Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды Фурье (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

173.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

где

b1 =

cosxsinxdx = 0

и для n = 2,3,...;

bn =

cosxsinnxdx

sin(1+n)x−sin(1

−n)x dx =

cos(n+1)x 0

cos(1−n)x o =

−

1+n

−

cos

π(n+1)

2n 1+(

−

1+n

π(n2

−

Следовательно,

∞ n 1+(

1)n

f(x)

n=2

(n2

−1)

sinnx.

−

6. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Задача 1. Представить функции sinn x и cosn x в виде тригонометрических полиномов n-й степени. Указание: использовать формулу Эйлера.

Задача 2. Доказать, что тригонометрический полином, не равный нулю тождественно, не может сохранять знак на R.

Задача 3. Доказать равенство

∞	cosnx	= 3x2 −6πx+2π2	(0 x		π).
			≤	≤
n=1	n2	12

Указание: использовать разложение функций x и x2 на отрезке

[0, π] по косинусам.

Задача 4. Разложить в ряд Фурье на отрезке [−π, π] следующие функции:

а) sin αx; б) |cosx|; в) eαx; г) arcsin(sinx).

Задача 5. Разложить y = xcosx в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0, π].

7. СОДЕРЖАНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА

Задание 1. Функция f(x) задана на промежутке (−l,l). Разложить ее в тригонометрический ряд Фурье. Построить графики функции, суммы ряда, а также частичных сумм S1(x),S2(x),S3(x). Используя данное разложение, аппроксимировать функцию тригонометрическим полиномом третьего порядка и вычислить среднее квадратичное отклонение.

Задание 2. Функция задана на промежутке (0,l) или (−l,0). Разложить ее по косинусам (четный номер варианта) или по синусам (нечетный номер варианта). В полученный ряд подставить x = l и найти сумму этого числового ряда. Построить графики функции и суммы ряда Фурье.

Варианты заданий приведены в таблице.

Номер

Задание

вари-

анта

< x <ππ;

0 < x <

;

f(x) =

f(x) = x + πx, 0 < x < π

−

< x < 0;

−

π2

< x <

−

−2

2π

< x < π;

< x <

;

f(x) =

f(x) = (x

) , 0 < x <

− 2

0 < x <

;

0, π < x < 0

−

Продолжение таблицы

Номер

Задание

вари-

анта

< x <ππ;

,π

0 < x <

;

−

f(x) =

π < x < 0

f(x) =

+ ,

−

< x < 0;

π,

−

π2

< x <

−

−2

3π

π,

< x < π;

< x <

3π;

f(x) =

f(x) = x

π < x < 0

3π

−

π,

< x <

;

−

3π

π < x <

π,

−

− 4

−1,

3 < x < 4;

f(x) =

1 < x < 3;

−2x,

0 < x < 2

1, 2 < x < 1;

f(x) = x

−

1, −4 < x < −2

0, 2 < x < 3;

f(x) =

1 < x < 2;

−2 < x < 0

1 < x < 1;

f(x) = x−x

−

−1, −3 < x < −1

1, 1 < x < 2;

f(x) =

0 < x < 1;

+x, 0 < x < 1

1, 1 < x < 0;

f(x) = x

−

1, −2 < x < −1

Продолжение таблицы

Номер

Задание

вари-

анта

< x < 1;

< x <

;

f(x) =

f(x) = x +3x, 3 < x < 0

−

< x <

;

−2

1 < x <

−

−2

x−

< x < π;

f(x) =

< x <

;

f(x) = x+2, −1 < x < 0;

4 < x <

−2

−

−π < x < −2

< x < π;

f(x) =

< x <

;

f(x) = x−2, 1 < x < 3;

1, 0 < x < 1

−2

−π

< x < −

−

, 0 < x < π;

−

2, 1 < x < 3;

f(x)=

< x < 0;

f(x) =

−

−2

1, 0 < x < 1

−2

−

−π < x < −2

2π

x−

< x <ππ;

1 < x < 0;

f(x) = 0,

0 < x <

;

f(x) =

−

2 < x <

−π < x < 0

−

Продолжение таблицы

Номер		Задание
вари-
вари-
анта	1	2

π;

< x <

f(x) = x−1, 0 < x < 2;

f(x)=

2π

2 < x < 0

< x <

;

−

0 < x < 3

f(x) =

−2x,

−

f(x) =

< x <

1 < x < 0

3π,

−

π < x <

1, < x < 1;

−

f(x) =

−

< x < 0;

f(x) =

1 < x < 4;

1 x,

4 < x < 1

π < x <

π;

−

−2

−4

−π < x < −2

< x <

< x < π;

−

f(x) =

1 x, 0 < x < 1;

f(x) =

−

2 < x < 0

0 < x <

−

2x,

1 < x < 0;4

2x, 0 < x < π;

−

f(x) =

−x,

−

π < x < 0

−

2 < x <

−

< x < π;

f(x) =

1 < x < 2;

x π,

π < x <

1 x, 0 < x <

2 < x <

− π

−π

−2

x−

< x < π;

1, 3 < x < 4;

f(x) =

< x <

;

f(x) =

0, 1 < x < 3;

−2

x, 0 < x < 1

x+ π, −π < x < −

		Продолжение таблицы

Номер		Задание
вари-
вари-
анта	1	2

f(x)π=

< x < π;

2−x, 1 < x < 2;

f(x) =

= x+ π,

π < x < π;

0 < x < 1

−

−x− 2,

−π < x < −2

f(x) =

−

x+1,

−

2 < x < 1

x+ π,

π < x <

f(x) = 3−x, 1

< x <

< x < 0;

−

< x <

2 < x < 3;

f(x) = −x,

−1 < x < 0;

f(x) = 2−x, 1 < x < 2;

x+2,

−

2 < x < 1

0 < x < 1

f(x) =

−

−2,

0 < x < 4;

f(x) =

π −x,

< x < π;

x 2, 4 < x < 0

π,

0 < x < π

−x −

−< x <

2, 2 < x < 4;2

0,−

0, 1 < x < 2;

f(x) =

0 < x < 2;

f(x) =

4 < x < 0

x, 0 < x < 1

−

2 < x < 0;

f(x) =

0 < x < π;

f(x) =

−3 < x < 2;

−

π < x < 0

−4 < x <

−3

−

−2 < x < 3;−

f(x) =

0,2

0 < x < π;

f(x) =

3, 1 < x < 2;

−

π < x < 0

4, 0 < x < 1

2, 3 < x < 5;

−2x

f(x) =

π , 0 < x < π;

f(x) = −2, 2 < x < 3;

π ,

−

π < x < 0

4, 0 < x < 2

Окончание таблицы

Номер

Задание

вари-

анта

−

< x <

f(x) =

2x, 2 < x < 2

f(x) =

< x <

;

−

−3

−

1, −π < x < −23π

f(x) =

−3, −

< x < 0;

f(x) =

−

2x, 0 < x < 2;

π;

2 < x < 0

π < x <

−

− 4

−2

−

−1, −π < x < −34π

−2,

< x < π;

3, 1 < x < 1

f(x) =

f(x) = x

< x <

;

−

− −

−1,

0 < x < 4

ЛИТЕРАТУРА

Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды М.: Физматлит, 2002.

Власова Е.А. Ряды: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000 (Сер. Математика в техническом университете; Вып. IX).

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 ч.: Ч. 1. М.: Наука, 1971.

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т.: Т. 2. М.: Высш. шк., 1981.

Нараленков К.М., Шарохина И.В. Тригонометрические ряды Фурье: Метод. указания к выполнению домашнего задания. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2 т.: T. 2. М.: Наука, 1985.

	ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		3
1. Периодические функции и их приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		5
2.	Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
3.	Теоремы о рядах Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	10
4.	Ряд Фурье для четных и нечетных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
5.	Типовые и теоретические задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
6.	Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
7.	Содержание типового расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	22
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		28

Учебное издание

Аникин Анатолий Юрьевич

Савин Александр Сергеевич Томашпольский Виктор Яковлевич

РЯДЫ ФУРЬЕ

Редактор О.М. Королева Корректор Р.В. Царева

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 05.07.2012. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 500 экз. Изд. № 2.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022512 Кб4Рыба и рыбные товары (90..pdf
#
15.11.20221.25 Mб9Рынок труда в рисунках и таблицах Учебное наглядное пособие..pdf
#
15.11.2022402.06 Кб2Рынок ценных бумаг (90..pdf
#
15.11.2022123.33 Кб1Рябов С.М.. Методические указания для выполнения самостоятельной работы по дисциплине «Кормление сельскохозяйственных животных».pdf
#
15.11.2022337.28 Кб3Ряды (110..pdf
#
15.11.2022173.45 Кб9Ряды Фурье (120..pdf
#
15.11.20222.36 Mб7Садуова А. Т.. Фантазия «Фейерверк» И.Ф. Стравинского.pdf
#
15.11.2022300.33 Кб2Самоконтроль при занятиях физическими упражнениями (110..pdf
#
15.11.2022399.48 Кб29Самостоятельная работа студента медицинских направлений ВУЗа Методические рекомендации..pdf
#
15.11.2022693.38 Кб0Самостоятельная работа студентов по видам практик (90..pdf
#
15.11.2022778.6 Кб0Самостоятельные занятия физическими упражнениями для студентов и магистрантов инженерного факультета Учебно-методическое пособие (для студентов и магистрантов)..pdf