Устойчивость сжатых стержней (90
..pdf
|
C |
CM |
O % |
|
M |
T U % # |
C |
& 8 7 CM |
|
|
#008; & 8 7 /A / |
A 66123$ |
|||||||
|
|
8S |
|
7 |
|
|
8 7 M |
|
|
8 7 0A . |
|||||||||
|
|
V 8 7 % O RM 8 7 A 66 O 0 .6 0/ ;123 W 0A123$ |
|||||||||||||||||
3. |
Проверка устойчивости, Vв&плоскости8 7 ' 0AY& 8 7 A @ : /123$ |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Y |
|
|
|
|
|
|
Гибкость отдельной ветви панели (расстояния между накладками) принимается |
||||||||||||||||||
|
гибкости колонны |
|
|
λ |
|
|
λ, при |
|
|
|
λ |
|
|||||||
при |
Радиус инерции относительноX /5 P оси Y: |
|
X Y /5 P /5$ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
# |
C |
|
# |
|
008; |
. 58123$ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 7 M |
|
|
|
8 7 0A . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
5 A 7 .55 |
|
|
|||||||
|
Гибкость колонны из плоскости |
|
Y-Y: |
|
|
|
|
A5$ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
XC C |
|
|
|
. 58 |
|
|
|
||||||
|
Приведенная гибкость колонны из плоскости Y-Y для оценки совместной |
||||||||||||||||||
устойчивости колонны в целом ее отдельной ветви в пределах панели: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X Z[ |
\X O X ] |
^A5 O /5 ./ U |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
( 5 @86 & |
5 @86 & 5 6@8 7 / 5 @5;4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A:5 7 059 |
|
|
05 |
85; ;61?=> W ) 8051?=>$ |
|||||||||
|
8 7 7 ( |
8 7 0A . 7 05F- |
7 5 @5; |
||||||||||||||||
|
Поскольку максимальная гибкость колонны |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
X Z[ |
./ K X !" 058 (см. пример 2), |
|
||||||||||||
то критическое напряжение находим по формуле Ясинского (7) (для Ст3: a=310;
b=1,14): |
% & ' 7 X :05 & 0 0/ 7 ./ 8:6 5/1?=>$ |
|
|
Критическая сила |
|
|
7 8:6 5/ 7 05< 7 8 7 0A . 7 05F- 6:; A.1 J$ |
Коэффициент запаса устойчивости
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2_ |
|
|
6:; A. |
0 /$ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A:5 |
||||
|
|
|
F = 100 кН |
|
|
|
|
|
Пример |
4. Деревянная стойка длиной l = 4 м |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратного поперечного сечения сжимается силой F |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 100 кН (рис.5). Требуется подобрать размер стороны |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадрата |
|
а |
так, |
|
чтобы выполнялись условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
устойчивости и прочности и расход материала был |
||||||||
l = 4 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
минимальным. Ослабления составляют 15% площади |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
сечения. |
Допускаемое напряжение на сжатие для |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дерева Рис. 5 |
|
|
051?=>$ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимается |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Поскольку размеры сечения могут быть любыми используем метод последовательных приближений. Выполним первое приближение, . Примем (H 5 A.
Из условия устойчивости найдем площадь сечения:
` 055 7 059 855123 $ 5 A 7 0
Поскольку % , то % 0/ 0123$ Найдем минимальный радиус инерции сечения. Для квадрата любая ось является главной и радиус инерции относительно любой оси
#08%7-% :%/. 0/: /.0 / 5@123$
Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле
X 0/7 /555@ ;@ 5$
По таблице находим для дерева ( 5 :8/$ Полученное значение ( еще сильно отличатся от величины (H, принятой в начале первого приближения, поэтому
выполним второе приближение. Найдем ( как среднее арифметическое между ( и |
|||
(H: |
|
5 A O85 :8/ |
|
( |
5 /08$ |
||
Повторим все действия, выполненные в первом приближении. |
|||
055 |
|
|
|
` 5 /08 7 0 |
8/:123 4 1% a8/: 0A .1234 |
||
0A . |
0 7 /55 |
||
: /. |
/ A51234 1X / A5 @@ @$ |
||
Этой гибкости соответствует ( 5 :;:. Выполним еще одно, третье приближение. |
|||
(9 5 /08 O 5 :;: 5 /584 |
|||
055 |
|
8 |
|
5 /58 7 0 |
8/;123 4 % a8/; 0A @1234 |
||
0A @ |
0 7 /55 |
||
: /. |
/ A61234 1X / A6 @6 A$ |
||
Соответствующее этой гибкости значение |
отличается от |
на 1,2%. |
Такая точность достаточна, поэтому примем( 5 /56 |
. Для этого(9размера в |
|
условии устойчивости достигнуто желаемое равенство% 0A: |
@123 |
|
055 7 059 |
|
|
5 /56 7 8/; 7 05F- ; @6 W 051?=>$ |
|
|
В заключение проверим условие прочности, считая `b_ 5 @A1`$
055 7 059 / 61?=> K 05?=>$ 5 @A 7 8/; 7 05F-
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Какая сила называется критической силой?
2.Что называется гибкостью стержня? Приведите формулу.
3.Приведите формулу Л. Эйлера для определения критической силы?
4.Каков предел применимости формулы Л. Эйлера?
5.Как определяется предельная гибкость для формулы Л. Эйлера?
6.Как определяется критическая сила при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала?
7.Приведите формулу Ф. Ясинского для определения критической силы и укажите пределы её применимости.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Александров, А.В. Сопротивление материалов [Текст] : учеб. для вузов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М. : Высш. шк., 1995. – 560 с.
2.Атаров, Н.М. Сопротивление материалов в примерах и задачах [Текст] : учеб. пособие / Н.М. Атаров. – М. : ИНФРА-М, 2011. – 160 с.
3.Ицкович, Г.М. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов [Текст] : учеб. пособие для вузов / Г.М. Ицкович, Л.С. Минин, А.И. Винокуров. – 3-е изд., доп. – М. : Высш. шк., 2001. – 592 с.
4.Коргин, А.В. Сопротивление материалов с примерами решения задач в системе Microsoft Excel [Текст] : учеб. пособие / А.В. Коргин.– М. : ИНФРА-
М, 2011. – 389 с.
5.Левченко, Н.Б. Сопротивление материалов [Текст] : учеб. пособие. Ч. 3 / Н.Б. Левченко. – СПб. : СПбГАСУ, 2002. – 97 с.
Приложение 1
Коэффициенты ϕ продольного изгиба центрально-сжатых элементов
Гиб- |
|
|
|
|
|
Значения коэффициентов ϕ |
|
|
|
|
||||
кость, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сталь с расчетным сопротивлением R, МПа |
|
|
Дерево |
||||||||
λ |
|
|
|
|
|
|||||||||
200 |
240 |
280 |
|
320 |
360 |
400 |
440 |
480 |
520 |
560 |
600 |
640 |
||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
10 |
0,988 |
0,987 |
0,985 |
|
0,984 |
0,983 |
0,982 |
0,981 |
0,980 |
0,979 |
0,978 |
0,977 |
0,977 |
0,992 |
20 |
0,967 |
0,962 |
0,959 |
|
0,955 |
0,952 |
0,949 |
0,946 |
0,943 |
0,941 |
0,938 |
0,936 |
0,934 |
0,968 |
30 |
0,939 |
0,931 |
0,924 |
|
0,917 |
0,911 |
0,905 |
0,900 |
0,895 |
0,891 |
0,887 |
0,883 |
0,879 |
0,928 |
40 |
0,906 |
0,894 |
0,883 |
|
0,873 |
0,863 |
0,854 |
0,846 |
0,839 |
0,832 |
0,825 |
0,820 |
0,814 |
0,872 |
50 |
0,869 |
0,852 |
0,836 |
|
0,822 |
0,809 |
0,796 |
0,785 |
0,775 |
0,764 |
0,746 |
0,729 |
0,712 |
0,800 |
60 |
0,827 |
0,805 |
0,785 |
|
0,766 |
0,749 |
0,721 |
0,696 |
0,672 |
0,650 |
0,628 |
0,608 |
0,588 |
0,712 |
70 |
0,782 |
0,754 |
0,724 |
|
0,687 |
0,654 |
0,623 |
0,595 |
0,568 |
0,542 |
0,518 |
0,494 |
0,470 |
0,612 |
80 |
0,734 |
0,686 |
0,641 |
|
0,602 |
0,566 |
0,532 |
0,501 |
0,471 |
0,442 |
0,414 |
0,386 |
0,359 |
0,469 |
90 |
0,665 |
0,612 |
0,565 |
|
0,522 |
0,483 |
0,447 |
0,413 |
0,380 |
0,349 |
0,326 |
0,305 |
0,287 |
0,370 |
100 |
0,599 |
0,542 |
0,493 |
|
0,448 |
0,408 |
0,369 |
0,335 |
0,309 |
0,286 |
0,267 |
0,250 |
0,235 |
0,300 |
110 |
0,537 |
0,478 |
0,427 |
|
0,381 |
0,338 |
0,306 |
0,280 |
0,258 |
0,239 |
0,223 |
0,209 |
0,197 |
0,248 |
120 |
0,479 |
0,419 |
0,366 |
|
0,321 |
0,287 |
0,260 |
0,237 |
0,219 |
0,203 |
0,190 |
0,178 |
0,167 |
0,208 |
130 |
0,425 |
0,364 |
0,313 |
|
0,276 |
0,247 |
0,223 |
0,204 |
0,189 |
0,175 |
0,163 |
0,153 |
0,145 |
0,178 |
140 |
0,376 |
0,315 |
0,272 |
|
0,240 |
0,215 |
0,195 |
0,178 |
0,164 |
0,153 |
0,143 |
0,134 |
0,126 |
0,153 |
150 |
0,328 |
0,276 |
0,239 |
|
0,211 |
0,189 |
0,171 |
0,157 |
0,145 |
0,134 |
0,126 |
0,118 |
0,111 |
0,133 |
160 |
0,290 |
0,244 |
0,212 |
|
0,187 |
0,167 |
0,152 |
0,139 |
0,129 |
0,120 |
0,112 |
0,105 |
0,099 |
0,117 |
170 |
0,259 |
0,218 |
0,189 |
|
0,167 |
0,150 |
0,136 |
0,125 |
0,115 |
0,107 |
0,100 |
0,094 |
0,089 |
0,104 |
180 |
0,233 |
0,196 |
0,170 |
|
0,150 |
0,135 |
0,123 |
0,112 |
0,104 |
0,097 |
0,091 |
0,085 |
0,081 |
0,093 |
190 |
0,210 |
0,177 |
0,154 |
|
0,136 |
0,122 |
0,111 |
0,102 |
0,094 |
0,088 |
0,082 |
0,077 |
073 |
0,083 |
200 |
0,191 |
0,161 |
0,140 |
|
0,124 |
0,111 |
0,101 |
0,093 |
0,086 |
0,080 |
0,075 |
0,071 |
067 |
0,075 |
210 |
0,174 |
0,147 |
0,128 |
|
0,113 |
0,102 |
0,093 |
0,085 |
0,079 |
0,074 |
0,069 |
0,065 |
062 |
- |
220 |
0,160 |
0,135 |
0,118 |
|
0,104 |
0,094 |
0,086 |
0,077 |
0,073 |
0,068 |
0,064 |
0,060 |
0,057 |
- |
|
|
|
|
|
|
Приложение 2 |
||||
Значения a, b, λ0, и λпред |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Материал |
a ,МПа |
|
b, МПа |
|
λ0 |
|
|
|
λпред |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стали 10, Ст.2 |
264 |
0,70 |
62 |
|
105 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Стали 15, Ст.3 |
310 |
1,14 |
61 |
|
|
100 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Стали 25, Ст.5 |
350 |
1,15 |
57 |
|
92 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Стали 10Г2СД, 15ГС, 15ХСНД |
429 |
1,52 |
50 |
|
|
83 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дюралюминий Д16Т |
406 |
2,83 |
30 |
|
53 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дерево (сосна, ель) |
29,3 |
0,194 |
- |
|
|
70 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к решению задач по курсам
«Сопротивление материалов» и «Техническая механика»
Составитель Борков Павел Валерьевич
Редактор М.Ю.Копытина Подписано в печать . Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная.
Ризография. Печ. л. 1,0. Тираж 75 экз. Заказ № Издательство Липецкого государственного технического университета.
Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ. 398600 Липецк, ул. Московская, 30