Теория функций комплексного переменного (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Функцию f(z) называют аналитической в точке z0, если она имеет производную в некотором круге с центром в точке z0 (в некоторой окрестности точки z0). Такую точку называют правильной точкой функции f(z). Точку, в которой нарушается аналитичность функции f(z), называют особой точкой.

Рассмотрим простейшие особые точки аналитических функций — изолированные особые точки.

Точку z0 называют изолированной особой точкой функции f(z), если функция f(z) является аналитической в некоторой окрестности точки z0 с выколотой точкой z0. Отметим, что особые точки аналитической функции могут и не быть изолированными. Например, для функции

являются изолированными особыми точками. В любой окрестности точки z0 = 0 есть и другие особые точки функции f(z).

Если точка z0 является изолированной особой точкой функции f(z), то в некоторой окрестности точки z0 функция f(z) единственным образом представима в виде суммы ряда

21

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

который называется рядом Лорана, где первое слагаемое называется главной частью ряда Лорана, а второе слагаемое — правильной частью ряда Лорана.

Проведем классификацию изолированных особых точек аналитической функции.

Если существует конечный предел lim f(z) = c, то изолиро-

z→z0

ванная особая точка z0 называется устранимой особой точкой. Если lim f(z) = ∞, lim |f(z)| = +∞, то изолированная осо-

z→z0 z→z0

бая точка z0 называется полюсом.

Если lim f(z) не существует, то изолированная особая точка

z→z0

z0 называется существенно особой точкой.

Оказывается, что классификация изолированных особых точек тесно связана с разложением аналитической функции в окрестности этой точки в ряд Лорана.

Изолированная особая точка аналитической функции является устранимой особой точкой тогда и только тогда, когда разложение аналитической функции в окрестности этой точки в ряд Лорана не содержит главной части.

Изолированная особая точка аналитической функции является полюсом тогда и только тогда, когда главная часть разложения аналитической функции в окрестности этой точки в ряд Лорана содержит лишь конечное число членов:

где число p — порядок полюса.

Изолированная особая точка аналитической функции является существенно особой точкой тогда и только тогда, когда главная часть разложения аналитической функции в окрестности этой точки в ряд Лорана содержит бесконечное число членов.

Бесконечно удаленная точка называется изолированной особой точкой для функции f(z), если найдется круг, во внешности которого {z, |z| > R}, называемой окрестностью бесконечности, функция f(z) не имеет конечных особых точек.

22

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки может быть представлено в виде ряда

сходящегося вне круга {z, |z| > R} достаточно большого радиуса с центром в точке z = 0.

Бесконечно удаленная точка называется устранимой, если существует конечный предел

lim f(z) = c0 =∞.

z→∞

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки не содержит положительных степеней:

∞

c−n

f(z) = n=1 zn +c0.

Например, точка ∞ является устранимой особой точкой для функции sh z1, тогда как 0 является для нее существенно особой точкой.

Бесконечно удаленная точка называется полюсом, если

lim f(z) = ∞.

z→∞

Бесконечно удаленная точка является полюсом N–порядка, если

lim f(z) = A =∞.

z→∞ zN

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной особой точки, являющейся полюсом, содержит конечное число положительных степеней:

Число N (наивысшая степень, в которой выражение z входит в ряд Лорана) определяет порядок полюса. Например, точка ∞ является полюсом второго порядка для функции 1+z+z2. Точка 0 является

полюсом второго порядка для функции 1+ z1 + z12 .

23

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Бесконечно удаленная точка называется существенно особой,

если предел lim f(z) не существует.

z→∞

Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки содержит бесконечно много положительных степеней:

Например, точка ∞ является существенно особой точкой для функций sinz z, а точка 0 для нее — устранимая особая точка.

8. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть на плоскости комплексного переменного задана некоторая простая незамкнутая гладкая (или кусочно-гладкая) ориентированная кривая AB, и на этой кривой задана функция комплексного переменного f(z). Разобьем эту кривую на n частей точками A0 = A,A1,A2,...,An = B, считая, что эти точки пронумерованы в направлении от A к B. Выберем на каждой из дуг Aj−1Aj(j = 1,n) произвольную точку ζj и составим сумму

n

f(ζj) zj,

j=1

где zj = Aj−1 −Aj−1, которую будем называть интегральной суммой (рис. 10).

Обозначим lj длину дуги Aj−1Aj(j = 1,n), λ = max lj. Если при стремлении λ к нулю интегральная сумма S имеет ко-

нечный предел I, не зависящий ни от способа дробления кривой AB, ни от выбора точек ζj, то комплексное число I называется интегралом от функции f(z) вдоль ориентированной кривой AB и обозначается

I = f(z)dz.

AB

24

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 10

Отметим, что комплексное число I называется пределом интегральной суммы S при стремлении λ к нулю, если для любого числа ε > 0 существует число δ(ε) > 0, такое, что для любого разбиения кривой AB, при λ < δ, выполняется неравенство |S −I| < ε независимо от выбора точек ζj. Предел I обозначается

Если ориентированная кривая является замкнутой, разобьем ее на две части любыми точками A и B и определим интеграл вдоль замкнутой кривой как сумму интегралов вдоль незамкнутых кривых AB и BA, взятых в соответствующих направлениях. Это определение не зависит от выбора точек A и B. Если направление замкнутой кривой γ не указано, будем считать, что интеграл

25

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

f(z)dz берется вдоль кривой γ в положительном направлении,

γ

т. е. против хода часовой стрелки. Пусть

f(z) = u(x;y)+iv(x;y)

— функция комплексного переменного, а функции u(x;y) и v(x;y) определены и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в односвязной области D. Криволинейный

интеграл второго рода udx−vdy не зависит от выбора пути

AB

интегрирования тогда и только тогда, когда в области D выполняется равенство ∂∂yu = −∂x∂v. Криволинейный интеграл второго рода

vdx+udy не зависит от выбора пути интегрирования тогда и

AB

только тогда, когда в области выполняется равенство ∂∂xu = ∂y∂v.

Поэтому этот интеграл не зависит от пути интегрирования тогда и только тогда, когда в области D выполняются условия Коши — Римана, т. е. функция f(z) является аналитической в области D. Отметим, что независимость интеграла от пути интегрирования равносильна выполнению равенства

f(z)dz = 0

γ

для любого замкнутого контура γ (теорема Коши).

9.ВЫЧЕТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

ВИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКЕ

Пусть γ — простой замкнутый кусочно-гладкий контур. Если внутри этого контура есть особые точки аналитической функции

f(z), то f(z)dz =. 0

γ

26

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке a называют комплексное число

где интегрирование ведется вдоль любого контура γ, внутри которого находится единственная особая точка a аналитической функции f(z). Это комплексное число не зависит от вида контура γ.

Пусть a — изолированная особая точка аналитической функции f(z). Тогда функция f(z) в некотором проколотом круге с центром в точке a представима в виде суммы ряда Лорана

При этом

res[f(z), a] = c−1.

Если a — устранимая особая точка аналитической функции f(z), то

res[f(z), a] = 0.

Если a — полюс n-го порядка аналитической функции f(z), то для вычисления вычета справедлива следующая формула:

В частности, для полюса первого порядка, называемого простым полюсом, последняя формула принимает вид

res[f(z), a] = lim (z −a)f(z) ,

Если a — простой полюс аналитической функции f(z) = ψϕ((zz)),

27

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где ϕ(z) и ψ(z) — аналитические функции, причем ϕ(a) =, 0 ψ (a) =, 0то для вычисления вычета справедлива формула

ϕ(a) res[f(z), a] = ψ (a).

Вычет аналитической функции f(z) в бесконечно удаленной изолированной особой точке определяется аналогично ее определению в изолированной особой точке, только направление обхода контура осуществляется по ходу часовой стрелки. При таком обходе бесконечно удаленная точка все время остается слева (как и в случае конечной изолированной особой точки, которая также остается слева при обходе ее по контуру против хода часовой стрелки). Таким образом, по определению

Для бесконечно удаленной точки справедлива формула

res[f(z), ∞] = −c−1.

Отметим, что вычет аналитической функции в бесконечно удаленной точке, являющейся устранимой особой точкой, может не быть равным нулю (в отличие от конечной устранимой особой точки).

Пример 9. Найти все особые точки функции f(z) = z exp z1 .

Определить их характер и найти вычеты в них. Установить, чем является для данной функции бесконечно удаленная точка, и найти вычет в ней.

Решение. Так как для любого комплексного числа w