Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория функций комплексного переменного (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

252.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

5. z = 4−i, w = 5−2i. 6. z = √

−2i, w = 2√

−3i.

7. z = 2√

−3i, w = 3√

−2i. 8. z = 1+4i, w = 2+5i.

9. z =√

√

−

3+2

3i,

w = −2+3 3i.

10. z = −1+

3i, w =

= −2+2 3i.

w = 4+3i. 12. z = −√

+2i, w = −2√

11. z = 5+2i,

+3i.

13. z = 3√

−3i, w = 2√

−4i. 14. z = 5−2i, w = 4−3i.

15. z = 4−3√

w = 3−4√

16. z = 4+3√

w = 5+

+2√3i.

w = 3+4i.√18. z = 2√

+3i, w = 3√

17. z = 2+√5i,

+2i.

19. z = −3

+i, w = −2

+2i.

20. z = −5+2i, w = −4+

+3i.

21. z = 2−3√

w = 3−2√

22. z = 4+2√

w = 3+

+3√3i.

√

23. z = −4+i,

w = −5+2i. 24. z = 4 3−3i, w = 3

3−2i.

Задача 2. Изобразить область комплексной плоскости, заданную неравенствами, приведенными ниже. Части границы области, принадлежащие ей, выполнить сплошными линиями, а не принад-

лежащие ей — пунктирными линиями.

1. |arg(z+1)| <

3π

. 2. |z−1−i| ≥

√

, |arg(z−3)| ≤

2, |z+

√

+2+2i| > 2

π3. |z| > 3, |z−4|+|z+4| ≤ 10.

4. |z+2|−|z−2| ≤ 2, |argz| <

5. |z −2i|−|z +2i|

≤ 2, |z| > 1.

6. |z −

2| > 1, |argz| ≤

7. |argz| ≤

|arg(z+2)| <

8. |z

−1| > 1, |z+1| > 1, |z| ≤

≤ 4.

,−z4|+z|z<+ 4.| > 10, |z + z¯| ≤ 10.

|z −2|−|z +

10.

| ≥

+ ¯

12.

+ ¯

arg

+ ¯

11.

−

< √

−

| ≤

≤

| |

2π

13.

14.

|arg(z + 2)|

|arg(z −2) ≤

|z −2 −2i| ≤

√

≤ 2 2, |z −3−3i| > 2.

15.

|z| ≤ 5,

|z −5π3i|+ |z −3i| > 10.

16.

|z −2i|−|z +

+2i|

≤ 2, |argz| <

−

7|−|

+ 7|

| ≤ 2

−5|3−π|

+5| ≤ 8

17.

√

18.

−

√

arg(z

19. |z −2| > 2

2, |arg(z +2)| ≤

20. |z| < 3, |z +4| ≥ 5.

21.

|z −2|2−|z +2| ≤ 2, |z +z¯| > 2.

22.

2|z| <2√

, |z +z¯| ≤

23.

24.

z +z¯

> 2

z¯ ,

−

z¯

−

z¯

| ≥

< √5.

− |

| ≤

| |

Задача 3. Вычислить значения функций при заданных значе-

ниях аргумента.

tg(

−i),

ln(2−3i).

2. ch(2−

i),exp(2+

i).

ln(3−4i).

2π

i).

sin(

+i),

th(1−

i),exp(−1

−

cos(

+i),

ln(−3+i).

6. sh(1+

i),exp(−

−

i).

ctg(

+i), ln(−2−2i).

8. ch(1+

i),exp(−

−

i).

9. sin(

π+i),

ln(−5−12i).

10. cth(−1+π

i),exp(−1π−

i).

11. cos(π2

+3i),

ln(−4−3i).

12. sh(2−π2

i),exp(1−π4

i).

13. tg(

+2i),

ln(−3−3i).

14. sh(2−

i),exp(1−

i).

3π

15. cos(

+3i),

ln(2−4i).

16. cth(1−

i),exp(−

i).

17. sin(

−i),

ln(−3−i).

18. ch(2−

i),exp(2+2i).

1+i

π(1−i)

19. th(1+

i),

20. sh(

+ 2i),exp(

1−i

21. ch(2

πi),

2−i

22. ch(2

i),exp(

i).

−

2+i i

−

+2i

−

23. sh(

1+2

24. cos

,exp(−1−

i).

−1+2i

Задача 4. Установить, является ли заданная функция действительной или мнимой частью некоторой аналитической функции, и если является, то восстановить эту аналитическую функцию в

, z1 = 0,z2 = 3i,z3 = 1+2i.

виде f(z) (обозначить соответственно действительную и мнимую части искомой аналитической функции u(x,y) и v(x,y)) и найти эту функцию.

1.u(x,y) = siny chx. 2. u(x,y) = ch2xcos2y. 3. v(x,y) =

=cosy chx.

4. v(x,y) = sin3y sh3x.			5. v(x,y) = ex chy.				6.	u(x,y) =
= e2y sin2x.
7. u(x,y) = e−x siny.		8.	v(x,y) = e−2y cos2x.				9.	u(x,y) =
= siny chx.				y
10. v(x,y) = ey sinx.		11.	u(x,y) = arctg	y	.		12.	u(x,y) =
10. v(x,y) = ey sinx.		11.	u(x,y) = arctg		.		12.	u(x,y) =
= −e−y cosx.				x
= −e−y cosx.	y		2			2	).
13. u(x,y) = −e	cosx.	14. v(x,y) = −ln(x +y					).

15.u(x,y) = ey shx.

16.v(x,y) = x3 −3xy2. 17. u(x,y) = siny shx. 18. u(x,y) =

=x2 +y2 .

19.v(x,y) = shy chx. 20. v(x,y) = x2 +x y2 . 21. u(x,y) =

= −siny shx.

−y

2xy

22. v(x,y) =

. 23. u(x,y) =

( ) =

+y2

x2 +y2

24. u x,y

3x2y

−

y3.

Задача 5. Найти радиус и круг сходимости заданного степенного ряда. Исследовать сходимость этого степенного ряда в заданных точках (сходится абсолютно, сходится условно, расходится). Изобразить на комплексной плоскости круг сходимости и положение

заданных точек.
1.	∞	(z −i)2n−1 , z1 = 2i,z2 = 3i,z3 = √2+i.


	n=1	2n(n+lnn)
2.	∞	(z +1−i)2n	, z = 2+i,z = 0,z = √3 1+i.
			1	2	3	−

3.	n=1 3n(n2 +nlnn)
3.	∞	(z −1−i)n		, z1 = 0,z2 = 3+i,z3 = 1+3i.

	n=1	2n(n+1)ln(n+1))
4.	∞	(z −2i)2n−1

n=1 (n+1)2 ln(n+1)

∞

(z −1+2i)n

, z = 0,z = 1+2i,z = 1.

3 −

n=1 2n(n+1)ln2(n+1)

∞

2n(z −1+i)n , z = 0,z = 5 i,z = 1+ i.

−

n=1

3n(n+sin

πn

)

∞

n (z +2i)2n

−2 .

7. n=1

√n+lnn, z1 = 0,z2 = √23 −2i,z3 = √3

∞

(z −i)n

, z1 = 0,z2 = 3i,z3 = 2+i.

n=1

(2i)n(n+1+arctgn)

∞

(z +1−2i)2n

, z = 0,z = 1 2i,z = 1.

−

(2i)n

n=1

ln(n+1)

10.

∞

2n+1

z1 = 0,

z2 = 2+2√2i,z3 =

√

(n+1)2 +ln2(n+1)

n=1

= 2+( 3−1)i.

(z +1−2i)n

11.

∞

= 0,z = 1+2i,z

3 −

n=1 (2i)n

(n+1)3

+2nlnn

+4i.

∞

12.

(z −2i)n

= 1,z

+2i,z

n=1

n+1+sinnα

∞

(2i)n(z +1)2n

13.

z1 = −1,z2 = −1+ √

,z3 = −

n=1

n+1+arcsin n

∞

(z +3i)n

14. n=1

3n(n2 +1)

, z1 = 0,z2 = 3−3i,z3 = i.

15.

∞

(−1)n(z −1+i)2n

= 0,z

= 3

i,z

= 1+i.

4nn√

− 3

n=1

n+1

16.

∞

(z −2+2i)n ,

z = 0,z

= 2+i,z

= 1

3i.

3n√3

3 − −

17.

n=1

n+1

∞

(−1)n(z +1+i)2n

= 0,z

= 2

i,z

1+2i.

9n√

− 3

−

n=1

n+1

18.

∞

(−1)n(z −i√

= 0,z

= 1,z

= √2(1+i).

2)n ,

2n√3

n=1

n2 +nlnn

(z +i√

∞

√

3)2n−1

19. n=1

3n(n+1)ln3(n+1)

z1 = 0,z2 = −1,z3 =

2(1−i).

20.

∞

(−1)n(z −1+i)2n−1

= 1+i,z

= 1

2i,z

= 0.

−

n=1

2n(n+1)ln(n+1)

∞

in z +1+

21. n=1

2n(n+1)

ln(n+1)

z1 = 0,z2 = −1+

i,z3 = 1−

22.

∞

= 2

i,z

= 4

3i,z =

(−1) (z −2+3i)

1 −

−

= 1

n=1

4n n+1+ln2(n+1)

−

2i.

∞

(z +1−2i)2n−1

23.

z1 = 0,z2 = 1+i,z3 = 1.

n=1 5n(n+1)ln3(n+1)

i n

∞ (−1)n z −2+

24.

, z1 = 0,z2

= i,z3

n=1

1− n

Задача 6. Найти все изолированные особые точки заданной функции, определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно удаленная

точка, и найти вычет в ней.
1.			ez						.		2.				1			sin			1	.	3.						ez				.	4.					1			sin			1	.
1.	z2 + π12 2								.		2.							sin				.	3.		z2 + π2 2								.	4.								sin				.
5.	z2 + π12 2								6.		1				−z						z		7.		z2 + π2 2									8.			1−z								z
5.		1		ez .					6.						1					ch 1.			7.					sinz .						8.						1			ez .
																																												1
1		z										z(1+z2										z				z		2	−1π		2	2					(1				z)2
		−chz														1			)	1						z			−1π								1			−				1
9.									.		10.									ez .			11. z3 cos								.		12.									sin				.
9.	z2		+ π2				3		.		10.					−		z2		ez .			11. z3 cos							z2	.		12.	(1		−			z)2			sin				.
	z2		+ π2				3				1							z2												z2				(1					z)2						z
			cosz																	1			1											1
13.										.	14.												sin				.		15. z5 sin									.
13.		z	2	−	π	2			3	.	14.						(1+z)2						sin	z			.		15. z5 sin						z2			.
		z	2	−	π	2			3								(1+z)2							z											z2
16.				1				cos					1	.
16.								cos						.
		z(1−z2)											z
																																												35

17.								z2 +4																			.	18.		z				ch							1		.					13.									(z +1)2				.
17.		z21+3z +12 2																									.	18.		−z2				ch									.					13.					z2 −3z +2 2								.
14.		z21+3z +12 2																											1	−z2											z												z2 −3z +2 2
												cos											.
		1+z2										cos							z				.
19.								eiz												.							20.		1	sin			1		.								21.											ez					.
19.		z21− π2 2																		.							20.		−z	sin					.								21.					z2 + π2 2											.
22.		z21− π2 2																				1						1	−z				z															z2 + π2 2
																sh									.
		(1−z)2														sh						z			.
							−			1																		1				1
23. z			3				−		z		2			.								24.						1				1
					e																									cos				.
					e																							(1+z)2		cos		z		.
																												(1+z)2				z
Задача 7. Вычислить интеграл.																																												ln
1.								dz													,					γ : \|z +i\| = 1.						2.												ln			zdz								, γ : \|z −1\| = 1.
1.					z			2										2			,					γ : \|z +i\| = 1.						2.												2			−z		1			2			, γ : \|z −1\| = 1.
	γ				z					+1																											γ					z					−z		1
3.								dz													, γ : \|z −i\| = 1. 4.																					e− dz													, γ : \|z −1\| = 2.
3.								2						1				3			, γ : \|z −i\| = 1. 4.																																3		, γ : \|z −1\| = 2.
	γ				z2					−				1																							γ z z −1
					(	z											dz																								coszdz
5.					(		+1)																	,		γ : \|z\| = 2.					6.																					, γ : \|z − π\| = 4.
5.							z3 +1																	,		γ : \|z\| = 2.					6.								z2(z						−			π)2				, γ : \|z − π\| = 4.
	γ										1																						γ												−
											1																							(		z				−			a			2ez sin										π	zdz


7.				z2e−z dz,																				γ : \|z\| = 1. 8.																				)z															,
7.				z2e−z dz,																				γ : \|z\| = 1. 8.																				)z				−		a									,
	γ																														γ																	−
γ : \|z −a\| = 1.												1																																	z3dz
9.				z2 sh												dz,									γ : \|z\| = 2.					10.																												,
9.				z2 sh									z			dz,									γ : \|z\| = 2.					10.								(z +1)3(z													−					2)		,
	γ																																γ																		−
γ : \|z −2\| = 2.														1																													z2 +1
11.						z cos											dz,									γ : \|z\| = 2.				12.																								dz, γ : \|z\| = 1.
11.						z cos									z		dz,									γ : \|z\| = 2.				12.										z2(z +2)2														dz, γ : \|z\| = 1.
		γ																																γ
										3		+1																																					z3dz
13.								z				+1												dz,				γ : \|z\| = 2.				14.																												,
13.								2				+1									2			dz,				γ : \|z\| = 2.				14.												(z			−		1)3(z +2)											,
		γ					z					+1																												γ							−
γ : \|z −1\| = 2.z																					2 ,						γ : \|z +1\| = 1.							16.														iz								γ : \|z −i\| = 1.
15.										2											2 ,						γ : \|z +1\| = 1.							16.												ze2 +1,										γ : \|z −i\| = 1.
										e dz																																							dz
		γ					z					−1																														γ
36

17.		ze2 +1, γ : \|z\| = 2.	18.			− z(12 +−1		)dz, γ : \|z +i\| = 1.
		izdz			e	iz	z2
	γ			γ

19.

chzdz

, γ : |z + π| = π.

2 2

+ π

+ π| = π.

sinzdz

, γ : |z +

21.

| = 1.

z2 +

γ : |z −

| = 1

23.

zdz

, γ : |z −1| = 0,5.

γ : |z +

| = 0,5.

20.		shzdz		, γ : \|z +
20.		2 2	2	, γ : \|z +
	γ	z + π
22.		sin2 zdz	,

π2 2

γz2 + 4

24.

tgzdz ,

π2 3

γz2 + 4

ЛИТЕРАТУРА

Агаева Э.И., Ершова М.И., Зотина Р.С. Теория функций комплексного переменного. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1992. 120 c.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

Сборник задач по математике для втузов: В 4 т. Т. 2: Специальные разделы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1986. 368 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Задание кривых и областей на комплексной плоскости. . . . . . . . . . 9 4. Понятие функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 5. Производная функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . 11 6. Степенные ряды с комплексными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7. Изолированные особые точки аналитической функции . . . . . . . . . 21 8. Интегрирование функций комплексного переменного . . . . . . . . . . . 24 9. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке . . 26 10. Основная теорема о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 11. Домашнее задание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Учебное издание

Копаев Анатолий Владимирович Леванков Владимир Иванович Мастихин Антон Вячеславович

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Редактор О.М. Королева Корректор О.В. Калашникова

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 15.02.2012. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,33. Тираж 500 экз. Изд. № 1.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022518.09 Кб11Теория планирования эксперимента Методические указания..pdf
#
15.11.2022324.76 Кб22Теория прокатки. Расчет сопротивления деформации металла при горячей прокатке (60.pdf
#
15.11.2022388.95 Кб3Теория статистики (90..pdf
#
15.11.2022518.64 Кб4Теория управления (110..pdf
#
15.11.2022584.09 Кб26Теория упругости (110..pdf
#
15.11.2022252.99 Кб10Теория функций комплексного переменного (120..pdf
#
15.11.2022728.92 Кб18Теория экономического анализа Сборник задач для бакалавров направления Экономика..pdf
#
15.11.2022654.14 Кб18Теория электрической связи. Лабораторные работы (90.pdf
#
15.11.2022377.68 Кб24Теория, методика и технологии спортивной тренировки в футболе методические указания для подготовки выпускников ВГИФК к Государственной аттестации по специализации..pdf
#
15.11.202268.77 Кб11Теплов Г.Н.. Наставление сыну.pdf
#
15.11.2022129.48 Кб7Теплов Г.Н.. О непорядках, которые происходят от злоупотребления прав и обыкновений, грамотами подтвержденных Малороссии.pdf