Теория функций комплексного переменного (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

w = a0 +a1z +···+anzn (an = 0);

рациональная функция (отношение двух многочленов)

w = a0 +a1z +···+anzn , b0 +b1z +···+bmzm

определенная на всей комплексной плоскости, кроме точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Отметим, что на комплексной плоскости определены все основные элементарные функции (значения которых для действительных значений аргумента совпадают со значениями соответствующих действительно значных элементарных функций):

функций действительного переменного, остаются в силе и для элементарных функций комплексного переменного, например:

ez1+z2 = ez1 ez2 ,sin(z1 +z2) = sinz1 cosz2 +cosz1 sinz2

и т. д.

Пример 5. Найти значение функции cosz при z = π +i.

Решение. Имеем cos(π +i) = cos π cosi−sin π sini = −cosi =

=−e−12+e1 = −ch1.

5.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Понятия предела, непрерывности и производной являются основными понятиями математического анализа. Эти понятия вводятся и для функций комплексного переменного.

11

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Комплексное число A называют пределом функции w = f(z) в точке z0 (при z → z0), если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех z из проколотого круга (без граничной окружности и центра) 0 < |z −z0| < δ выполняется неравенство

|f(z)−A| < ε.

Число A oбозначают

A = lim f(z).

z→z0

Число A = a1 +ia2 является пределом функции f(z) = u(x;y)+ +iv(x;y) в точке z0 = x0 +iy0 тогда и только тогда, когда число a1 является пределом функции u(x;y) при x → x0, y → y0, а число

a2 — пределом функции v(x;y) при x → x0, y → y0. Функцию f(z) называют непрерывной в точке z0, если

lim f(z) = f(z0).

z→z0

Функция f(z) = u(x;y)+iv(x;y) является непрерывной в точке z0 тогда и только тогда, когда функции u(x;y) и v(x;y) непре-

рывны в точке (x0;y0).

Производной функции f(z) в точке z0 называют предел отношения приращения функции f = f(z)−f(z0) к приращению аргумента z = z −z0 при стремлении последнего к нулю (если такой предел существует) и обозначается f (z), т. е.

f (z0) = lim f .

z→0 z

Если функция комплексного переменного имеет производную в каждой точке некоторой области D на комплексной плоскости, то она называется аналитической (регулярной) в области D. Функция f(z) = u(x;y)+iv(x;y), аналитическая в области D комплексной плоскости, имеет в каждой точке этой области производные всех порядков (которые определяются так же, как и для функций действительного переменного). Функции u(x;y) и v(x;y) удовлетворяют в области D дифференциальному уравнению

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

которое называется уравнением Лапласа. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называют гармоническими. Кроме того, функции u(x;y) и v(x;y) связаны соотношениями

∂∂xu = ∂y∂v, ∂u∂y = −∂x∂v,

которые называют условиями Коши — Римана. Гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши — Римана, называют сопряженными гармоническими функциями. Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

В то же время для любой функции, гармонической в односвязной области комплексной плоскости, существует единственная (с точностью до произвольной постоянной) сопряженная гармоническая функция, так что любая функция, гармоническая в односвязной области комплексной плоскости, является действительной (или мнимой) частью аналитической функции.

Пример 6. Проверить, может ли функция u(x;y) = x+2y + +3xy служить действительной частью некоторой аналитической функции. Если может, то найти эту функцию.

Решение. Имеем

Таким образом, функция u(x;y) является гармонической на всей комплексной плоскости. Найдем сопряженную ей гармоническую функцию v(x;y):

= − (2+3x)dx+ ϕ(y) = −2x−1,5x2 + ϕ(y).

Продифференцировав полученное выражение по y, получим

∂y∂v = ϕ (y) = ∂∂xu = 1+3y,

oткуда

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

ϕ(y) = (1+3y)dy = y +1,5y2 +C; v(x;y) =

= y −2x+1,5(y2 −x2)+C;

f(z) = (x+2y +3xy)+i(y −2x+1,5(y2 −x2)+C).

В последнее выражение вместо x можно подставить x = z +2 z¯, а

вместо y подставить z −z¯. Но лучше использовать такое правило: вместо y подставить 0,2аi вместо x подставить z. Тогда получим

f(z) = z −2iz −1,5iz2 +iC.

Другой способ восстановления функции по гармонической действительной или мнимой части состоит в нахождении комплексной производной f (z) с последующим ее интегрированием по z. Производную можно найти по одной из следующих формул:

6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Пусть дана последовательность комплексных чисел z1,z2,..., zn,... Числовым рядом с комплексными членами называют сумму z1 +z2 +···+zn +..., которую можно записать, используя знак суммы:

∞

zn.

n=1

Вместе с последовательностью комплексных чисел z1,z2,..., zn,... рассмотрим также последовательность комплексных чисел

S1,S2,...,Sn,...:

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

S1 = z1,

S2 = z1 +z2,

........................

Sn = z1 +z2 +···+zn,

........................

Комплексное число Sn называют n-й частичной суммой числового ряда, а числовой ряд zn+1 +zn+2 +···+zn+k +... — остатком числового ряда после n-го члена. Числовой ряд с комплексными членами называют сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т. е. имеет конечный предел S, называемый суммой числового ряда. Напомним, что число S называют пределом числовой последовательности S1,S2,...,Sn,..., если для любого положительного числа ε > 0 существует натуральное число N0, такое, что для всех натуральных чисел n > N0 выполняется неравенство |Sn −S| < ε. В противном случае числовой ряд называют расходящимся.

Числовой ряд с комплексными членами называют абсолютно

∞

сходящимся, если сходится положительный ряд |zn|. Если чи-

n=1

словой ряд с комплексными членами сходится абсолютно, то он сходится. Если же числовой ряд с комплексными членами сходится, а ряд из модулей этих членов расходится, то числовой ряд с комплексными членами называют условно сходящимся.

Степенным рядом с комплексными членами называют ряд вида

∞

cn(z −z0)n = c0 +c1(z −z0)+···+cn(z −z0)n +...,

n=0

15

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

где z0,c0,c1,...,cn,... — заданные комплексные числа; z — комплексное переменное. При этом комплексные числа c0,c1,..., cn,... называются коэффициентами степенного ряда. Если в одних точках комплексной плоскости степенной ряд сходится, а в других точках комплексной плоскости расходится, то существует круг |z −z0| = R, внутри которого степенной ряд сходится абсолютно, вне которого степенной ряд расходится, а в точках граничной окружности степенной ряд может как сходиться, так и расходиться. При этом указанный круг называется кругом сходимости степенного ряда, а число R — радиусом сходимости

степенного ряда. Существуют степенные ряды, которые сходятся

∞

только в точке z0, например степенной ряд n!(z −z0)n (в этом

n=0

случае полагают, что R = 0). Существуют степенные ряды, которые сходятся во всех точках комплексной плоскости, например

∞ (z −z0)n

степенной ряд (в этом случае полагают, что R = ∞). n!

n=0

Во всех трех случаях радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по формулам

при условии, что указанные пределы существуют и коэффициенты ряда не пропускаются.

Пример 7. Найти радиус и круг сходимости степенного ряда

n+2

поэтому круг сходимости заданного степенного ряда есть круг с центром в точке i радиуса 1 : |z −i| < 1. Так как

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

то точка z1 принадлежит кругу сходимости, и в этой точке степен-

ной ряд сходится абсолютно. Поскольку

√

|z2 −i| = |−1+i| = 2 > 1,

точка z2 принадлежит внешности круга сходимости и в этой точке степенной ряд расходится. Так как |z3 −i| = |−1| = 1, то точка z3 принадлежит границе круга сходимости. Для z = z3 получаем

∞ (−1)n

числовой ряд n=0 n+1 . Этот знакочередующийся ряд сходится

по признаку Лейбница, а ряд из его модулей (гармонический ряд)

расходится. Поэтому заданный степенной ряд в точке z3 сходится условно.

Если функция f(z) является аналитической в круге |z −z0| < < R, то ее единственным образом можно представить в этом круге в виде суммы степенного ряда

∞

cn(z −z0)n,

n=0

который является ее рядом Тейлора, т. е. коэффициенты этого ряда определяются формулами

cn = f(n)(z0),n = 0,1,2,...

n!

Приведем разложения основных элементарных функций комплексного переменного в степенные ряды:

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

< |z −z0| < R, то ее единственным образом можно представить в

этом кольце в виде суммы степенного ряда

∞

cn(z −z0)n,

n=−∞

который называется рядом Лорана.

Для того чтобы найти все разложения функции f(z) в ряд по степеням z−z0, необходимо найти все изолированные особые точки данной функции, т. е. точки потери аналитичности (классификацию изолированных особых точек см. в § 7), построить вспомогательный чертеж, на котором изобразить изолированные особые точки и провести концентрические окружности с центром в точке a через все изолированные особые точки. Если таких точек две

(z1 и z2), причем |z1 −z0| = R1, |z2 −z0| = R2, то получим три области аналитичности (рис. 9):

Область I:

|z −z0| < R1

— круг. Область II:

R1 < |z −z0| < R2

— кольцо.

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 9

Область III:

R2 < |z −z0| < ∞

— кольцо, внешняя окружность которого имеет бесконечно большой радиус.

Внутри каждой области функция f(z) не имеет особых точек и является аналитической. Если функция f(z) аналитична в точке z0, то в круге (в области I) она разлагается в ряд Тейлора, а в областях II, III — в ряд Лорана. Если же точка z0 — изолированная особая, то в области I 0 < |z −z0| < R1 — кольцо с выколотым центром, и функция f(z) разлагается в ряд Лорана. Разложение в области III (в кольце с бесконечным внешним радиусом) является разложением в окрестности бесконечно удаленной точки.

Пример 8. Функцию f(z) = z2 1+z

ням z −1.

Решение. Особые точки: z1 = −1, z2 = 0 (см. рис. 9). Получаем три области, в которых будем искать разложения:

Область I:

|z −1| < 1

— круг. Область II:

1 < |z −1| < 2

— кольцо. Область III:

2 < |z −1| < ∞

— окрестность бесконечности.

19

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Представим функцию f(z) в виде суммы простейших дробей:

Запишем табличные разложения каждого слагаемого последнего выражения по степеням w, указав область сходимости ряда: