Расчет стержневой конструкции на изгиб и устойчивость (90

(2.3), зависит от гибкости, которая в свою очередь зависит и от размеров попе-

речного сечения стержня. Поэтому в этом случае для решения задачи использует-

ся метод последовательных приближений. В первом приближении задается вели-

чина коэффициента ϕ (рекомендуется принимать ϕ1 = 0.5 ). Из условия устойчи-

вости (2.3) определяется площадь

Затем последовательно вычисляются размеры поперечного сечения стержня, ми-

нимальные момент инерции Imin, радиус инерции imin и гибкость стержня λ = μlc .

imin

Здесь μ - коэффициент приведенной длины, lc – длина стержня. По полученному

Расчеты по указанной схеме повторяются до тех пор, пока различие между за-

данным значением ϕ и полученным из таблицы не будет превышать пяти про-

центов. Например, если для к-го приближения выполнится неравенство

Коэффициент ηϕ называется коэффициентом сходимости по ϕ . Следовательно,

Для расчета балки на прочность строится эпюра изгибающего момента М и

определяется опасное сечение, в котором M=Mmax.

Используется условие прочности

11

из которого находится момент сопротивления поперечного сечения балки W. По значению момента сопротивления W из таблицы сортамента подбирается номер двутавра.

4.Порядок выполнения работы

следует находить из условия прочности, а размеры стойки – из условия устойчи-

вости.

Решение задачи

Данная система является один раз статически неопределимой, т.к. на систе-

му наложены четыре связи, одна связь является дополнительной. Разбиваем ба-

лочно-стержневую систему на две части (рис.5). Действие частей друг на друга заменяем неизвестной силой X. Рассмотрим верхнюю балочную часть. Приведен-

ная на рис.5 система является эквивалентной системой.

Каноническое уравнение метода сил получается из условия, что прогиб бал-

ки в точке В равен величине уменьшения длины стойки:

ния В от действия внешних нагрузок, lc - величина сжатия стойки. Указанные величины определяются с помощью интегралов Мора (1.3):

12

lc

С

Рис. 5

13

Подставляя моменты в интегралы (4.2), имеем

Величина сжатия стойки определяется из закона Гука при растяжении-

сжатии стержня:

В коэффициенты уравнения (4.5) входят неизвестные величины: площадь

поперечного сечения стойки Aс и момент инерции поперечного сечения балки I.

Причем Aс следует определять из условия устойчивости стойки, момент инерции

I – из условия прочности балки.

Для решения задачи используем метод последовательных приближений.

EAc

кая: lc = 0 ) и из уравнения (4.5) находится X = X1 .

1.Для полученного значения Х из условия прочности балки определяется номер двутавра и соответствующий этому номеру момент инерции I.

2.Из условия устойчивости определяются размеры поперечного сечения стойки и вычисляется площадь Aс.

3.Подставляя найденные значения I и Aс в уравнение (4.5), определяется

14

2.Подбор сечения балки.

Для эквивалентной системы (рис.6в) определяются поперечная сила и изги-

бающий момент:

Участок I ( 0 ≤ x1 ≤ l ):

Q = − X = −20.6 кН,

M = X x1 , M (0) = 0, M (l) = 20.6кН × м .

Участок II ( 0 ≤ x2 ≤ 3l ):

Q = q x2 − X , Q(0) = −20.6 кН, Q(3l) = 69.4 кН ,

Q = q x2 - X = 0 находим x2 = X = 0.67м. Подставляя, имеем M (x2 ) = 27.7 кН . q

Эпюры Q и M представлены на рис.6г, 6д.

В опасном сечении (в заделке) Mmax=-52.6кН·м. Из условия прочности на изгиб (4.1) определяем момент сопротивления поперечного сечения балки:

15

Из таблицы сортамента выбирается двутавр №25, у которого

W=317см3, I =3800см4.

3.Подбор сечения стойки.

Стойка ВС (рис.4) находится в состоянии сжатия и может потерять устой-

чивость. Для определения ее поперечных размеров проведем расчет на устойчи-

вость методом последовательных приближений.

В первом приближении принимаем ϕ = ϕ1 = 0.5. Из условия устойчивости

(2.4) определяется площадь поперечного сечения стойки

минимальный момент инерции сечения. Для шарнирно закрепленной стойки Момент инерции кольцевого сечения определяется по формуле

значением и полученным из таблицы больше 5%, что недопустимо.

Проводим расчет во втором приближении. Для коэффициента ϕ задаем но-

16

M max = − 53.8кНм, момент сопротивления Wx ³ 336см3 . Из таблицы сортамента выбирается двутавр №27, для которого WxT =371см3, I xT =5010см4.

После расчета на устойчивость находим D=3.69см, ϕ = 0.625 .

17

ηX = 0 . Следовательно, второе приближение дает искомое решение задачи.

Окончательный ответ: для балки выбирается двутавр №27, диаметр стойки

D=3.69см.

5. Проверка результатов расчетов

Компьютерная проверка результатов расчета проводится с помощью про-

граммы «Balster». Порядок ввода данных, работы с программой, обработки ре-

зультатов приводится в пункте меню «Help» программы. Проверка результатов на компьютере проводится поэтапно. Для каждого этапа результаты проверки выво-

дятся на печать только в случае правильного решения соответствующей задачи. В

случае, если правильное решение задачи получается в первом приближении для всех этапов, то последующие результаты выводятся полностью без проверки.

Для входа в программу следует открыть файл «Balster» и выполнить опера-

ции в следующей последовательности. 1. Ввод данных.

Войти в пункт меню «Открыть исходный файл», ввести новые данные или внести изменения в существующий файл данных.

Данные могут быть как вещественными, так и целыми числами. Серым цветом отмечены вещественные числа (вводятся с точкой), белым – целые.

Все размеры и координаты точек задаются в метрах. Координаты точек закрепления балки и соединения балки со стойкой отсчитываются от левого конца балки.

Размерность сосредоточенных сил – « кН». Сила считается положитель-

ной, если она направлена вниз. Размерность моментов - «кН*м». Момент счита-

ется положительным, если он направлен по часовой стрелке. Размерность рас-

пределенной нагрузки -«кН/м».Эти нагрузки вводятся со знаком плюс, если они направлены вниз.

Проверяемые данные вводятся для первого приближения по силе Х. Диаметр стойки задается в сантиметрах, момент сопротивления балки – см3.

18

2. Создание файла данных.

После ввода данных или внесения изменений в существующий файл необхо-

димо создать текстовый файл (пункт меню «Запись данных в текстовый файл»).

Файл данных должен находиться в той же папке, что и файл «Balster». 3. Запуск программы на решение.

Для запуска программы на решение задачи следует нажать на кнопку «Вы-

полнить». При этом появится диалоговое окно (черное). При первом запросе нуж-

но ввести имя файла данных. При втором запросе - задать имя выходного файла

(файл результатов). При этом не допускается задавать имя файла, которое уже есть в данной папке. В выходном файле будут результаты расчетов.

4. Просмотр результатов расчета.

Для просмотра данных расчета нужно войти в пункт меню «Просмотр ре-

зультатов» и найти свой файл результатов.

Библиографический список

1.Феодосьев В.И. Сопротивление материалов: - М.: Изд-во МГТУ им.

Н.Э.Баумана, 1999. – 592 с.

2.Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории упругости и пластично-

сти. Основы теории с примерами расчетов: Учебник для вузов.– М. Высшая школа, 2000. - 286с.

3.Энергетические методы определения перемещений стержневых систем:

Методические указания к самостоятельной работе студентов/ Сост. М.Н.

Серазутдинов, С.Г. Мухамбетжанов; Казан. гос. технол. ун-т.- Казань,2004.- 52с.

19