K(q,q˙) + P(q) =

=E(q,q˙). (2.13)

Сучетом соотношений (2.12), (2.13) и ∂Φ∂q(˙q˙)q˙ ≥ 0, q˙ Rn, полу-

чим

E˙ = uтNтq˙ − ∂Φ∂q(˙q˙)q˙ ≤ uтNтq˙ = uтy = yтu,

где y = Nтq˙. Заметим, что K(q,q˙) = 12q˙тM(q)q˙ > 0 при всех

q Rn и q˙ Rn, q˙ =, 0а функция P(q) неотрицательно определена. Тогда полная энергия E(q,q˙) = K(q,q˙) + P(q) системы является неотрицательно определенной функцией. Следовательно, система (2.10) с выходом y = Nтq˙ пассивна.

Пример 2.5. Рассмотрим систему (2.3), имеющую вид

x˙ = u,

(2.14)

y = h(x),

где x R, а функция h(·) пассивна, что по определению означает выполнение неравенства h(s)s ≥ 0 при всех s R.

В качестве кандидатуры на роль функции запаса для системы

Производная по времени функции V (x) в силу системы (2.14) име-

ет вид

V˙ = h(x)x˙ = h(x)u = yu.

Следовательно, система (2.14) является системой без потерь энергии.

Пример 2.6. Рассмотрим систему (2.3), имеющую вид

x˙ = −x + u,

(2.16)

y = h(x),

где x R, функция h(·) пассивна.

В качестве кандидатуры на роль функции запаса для системы (2.16) возьмем функцию V (x) ≥ 0, имеющую вид (2.15). Тогда

10