Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

287.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Здесь x, y - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

3.2 Типы линейных уравнений в частных производных второго по-

рядка

Определение. Квазилинейным уравнением в частными производными

второго порядка для функций двух переменных будем называть уравнение

Auxx 2Buxy Cuyy f x, y,u,ux,uy 0.

(3)

Здесь A, B и C - непрерывные функции двух переменных x и y.

Определение. Решением уравнения (3) будем называть дважды непре-

рывно дифференцируемую функцию u u x, y , которая при подстановке в уравнение (3) обращает его в верное тождество.

Таблица 10 – Типы квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка

Тип	B2 AC	Канонический вид	Физические за-
Тип	B2 AC	Канонический вид	дачи
		u f , ,u,u ,u 0,	дачи
гиперболиче-	0	u f , ,u,u ,u 0,	Волновые про-
ский	0	u u f , ,u,u ,u 0	цессы
ский		u u f , ,u,u ,u 0	цессы

параболиче-		u f , ,u,u ,u 0	Распростране-
ский	0	u f , ,u,u ,u 0	ние тепла, диф-
			фузия

эллиптиче-	0	u u f , ,u,u ,u 0	Стационарные
ский	0	u u f , ,u,u ,u 0	явления
ский			явления

Таблица 11 – Приведение квазилинейных уравнений в частных произ-

водных второго порядка к каноническому виду

dy 2

Уравнение характеристик A

C 0

Общие

интегралы

Замена переменных

Тип

B2 AC

уравнения

характе-

ристик

гиперболический

x, y C,

x, y ,

x, y C

x, y

параболический

x, y C

x, y ,

x или y

эллиптический

x, y i x, y C

x, y ,

x, y

Таблица 12 – Виды задач для различных типов уравнений в частных

производных

Задача

Тип

Задача Коши

уравнение в частных произ-

гиперболический,

пара-

водных + начальные условия

болический

Граничная задача

уравнение в частных произ-

эллиптический

водных + граничные условия

Смешанная задача

уравнение в частных произ-

гиперболический,

пара-

водных + начальные условия

болический

+ граничные условия

3.3 Задачи для гиперболических и параболических уравнений

1. Задача Коши для однородного одномерного гиперболического урав-

нения в частных производных имеет вид:

УЧП: u a2u		xx	( x , t 0);
	tt	xx
НУ: u	t 0 x , ut			t 0 x ( x ).


					x at x at	1	x at
Она имеет решение u x,t					x at x at	1	d .
Она имеет решение u x,t						2a	d .
			2			2a	x at
							x at

2. Задача Коши для однородного одномерного параболического урав-

нения в частных производных имеет вид:

УЧП: ut a2uxx ( x , t 0); НУ: ut 0 x ( x ).

		1			x 2

Она имеет решение u x,t				e	4a	2t d .

	2a		t
	2a		t

3. Смешанная задача для однородного одномерного гиперболического уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий име-

ет вид:

УЧП: utt a2uxx (0 x L, t 0);

НУ: u

t 0 x , ut

t 0 x (0 x L);

ГУ: u

x 0 0, u

x L 0 (t 0).

Ее

решение

u x,t An cos

t Bn sin

t sin

где

n 1

x sin

xdx, Bn

x sin

xdx.

4. Смешанная задача для однородного одномерного параболического

уравнения в частных производных и неоднородных начальных условий име-

ет вид:

УЧП: ut a2uxx (0 x L, t 0);

НУ: ut 0 x (0 x L); ГУ: u x 0 0, u x L 0 (t 0).

	an	2
		t	n

Ее решение u x,t Ane	L	sin		x, где

n 1			L

	2	L	n
An		x sin		xdx.
An	L	x sin	L	xdx.
		0

5. Смешанная задача для неоднородного одномерного гиперболическо-

го уравнения в частных производных и однородных начальных условий име-

ет вид:

УЧП: utt a2uxx f x,t (0 x L, t 0);

НУ: ut 0 0, ut t 0 0 (0 x L); ГУ: u x 0 0, u x L 0 (t 0).

					n
Ее решение u x,t Cn t sin					n	x, где
Ее решение u x,t Cn t sin						x, где
		n 1			L
	1	t	an					2	L	n
Cn t		fn sin		t d ,			fn t		f x,t sin		xdx.
Cn t	an	fn sin	L	t d ,			fn t	L	f x,t sin	L	xdx.
		0							0

6. Смешанная задача для неоднородного одномерного параболического уравнения в частных производных и однородных начальных условий имеет вид:

УЧП: u

a2u

f x,t

(0 x L, t 0);

НУ: u

t 0 0 (0 x L);

ГУ: u

x 0 0, u

x L 0 (t 0).

Ее решение u x,t Cn t sin

x, где

n 1

	an	2
t		t

Cn t fn e	L	d
0

, fn	t	2	L	f x,t sin	n	xdx.
		L
					L
			0

3.4 Некоторые задачи Дирихле для уравнения Лапласа

1. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге имеет вид:

1 1

УЧП: u u 2 u 0 (0 R);

ГУ: u R f .

Ее решение u ,				A						n			An cosn Bn sinn , где
				0
				2
				2			n 1			R
	1	2						1	2								1	2
A0	1	f d ,		An				1	f cosn d ,							Bn	1	f sinn d .
A0		f d ,		An					f cosn d ,							Bn		f sinn d .
		0							0									0
Решение также можно записать в виде интеграла Пуассона
			1			2								R2 2
		u ,	1					f						R2 2					d .
		u ,						f			2			2					d .
				2	0							R
					0							R			2R	cos

2. Задача Дирихле для уравнения Лапласа во внешности круга имеет

вид:

1 1

УЧП: u u 2 u 0 ( R);

ГУ: u R f .

							A					n
Ее решение u ,							0					An cosn Bn sinn , где
Ее решение u ,						2						An cosn Bn sinn , где
						2		n 1			R
	1	2							1	2			1	2
A0	1		f d ,				An		1	f cosn d , Bn			1	f sinn d .
A0			f d ,				An			f cosn d , Bn				f sinn d .
		0								0				0
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в кольце имеет вид:
УЧП: u			1	u	1	u		0		(r R);
УЧП: u				u	2	u		0		(r R);
					2

ГУ: u r f , u R f .

Ее решение

u , A0 B0 ln An n Bn n cosn Cn n Dn n sinn , n 1

где коэффициенты A0, B0, An , Bn , Cn и Dn находятся из систем:


		1			2							1		2
A0 B0 lnr		1					f d ,			Anrn	Bnr n	1			f cosn d ,
A0 B0 lnr		2					f d ,			Anrn	Bnr n				f cosn d ,
		2					0								0
		1					2 F d ;						1			2 F cosn d ;
A B lnR		1								A Rn	B R n		1
A B lnR										A Rn	B R n
0	0		2							n	n
			2				0								0
				1				2
Cnrn Dnr n				1				f sinn d ,
Cnrn Dnr n								f sinn d ,
							0
						1			2
CnRn	DnR n					1			F sinn d .
CnRn	DnR n								F sinn d .

							0

Список использованных источников

1 Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Крас-

нов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. М.: КомКнига, 2005. 256 с.

2 Самарский, А.А. Разностные уравнения / А.А. Самарский, Ю.М. Ка-

рамзин. М.: Знание, 1978. - 62 с.

3 Боголюбов, А. Н. Задачи по математической физике: учеб. пособие /

А. Н. Боголюбов. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]