Системы счисления (96

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

В.И. Неземский, О.А. Орешкина

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Методические указания к практикуму «Предметная коррекционная работа по дисциплине “Основы информатики”»

Под редакцией А.Г. Станевского

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 681.3 ББК 32.81 H443

Рецензент М.Ю. Барышникова

Неземский В.И., Орешкина О.А.

H443 Cистемы счисления: Метод. указания / Под ред. А.Г. Станевского. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 20 с.: ил.

Методические указания содержат основные сведения о системах счисления, алгоритмах перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую; об арифметических операциях с числами, представленными в различных позиционных системах счисления.

Для студентов ГУИМЦ, изучающих дисциплины «Основы информатики», «Алгоритмические языки программирования», «Информатика», языки программирования, а также естественно-научные и инженерные дисциплины в программах инклюзивного образования в условиях интегрированного обучения.

УДК 681.3 ББК 32.81

Учебное издание

Неземский Валентин Иванович Орешкина Ольга Алексеевна

CИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Редактор С.Ю. Шевченко Корректор Р.В. Царева

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 10.03.2009. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз. Изд. № 93.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Цели работы:

•освоить основные понятия систем счисления;

•научиться работать с двоичными, восьмеричными, десятичными и шестнадцатеричными числами;

•научиться преобразовывать двоичные числа в восьмеричные

ишестнадцатеричные;

•научиться осуществлять преобразования между десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления;

•научиться выполнять арифметические операции с числами позиционных систем счисления, перевод дробных и смешанных чисел в новые системы счисления;

•применять системы счисления в современной информатике.

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В СОВРЕМЕННОЙ ИНФОРМАТИКЕ

Система счисления — это способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над ними.

Если у вас есть 26 конфет или до вашего дня рождения осталось 26 дней, или для изготовления какого-то изделия требуется выполнить 26 технологических операций и вам нужно это число (количество) как-то записать, то вы можете использовать не только привычный способ записи, но и любую из следующих последовательностей знаков:

XXVI;

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII; 110102;

2223;

328;

1A16;

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами. Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, можно разде-

лить на непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит значение, которое она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система (римские цифры). В этой системе в качестве цифр используются латинские прописные буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Вримской системе счисления цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складывают. Например:

VII = 5 + 1 + 1 = 7;

MMV = 1000 + 1000 + 5 = 2005;

Если же слева записана меньшая цифра, а справа – большая, то их значения вычитают. Например:

IV = 5 – 1 = 4;

MCMXCVI = 1000 + (–100 + 1000) + (–10 +100) + 5 + 1 = 1996.

Из рассмотренных примеров для римской системы счисления можно вывести два правила.

1. Каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

2. Каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к нему.

2.ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Впозиционных системах счисления значение, обозначаемое цифрой в записи числа, зависит не только от значения самой цифры, но и от ее позиции в записи числа.

Например, в числе 575,5 последняя цифра 5 обозначает половинку единицы, предпоследняя цифра 5 обозначает 5 единиц, а первая цифра 5 обозначает 500 единиц.

Это число можно записать так:

575,5 = 5 ∙ 102 + 7 ∙ 101 + 5 ∙ 100 + 5 ∙ 10 −1.

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Положение, занимаемое цифрой при письменном обозначении числа, называется разрядом.

Основание позиционной системы счисления — это количество цифр, используемых для записи чисел в системе счисления.

Основание — это также количество единиц младшего разряда, соответствующих одной единице следующего, старшего разряда.

Наиболее привычная для нас система счисления, применяемая в современной математике, — десятичная. Эта система описывается с помощью десяти цифр, и ее основание равно десяти:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционный характер системы можно легко понять на примере многозначного числа. Например, в числе 756 цифра 7 означает семь сотен, цифра 5 означает пять десятков и последняя цифра 6

соответствует единицам, т. е. 7 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 6 ∙ 1 = 756.

Число 2007 содержит две тысячи (2 ∙ 1000), нуль сотен, нуль десятков (0 ∙ 100 + 0 ∙ 10) и семь единиц (7 ∙ 1). Десятичное число

2007 можно представить так: 2007 = (2 ∙ 1000 + 0 ∙ 100 + 0 ∙ 10 + + 7 ∙ 1).

Для записи чисел в позиционной системе с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n < 10 используют n первых арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (цифры пришли из Индии, а европейские народы познакомились с ними благодаря арабам). При n > 10 к десяти арабским цифрам добавляют заглавные латинские буквы: A, B, C, D, E, F.

При этом A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

Cвои названия позиционные системы счисления получили в зависимости от основания. Если основание системы равно двум (n = 2), то система называется двоичной; если n = 3, система счисления называется троичной и т. д. (табл. 1).

В информатике широкое применение нашли двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Их основные параметры приведены в табл. 2.

5

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Каждая из позиций цифры в записи числа определяется степенью основания системы счисления. Значения степеней начинаются c нуля и возрастают на единицу при перемещении между цифрами числа в направлении справа налево.

3.1. Десятичная система

В десятичном числе 937 последняя цифра (7) соответствует позициям единиц, цифра 3 записана в позиции десятков, 9 — в позиции сотен (рис. 1).

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Рис. 1

Запишем десятичное число 937 с использованием основания системы:

937 = 9 ∙ 102 + 3 ∙ 101 + 7 ∙ 100.

Все перечисленные позиционные значения являются степенями основания системы счисления (10); значения степеней начинаются с нуля и увеличиваются на единицу по мере продвижения справа налево. Единице любого разряда соответствуют 10 единиц предыдущего разряда (табл. 3).

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.2. Двоичная система

В двоичном числе 101 последняя цифра (1) соответствует позиции единиц (два в нулевой степени 20 = 1), 0 записан в позиции двоек (два в первой степени 21 = 2), 1 — четверок (два во второй степени 22 = 4). Все перечисленные позиционные значения являются степенями основания системы счисления (2); значения степени начинаются с нуля и увеличиваются на единицу по мере продвижения влево (табл. 4)

3.3. Восьмеричная система

В восьмеричном числе 435 последняя цифра (5) соответствует единицам (восемь в нулевой степени 80 = 1) степени, цифра 3 записана в позиции восьмерок (восемь в первой степени 81 = 8), цифра 4 соответствует позиционному значению 64 (восемь во второй степени 82 = 64). Отметим, что все перечисленные позиционные значения являются степенями основания системы счисления (8); значения степени начинаются с нуля и увеличиваются на единицу по мере продвижения влево (табл. 5).

Таблица 5

Позиционные значения в восьмеричной системе счисления

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3.4.Шестнадцатеричная система

Вшестнадцатеричном числе 3DA последняя цифра (A) соответствует единицам (шестнадцать в нулевой степени 160 = 1), число D записано в позиции 16 (шестнадцать в первой степени 161 =

=16), цифра 3 записана в позиции 256 (шестнадцать во второй степени 162 = 256). Все позиционные значения являются степенями основания системы счисления (16); значения степени начинаются

снуля и увеличиваются на единицу по мере продвижения справа налево (табл. 6).

Таблица 6

Позиционные значения в шестнадцатеричной системе счисления

Если требуется указать принадлежность числа к системе счисления, то основание системы записывается нижним индексом к этому числу. Например, 11012, 6758, FEA916, 5555, 1116.

4. ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

4.1.Сокращенная запись двоичных чисел в виде восьмеричных и шестнадцатеричных чисел

Основным назначением восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в программировании является сокращенное представление двоичных чисел, т. е. более короткое их написание (табл. 7).

9