Теория функций комплексного переменного (120

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

А.В. Копаев, В.И. Леванков, А.В. Мастихин

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Методические указания к выполнению домашнего задания

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2012

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 517.53 ББК 22.161.8 К65

им. Н. Э. Баумана, 2012. – 38, [2] с. : ил.

Представлены необходимые теоретические сведения. Приведены примеры решения задач по теории функций комплексного переменного. Даны условия домашнего задания.

Для студентов второго курса IV семестра, изучающих теорию функций комплексного переменного.

Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 517.53 ББК 22.161.8

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

1. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Комплексным числом z называют выражение вида z = x+yi, где x, y — любые действительные числа; i — символ, называемый мнимой единицей. Действительные числа x и y соответственно называют действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначают

x = Re z;y = Im z.

Символы Re и Im являются начальными буквами латинских слов realis (действительный) и imaginarius (мнимый). Представление комплексного числа z = x+yi называют алгебраической формой записи комплексного числа. Если y = 0, то комплексное число x+0i считается совпадающим с действительным числом x; если же x = 0, то комплексное число 0+yi обозначается yi и называется чисто мнимым. Два комплексных числа z = x+yi и w = u+vi равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т. е. z = w тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Комплексное число z = x+yi изображается на плоскости точкой с координатами (x;y) в прямоугольной декартовой системе координат или ее радиус-вектором. Плоскость в этом случае называют плоскостью комплексного переменного, а координатные оси — осями действительных и мнимых переменных и соответственно обозначают Re и Im.

Комплексно-сопряженным к числу z = x+yi называют число z¯= x−iy, изображаемое точкой (и вектором), симметричной точке (и вектору) z относительно действительной оси (рис. 1).

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1

Суммой комплексных чисел z и w называют комплексное число

z +w = (x+u)+(y +v)i.

Произведением комплексных чисел z и w называют комплексное число

zw = (xu−yv)+(xv +yu)i.

Однако запоминать эти формулы нет надобности. Так как сложение и умножение комплексных чисел коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом, сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме выполняется по обычным правилам алгебры с заменой произведения ii (которое обозначается i2) на −1 (основное свойство символа i: i2 = −1). Операции сложения и умножения комплексных чисел обратимы. Разность комплексных чисел z и w вычисляется по формуле

z −w = (x−u)+(y −v)i.

Таким образом, и вычитание комплексных чисел в алгебраической форме осуществляется по обычным правилам алгебры. Частное комплексных чисел z и w вычисляется по формуле

z x+iy xu+yv yu−xv w = u+iv = u2 +v2 + u2 +v2 i.

Запоминать эту формулу также нет надобности. Необходимо запомнить правило деления комплексных чисел в алгебраической

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

форме: для вычисления частного wz следует числитель и знаме-

натель этой дроби умножить на число w¯, сопряженное комплексному числу w, поскольку ww¯ = (u+vi)(u−vi) = u2 +v2. Таким образом,

wz = wzww¯¯.

Отметим, что действия сложения и вычитания комплексных чисел в алгебраической форме соответствуют действиям сложения и вычитания векторов, изображающих эти числа на плоскости комплексных чисел.

Пример 1. Даны комплексные числа z = 2−i и w = 3+4i. Вычислить: 1) z +w; 2) z −w; 3) zw; 4) wz .

Решение. 1)z + w = (2 −i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (−1 + 4)i = = 5+3i;

2)z −w = (2−i)−(3+4i) = (2−3)+(−1−4)i = −1−5i; 3)zw = (2−i)(3+4i) = 6−3i+8i−4 = 6+5i+4 = 10+5i;

=0,08−0,44i.

Взаключение определим степень комплексного числа с целым показателем: zn = zz ...z (n сомножителей); z0 = 1 (z =);0

z−n = z1n (z =).0

Пример 2. Для комплексного числа z = 3−2i найти: 1) z2; 2) z3.

Решение. 1)z2 = (3−2i)2 = 9−12i−4 = 5−12i; 2)z3 = (3−2i)3 = 27−54i−36+8i = −9−46i.

2. ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ, ЗАДАННЫМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

При изучении свойств комплексных чисел весьма удобной оказывается их геометрическая интерпретация. Рассмотрим на плоскости комплексных чисел наряду с прямоугольной декартовой системой координат полярную систему координат, полюс которой находится в начале прямоугольной декартовой системы координат,

5

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

а полярная ось совпадает с положительной полуосью оси действительных чисел Re.

Полярный радиус ρ точки z называют модулем комплексного числа z и обозначают |z|, т. е. ρ = |z|.

Полярный угол ϕ точки z, принадлежащий промежутку (−π; π], называют аргументом комплексного числа z (главным значением аргумента) и обозначают arg z, т. е. ϕ = argz (рис. 2).

Рис. 2

Ясно, что модуль комплексного числа z = x+yi есть неотрицательное действительное число ρ = x2 +y2, причем ρ = 0 тогда и только тогда, когда z = 0. Аргумент нуля не определен, а для остальных комплексных чисел аргумент определяется следующими формулами:

Отметим, что в некоторых учебниках считают, что значение аргумента принадлежит промежутку [0;2π).

Так как прямоугольные декартовы и полярные координаты связаны соотношениями x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, для комплексного числа z = x+yi получаем другую форму записи:

z = x+yi = ρ cos ϕ +iρ sin ϕ, или z = ρ(cos ϕ +isin ϕ).

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Эту форму представления комплексного числа называют тригонометрической.

Пусть даны два комплексных числа в тригонометрической форме:

z1 = ρ1(cos ϕ1 +isin ϕ1) и z2 = ρ2(cos ϕ2 +isin ϕ2).

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

z1z2 = ρ1 ρ2 cos(ϕ1 + ϕ2)+isin(ϕ1 + ϕ2) .

При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Правило умножения двух комплексных чисел в тригонометрической форме распространяется на любое число сомножителей. В частности, если все сомножители равны,

zn = ρn(cosnϕ +isinnϕ), n = 1,2,...

Эту формулу называют формулой Муавра (она справедлива и для любого целого отрицательного числа n).

В заключение введем понятие корня n-й степени из комплексного числа z. Так называют любое комплексное число w, для которого wn = z. Если z = 0, то существует единственное число w = 0, такое, что wn = z. Если же z =, 0то существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа z = ρ(cos ϕ +isin ϕ):

√ ϕ +2πk ϕ +2πk

w = n ρ cos n +isin n , k = 0,1,2,...,n−1.

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Из этой формулы следует, что все корни n-й степени из комплексного числа z изображаются вершинами правильного n-угольника,

вписанного в окружность радиуса с центром в начале коор- n |z|

динат.

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. ЗАДАНИЕ КРИВЫХ И ОБЛАСТЕЙ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

Кривые на плоскости задаются уравнениями относительно заданной системы координат, например, относительно прямоугольной декартовой системы координат — уравнением F(x;y) = 0, а относительно полярной системы координат — уравнением Φ(ρ; ϕ) = = 0. Пусть

z = x+yi = ρ(cos ϕ +isin ϕ)

— комплексное число. Тогда

x = z +2 z¯, y = z2−iz¯, ρ = |z|, ϕ = argz.

Поэтому на комплексной плоскости кривые задаются уравнениями

Приведем примеры уравнений некоторых кривых на комплексной плоскости, для получения которых не требуется выполнение тождественных преобразований, а используется лишь геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Окружность с центром в точке z0 радиуса R задается уравнением |z −z0| = R (рис. 5), так как |z −z0| есть расстояние от точки z до точки z0.

Эллипс с фокусами в точках z1 и z2 и большой полуосью

a (2a > |z1 − z2|) задается уравнением |z − z1| + |z − z2| = 2a (рис. 6 ).

9

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

b2 = c2 −a2.

Луч с началом в точке z0, образующий угол ϕ с положительной полуосью действительной оси, задается уравнением arg(z −z0) = ϕ (рис. 8).

Так как координаты точек, не лежащих на кривой, не удовлетворяют уравнению этой кривой, области, ограниченные кривыми, задаются соответствующими неравенствами.

Например, открытый круг с центром в точке z0 радиуса R задается неравенством |z −z0| < R, замкнутый круг с центром в точке z0 радиуса R — неравенством |z −z0| ≤ R и т. п.

4. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть D — некоторое множество комплексных чисел. Если каждому комплексному числу z множества D поставлено в соответствие комплексное число w, то говорят, что на множестве D

задана комплекснозначная функция w = f(z) комплексного переменного z, а множество D называют областью определения этой функции. Примерами функций комплексного переменного могут служить:

многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами a0, a1,...,an

10