Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Справочные материалы по теории дифференциальных и разностных уравнений (90

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

287.34 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Таблица 6 - Общее решение линейного неоднородного обыкновенного

дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициен-

тами и специальной правой частью

Линейное неоднородное ОДУ
второго порядка с постоянны-		y py qy f x
ми коэффициентами и специ-		y py qy f x
ми коэффициентами и специ-
альной правой частью

Характеристическое уравнение			2 p q 0

f x	Корни характери-				Вид частного решения
f x	стического уравне-
	ния

	0 не	является кор-		~	x Amx	m	Am 1x	m 1
	нем	характеристи-		Pm	x Amx		Am 1x
	нем	характеристи-		... A1x A0
Pm x	ческого уравнения			... A1x A0

	0 является корнем
	характеристическо-					~
	го уравнения пер-					xPm x
	го уравнения пер-
	вой кратности

	a не является кор-
	нем	характеристи-				Aeax
	ческого уравнения
ceax
ceax	a является корнем
	характеристическо-					Axseax
	го уравнения крат-					Axseax
	го уравнения крат-
	ности s.

Продолжение таблицы 6

		i не являют-
		ся корнями ха-				Acos x Bsin x
		рактеристическо-				Acos x Bsin x
		рактеристическо-
	acos x, bsin x,	го уравнения
	acos x, bsin x,
	acos x bsin x	i	являются
	acos x bsin x	корнями характе-
		корнями характе-
		ристического				x(Acos x Bsin x)
		уравнения первой
		кратности

		i	не явля-	x		~	~
		ются	корнями	x		~	~
		ются	корнями	e	Ps x cos x Qs x sin x ,
		характеристиче-				где s max m,n
		ского уравнения
e x P x cos x Q x sin x
e x P x cos x Q x sin x		i	являются
n	m
		корнями характе-		x		~	~
		ристического		xe		Ps	x cos x Qs x sin x ,
		ристического				где s max m,n
		уравнения первой				где s max m,n
		уравнения первой
		кратности

Таблица 7 – Метод Лагранжа (метод вариации произвольных по-

стоянных) решения линейного неоднородного обыкновенного дифференци-

ального уравнения второго порядка c постоянными коэффициентами

ОДУ			y py qy		f x

Общее решение однородного ОДУ			y C1y1 x C2y2 x
y py qy 0			y C1y1 x C2y2 x
y py qy 0

Общее решение неоднородного ОДУ		y C1 x y1 x C2 x y2 x

Система для нахождения C1 x ,	C x y x C			x y	2	x 0,
C2 x		1	1	2	2
C2 x	C1 x y1 x C2 x y2 x f x

1.5 Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравне-

ний первого порядка с постоянными коэффициентами

1.5.1 Метод исключения

Для случая двух уравнений с двумя неизвестными функциями такие системы имеют вид:

y		a	y a y		2	f x ,	(1)
	1	11	1	12		1
y2 a21y1 a22y2 f2(x).

Для решения системы методом исключения требуется выразить из первого уравнения y2 и подставить результат во второе уравнение или выра-

зить из второго уравнения y1 и подставить результат в первое уравнение и найти общее решение полученного линейного ОДУ второго порядка с посто-

янными коэффициентами.

1.5.2 Решение однородных систем обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с по-

мощью нахождения собственных значений и собственных векторов мат-

рицы системы

Пусть дана система

y1 a11y1 a12y2,y2 a21y1 a22y2.

			a		a
Найдем собственные значения матрицы A				11	12	, решив харак-
					a22
			a21		a22
теристическое уравнение	a11	a12	0.
теристическое уравнение	a11	a12	0.
	a21	a22

1. Пусть характеристическое уравнение имеет 1, 2 - два простых действительных корня.

Решив систему A , находим соответствующие собственные век-

тора 1 и 2.

Общее решение данной системы имеет вид y C1e 1x 1 C2e 2x 2. 13

Пусть характеристическое уравнение имеет

один действитель-

ный корень второй кратности.

Будем искать решение данной системы в виде

C x C

e x ,

C x C e x

. Подставив данные решения в одно из уравнений системы,

исключаем две произвольные постоянные.

3. Пусть характеристическое уравнение имеет 1,

2 - два комплекс-

ных сопряженных корня.

Решив систему A

, находим соответствующие собственные век-

тора 1

Получаем

комплексную фундаментальную

систему

решений:

z1 e 1x 1, z2 e 2x 2 .

Образуем действительную фундаментальную систему решений:

y1 z1 z2 , y2 z1 z2 .

2 2i

Общее решение данной системы имеет вид y C1y1 C2 y2.

1.5.3 Нахождение частного решения неоднородной системы обык-

новенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянны-

ми коэффициентами с помощью метода неопределенных коэффициентов

Пусть правые части неоднородной системы (1) представляют собой многочлены Pn x , функции e x , cos x, sin x или их произведения. Тогда частное решение системы (1) можно найти методом неопределенных коэф-

фициентов.

Например, если f1 x sin3x, f2 x e2x , 2 - простой корень ха-

рактеристического уравнения, а 3i - не являются корнями характери-

стического уравнения, то частное решение неоднородной системы будем ис-

кать в виде

	A			B
y	1	x		1	e2x
	A		B
	2			2

C				D
	1	cos3x		1	sin3x.
C	2		D
	2			2

1.6 Элементы теории устойчивости для обыкновенных дифферен-

циальных уравнений и их систем

1. Пусть дано линейное ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициен-

тами
y n an 1y n 1	... a1y a0y f x .
Все решения данного уравнения будут асимптотически устойчивы то-
гда и только тогда, когда уравнение n a		n 1 ... a a			0	0 будет
		n 1		1	0
иметь только корни с отрицательной действительной частью.
В этом случае многочлен n a	n 1 ... a a		0	называется устой-
	n 1	1	0

чивым многочленом.

В случае n 3 целесообразно осуществлять проверку многочленов на устойчивость в среде MathCAD (или в другом математическом пакете).

Достаточно ввести вектор коэффициентов

a0a1

V : ...

an 11

и получить вектор корней многочлена (включая комплексные корни) с по-

мощью функции

polyroots(V)

2. Пусть дана система линейных ОДУ 1-го порядка с постоянными ко-

эффициентами

y1 a11y1 a12y2 ...

a1n yn f1 x ,

a2n yn f2 x ,

y2 a21y1 a22y2 ...

.............................................................

x .

y a

...

n1 1

Все решения данной системы будут асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда матрица

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A	a21	a22	...	a2n
A	... ...		...	...

		an2	...
	an1	an2	...	ann

будет иметь только собственные значения с отрицательной действительной частью.

В случае n 3 целесообразно находить собственные значения матриц в среде MathCAD (или в другом математическом пакете).

Достаточно ввести матрицу коэффициентов системы

	a	a	...	a
	11	12	...	1n
A:	a21	a22	...	a2n
A:	... ...		...	...

		an2	...
	an1	an2	...	ann

и получить вектор собственных значений матрицы (включая комплексные собственные значения) с помощью функции

eigenvals(A)

3. Устойчивость по линейному приближению (линеаризация системы).

Пусть дана система нелинейных ОДУ 1-го порядка с постоянными ко-

эффициентами

f1 y1, y2,...,yn ,

y1, y2,...,yn ,

..................................

или в векторной форме y F y ,

y , y

,...y

для которой выполняется F 0 0.

Построим матрицу


		f				f
			0					0
		1		...		1
		y1				yn
				...
A ...					...					.
	fn 0				fn
				...					0

		y				y	n
		1

Если:

1) действительные части всех собственных значений матрицы A отри-

цательны, то начало координат является асимптотически устойчивым поло-

жением равновесия;

2) хотя бы одно собственное значение матрицы A имеет положитель-

ную действительную часть, то начало координат является неустойчивым по-

ложением равновесия; 3) в остальных случаях исследовать нелинейную систему на устойчи-

вость с помощью линеаризации нельзя.

Замечание. Если fi представляют собой многочлены, то для линеари-

зации системы достаточно удалить все члены, степень которых превосходит

2 Разностные уравнения

2.1 Линейные разностные уравнения второго порядка с постоян-

ными коэффициентами

Определение. Линейным разностным уравнением второго порядка с

постоянными коэффициентами называется уравнение вида

y n 2 py n 1 qy n f n q 0 .

Таблица 8 – Общее решение однородного разностного уравнения вто-

рого порядка с постоянными коэффициентами

Разностное				y n 2 py n 1 qy n 0
уравнение				y n 2 py n 1 qy n 0
уравнение

Характери-
стическое					2 p q 0
уравнение

Корни	Два простых		действи-		Один	действитель-		Два комплексно		сопряжен-
	тельных корня				ный	корень	второй	ных корня
	1, 2				кратности			1,2	i


Общее ре-	y n C n		C n		y C n C n			y n C cosn C sinn
шение	1	1	2	2		1	2	1		2

Таблица 9 - Общее решение линейного неоднородного разностного

уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной

правой частью

Линейное неоднородное раз-
ностное уравнение второ-	y n 2 py n 1 qy n f n					q 0
го порядка с постоянными	y n 2 py n 1 qy n f n					q 0
коэффициентами и специаль-
ной правой частью

Характеристическое уравне-	2	p q 0
ние	2	p q 0
ние
f n	Корни характеристи-		Вид частного решения
	ческого уравнения
	1 не является корнем	~	n Am n	m		Am 1 n	m 1
	характеристического	Pm	n Am n			Am 1 n
	характеристического	... A1 n A0
Pm n	уравнения	... A1 n A0

	1 является корнем
	характеристического		ns P~ n
	уравнения кратности				m
	уравнения кратности
	s

	18

Продолжение таблицы 9

Линейное

неоднородное

раз-

ностное

уравнение второго

y n 2 py n 1 qy n f n

q 0

порядка с постоянными коэф-

фициентами и

специальной

правой частью

Характеристическое уравнение

p q 0

f n

Корни характеристи-

Вид частного решения

ческого уравнения

не является кор-

нем

характеристиче-

A n

ского уравнения

c n

является

корнем

характеристического

Ans n

уравнения кратности

cos isin

не

является

корнем

Acosn Bsinn

характеристического

acosn ,

asinn ,

уравнения

acosn bsinn

cos isin

является корнем ха-

рактеристического

n(Acosn Bsinn )

уравнения

первой

кратности

(cos isin )

не

является

корнем

Ps n cosn Qs n sinn

характеристического

где s max m,r

уравнения

n P n cosn Q n sinn

(cos isin )

n sinn

является корнем ха-

P n cosn Q

рактеристического

уравнения

первой

где s max m,r

кратности

2.2 Элементы теории устойчивости для разностных уравнений

Пусть дано линейное разностное уравнение m-го порядка с постоянны-

ми коэффициентами

y n m am 1y n m 1 ... a1y n 1 a0y n f n .

Тогда:

1) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют нера-

венству 1, то все решения данного уравнения будут асимптотически ус-

тойчивы; 2) если все корни характеристического уравнения удовлетворяют нера-

венству 1, причем все корни 1 являются простыми, то все решения данного уравнения будут устойчивы;

3) все решения данного уравнения будут неустойчивы во всех осталь-

ных случаях.

3 Уравнения в частных производных

3.1 Уравнения в частных производных первого порядка

Определение. Линейным уравнением в частных производных (УЧП)

первого порядка называется уравнение вида

A	u	B	u	C,	(2)
	x
			y

где A, B и C - функции от x, y и u; u u x,y - неизвестная функ-

ция.
Пусть	система ОДУ	dx	dy	du	имеет общие интегралы

		A B C
F1 x,y,u C1	и F2 x,y,u C2, тогда общий интеграл УЧП (2) имеет вид
	F1 x,y,u ,F2 x,y,u 0.
	20

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]