8

1й курс. 2й семестр. Лекция 3

Лекция 3. Закон сохранения момента импульса.

Момент силы. Момент импульса материальной точки и механической системы. Уравнение моментов механической системы. Закон сохранения момента импульса механической системы.

Математические сведения.

Векторным произведением двух (ненулевых) векторов и называется вектор , который в декартовой системе координат (с ортами , , ) определяется по формуле:

.

Модуль вектора : (площадь прямоугольника на векторах и ).

Свойства векторного произведения.

1) Вектор направлен перпендикулярно к плоскости векторов и . Поэтому для любого вектора , лежащего в плоскости (линейно независимых) векторов и (т.е.), получаем . Следовательно, если два ненулевых вектора и параллельны, то .

2) Производная по времени от векторного произведения – это вектор .

Действительно, (базисные векторы , , - постоянные):

Вектор момента импульса

Вектором момента импульса относительно точки О называется вектор

,

где - радиус-вектор из точки О, - вектор импульса точки. Вектор направлен перпендикулярно к плоскости векторов и . Точку О иногда называют полюсом. Найдем производную от вектора момента импульса по времени:

.

Первое слагаемое в правой части: . Так как в инерциальной системе отсчета по второму закону Ньютона (в импульсной форме) , то второе слагаемое имеет вид: .

Величина называется вектором момента силы относительно точки О.

Окончательно получаем:

.

Производная от вектора момента импульса относительно точки равна моменту действующих сил относительно этой точки.

Свойства вектора момента силы.

1) и .

2) В декартовых координатах:

.

3) Момент суммы сил равен сумме моментов каждой из сил .

4) Сумма моментов сил относительно точки О:

при переходе к другой точке О₁, при которой изменится по правилу

.

Следовательно, момент сил не изменится, если .

5) Пусть , где , , тогда .

Следовательно, если две одинаковые силы лежат на одной прямой, то их моменты одинаковые. Эта прямая называется линией действия силы . Длина вектора называется плечом силы относительно точки О.

Момент силы относительно оси.

Как следует из определения момент силы, координаты вектора моменты силы относительно координатных осей определяются формулами:

, , .

Рассмотрим метод нахождения момента силы относительно некоторой оси z. Для этого надо рассмотреть вектор момента силы относительно некоторой точки О на этой оси и найти проекцию вектора момента силы на эту ось.

1) Проекция вектора момента силы на ось z не зависит от выбора точки О.

Возьмем на оси z две разные точки О₁ и О₂ и найдем моменты силы F относительно этих точек:

, .

Вектор разности векторов направлен перпендикулярно вектору , лежащему на оси z. Следовательно, проекция этого вектора () на ось z равна нулю, и если ввести орт оси z – вектор , то проекции на ось z векторов и равны между собой:

.

Поэтому, момент силы относительно оси z определен однозначно.

Следствие. Если момент силы относительно некоторой точки на оси равен нулю, то равен нулю момент силы относительно этой оси.

2) Если вектор силы параллелен оси z, то момент силы относительно оси равен нулю: . Действительно вектор момента силы относительно любой точки на оси должен быть перпендикулярен вектору силы, поэтому он также перпендикулярен и оси, параллельной этому вектору. Поэтому проекция вектора момента силы на эту ось будет равна нулю.

3) Если вектор силы и ось не параллельны, но лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен нулю. Действительно, в этом случае вектор момента силы относительно любой точки на оси направлен перпендикулярно этой плоскости (т.к. вектор тоже лежит в этой плоскости). Можно сказать и иначе. Если рассмотреть точку пресечения линии действия силы и прямой z, то момент силы относительно этой точки равен нулю, поэтому и момент силы относительно оси равен нулю.

Момент импульса механической системы.

Рассмотрим суммарный момент импульса системы точек (тела) относительно некоторой точки О:

.

При переходе к другой точке О₁ радиус-векторы точек системы преобразуются по правилу: , поэтому

.

Суммарный импульс системы равен импульсу центра масс: , тогда .

Поэтому в системе отсчета, где центр масс тела покоится: , суммарный момент импульса не зависит от точки, относительно которой он вычисляется.

Если рассматривается движение твердого тела, то возможное движение в случае – это вращение вокруг центра масс. В этом смысле момент импульса описывает вращательное движение системы точек (тела).

Найдем производную по времени от суммарного момента импульса механической системы:

.

Силы, действующие на точки системы, разделим на внутренние, действующие между точками системы и внешние – со стороны тел, не входящих в систему: .

.

Внутренние силы подчинятся третьему закону Ньютона - они лежат на прямых линиях, попарно соединяющих точки, противоположны по направлению и одинаковы по величине:

.

Для каждой из таких пар сил можно ввести одинаковое плечо , поэтому

.

Окончательно получаем:

.

Уравнение динамики вращательного движения системы точек:

.

Производная от вектора суммарного момента импульса системы равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему.

Это уравнение часто называют уравнением моментов.

Покоординатное равенство:

, , .

. Момент импульса твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью . Выделим в теле малую частицу массой m_i. Найдем момент импульса этой частицы относительно некоторой точки О на оси вращения z. Если радиус-вектор частицы , вектор импульса , то вектор момента импульса частицы приложен к точке О и направлен перпендикулярно к векторам и , т.е. под некоторым углом _i к оси z. Траекторией частицы m_i является окружность, поэтому вектор импульса направлен по касательной к этой окружности. Следовательно, угол между векторами и равен 90⁰ (как угол между образующей и направляющей конуса). Тогда величина момента импульса частицы: .

Пусть - радиус окружности – траектории частицы. Тогда . Рассмотрим проекцию вектора момента импульса этой частицы на ось z: .

Учитывая, что , получаем: . Но . Тогда

.

Для всего тела: .

В это выражение входят параметры движения частиц, которые не зависят от положения точки О. Поэтому момент импульса тела относительно оси z не зависит от положения точки О на оси. В соотношении для величина

называется моментом инерции твердого тела относительно оси z (единица измерения кгм²). Тогда можно записать: .

Зависимость для величины показывает, что момент инерции твёрдого тела зависит от распределения масс относительно оси вращения. Для сплошных тел суммирование можно заменить интегралом по массе тела:

.

Уравнение динамики вращательного движения

твердого тела вокруг неподвижной оси.

Момент импульса твердого тела при вращательном движении вокруг оси z вычисляется как

.

Тогда уравнение динамики вращательного движения примет вид:

.

Если тело твердое, то , поэтому, с учетом того, что (угловое ускорение), получаем следующее соотношение:

.

Это уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

угловое ускорение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси прямо пропорционально величине момента внешних сил относительно этой оси.

Замечание. По аналогии со вторым законом Ньютона, в котором ускорение определяется силой, уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела дает связь между угловым ускорением и моментом силы. В этом смысле момент инерции тела играет роль меры инертности при вращательном движении.