Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Уравнения переноса массы в теории массообмена (120

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

117.06 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

В.М. Гремячкин

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МАССЫ В ТЕОРИИ МАССООБМЕНА

Методические рекомендации к изучению курса «Теория тепломассообмена»

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

УДК 536.7 ББК 22.317 Г80

Рецензенты: В.И. Хвесюк, С.Е. Якуш

Гремячкин В.М.

Г80 Уравнения переноса массы в теории массообмена : метод. рекомендации к изучению курса «Теория тепломассообмена» / В.М. Гремячкин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 15, [1] с. : ил.

Рассмотрены уравнения тепло- и массопереноса массы при использовании массовых и объемных концентраций.

Для студентов, изучающих курс «Теория тепломассообмена».

Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета «Э» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 536.7 ББК 22.317

Учебное издание

Гремячкин Виктор Михайлович

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА МАССЫ В ТЕОРИИ МАССООБМЕНА

Редактор О.М. Королева Корректор М.А. Василевская

Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 16.03.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Изд. № 160.

Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

ВВЕДЕНИЕ

Процессы массообмена характерны для технологических процессов химической, металлургической и других отраслей промышленности, где происходит преобразование веществ за счет протекания химических реакций.

Несмотря на подобие уравнений и граничных условий процессов тепло- и массообмена, существует ряд особенностей, связанных прежде всего с протеканием химических реакций, которые, как правило, присутствуют в этих процессах.

В настоящих указаниях будут рассматриваться некоторые проблемы процессов массообмена, связанные с протеканием химических реакций и влиянием их на перенос массы.

1. УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА

Скорость химических реакций зависит от процессов теплопереноса, реагирующих веществ и продуктов реакции, поскольку эти процессы определяют температуру и концентрации реагентов в зоне протекания химической реакции. В некоторых случаях процессы тепло- и массопереноса могут полностью лимитировать скорость химической реакции. В этих случаях кинетика химических реакций может не рассматриваться при определении скорости реакции, и тогда говорят о диффузионном режиме протекания химической реакции в отличие от кинетического режима, когда скорость реакции лимитируется кинетикой химических реакций [1].

Можно записать, что поток реагирующего вещества в зону протекания химической реакции определяется выражением

I = β(z(0) − z),

(1)

где β — коэффициент массообмена; z(0) — концентрация реагирующего вещества в окружающей среде; z — концентрация реагента в зоне химической реакции.

Если порядок химической реакции равен единице, то для скорости W химической реакции может быть записано выражение

W = Kz,

(2)

где K — константа скорости реакции.

В стационарном случае скорость химической реакции должна быть равна потоку реагирующего вещества в зону протекания реакции:

Kz = β[z(0) − z].

(3)

Из условия (3) можно определить концентрацию реагирующего вещества в зоне протекания реакции и, следовательно, скорость

химической реакции:
	β			K β		(4)
z = z(0)		;	W = z(0)		.
	K + β			K + β

Таким образом, если K β, то z = 0, W = β z(0). Cледовательно, диффузионный режим протекания химической реакции реализуется, так как скорость реакции не зависит от константы скорости реакции. Если же K β, то z = z(0), W = K z(0), имеет место кинетический режим протекания реакции, поскольку скорость реакции полностью определяется кинетикой реакции. В общем случае скорость протекания химической реакции может зависеть как от кинетики реакции, так и от процессов массо- и теплообмена.

Для определения потоков теплоты и реагирующих веществ необходимо рассматривать уравнения теплопроводности и диффузии,

атакже и уравнения гидродинамики.

Втеории уравнение теплопроводности обычно рассматривается в виде [2]

dT	+ div(ρucT − λgradT ) = QW,
ρc dt	+ div(ρucT − λgradT ) = QW,	(5)

где ρ — плотность газа; c — теплоемкость; u — скорость потока газа; λ — коэффициент теплопроводности; Q — тепловой эффект реакции.

Такой вид уравнения теплопроводности (5) учитывает как конвективный теплоперенос в газе, движущемся со скоростью u, так и кондуктивный теплоперенос, который происходит в связи с наличием градиента температуры и может осуществляться и в неподвижном газе, а также и в направлении, противоположном движению газа. В правой части уравнения (5) находится функция, учитывающая тепловыделение в результате экзотермической химической реакции, протекающей со скоростью W .

Конечно, вид уравнения теплопроводности (5) не является полным, так как тепловыделение может происходить и в результате диссипативных процессов в вязком газе. Однако этими явлениями обычно пренебрегают в теории (исключая, конечно, случаи движения газов со сверхзвуковыми скоростями), так как рассматриваемые скорости движения газа обычно существенно ниже скорости звука.

Оценка коэффициента теплопроводности может быть осуществлена с помощью выражения, получаемого в кинетической теории газов [3]. В кинетической теории газов уравнение теплопроводности (5) получается из решения уравнения Больцмана методом Чепмена — Энскога, который рассматривает состояния, близкие к равновесным.

Для решения уравнений теплопроводности необходимо задать начальные условия, определяющие распределение температуры в начальный момент времени, а также граничные условия, определяющие поведение решения на границах исследуемой области.

Граничные условия для уравнений теплопроводности могут быть записаны в разных формах в зависимости от условий поставленной задачи. В курсе уравнений математической физики рассматриваются три вида граничных условий: 1-го; 2-го и 3-го рода.

Граничные условия 1-го рода задают значения температуры на границах исследуемой области:

	T \|Г = T.		(6)
Граничные условия 2-го рода задают значения производной на
границах исследуемой области:
	dT	= A(t).	(7)

	dn

Граничные условия 3-го рода определяют соотношение между температурой и производной температуры на границах исследуе-

мой области:	dT
	dT	= α(T − T0).
	λ dn	= α(T − T0).	(8)

Применительно к условиям теплообмена граничные условия 1-го рода означают следующее: теплообмен между телом, в котором рассматривается процесс теплопередачи, и окружающей средой настолько интенсивен, что температура поверхности тела практически равна температуре окружающей среды. Граничные условия 2-го рода подразумевают, что интенсивность теплообмена с окружающей средой невелика и, следовательно, поток теплоты на поверхности тела определяется теплообменом тела с окружающей средой. Граничные условия 3-го рода устанавливают связь между потоком теплоты на поверхности тела и интенсивностью теплообмена тела с окружающей средой. Следует отметить, что коэффици-

ент теплоотдачи α не является постоянной величиной и может зависеть от температуры. Поэтому при определении коэффициентов теплоотдачи обычно указывается диапазон температур, в котором коэффициент теплоотдачи можно приближенно считать величиной постоянной.

При введении безразмерных переменных в уравнение теплопроводности, а также в граничные условия возникают безразмерные параметры, которые называются числами подобия. Для процессов теплообмена такими числами подобия являются число Пекле Pe = νl/a, число Нуссельта Nu = αl/λ и число Прандтля

Pr = ν/a.

Уравнения диффузии, которые описывают перенос различных компонентов газовой смеси, могут быть записаны в разной форме в зависимости от того, какие концентрации компонентов рассматриваются: массовые или объемные. Если рассматриваются относительные массовые концентрации z, то уравнение диффузии

записывается в виде [2]:
ρ	dz	+ div(ρuz − ρDgradz −	DT	gradT ) = −W,	(9)
	dt		T

где D — коэффициент диффузии; DT — коэффициент термодиффузии; эти коэффициенты могут быть оценены из выражений, приводимых в кинетической теории газов [3].

Следует отметить, что коэффициент термодиффузии пропорционален разности молекулярных масс диффундирующих компонентов, поэтому термодиффузионный эффект обычно рассматривают, когда одним из компонентов газовой смеси являются легкие газы, такие, как водород или гелий. Но даже и в этом случае значение термодиффузионного члена в уравнениях, как правило, не превышает 10 % диффузионного члена [1]. В связи с этим в большинстве практически важных случаев термодиффузионный эффект в теории не рассматривается за исключением тех ситуаций, когда термодиффузионный эффект исследуется специально или когда в системе присутствуют легкие газы.

Уравнение диффузии может быть записано в другой форме, если использовать объемные концентрации, например парциаль-

ные давления pi:
	dpi	+ div(vpi − Dgradpi) = −Φ.	(10)
	dt	+ div(vpi − Dgradpi) = −Φ.	(10)
			7

Используя известные соотношения между относительными массовыми концентрациями и относительными парциальными

давлениями			pj μ
			pj μ
			zj =	j	,	(11)
			zj =	ˉ	,	(11)
где μ	P	pj μj,		μ
	P		можно перейти от уравнения диффузии (9) к
	=		можно перейти от уравнения диффузии (9) к
ˉ

уравнению (10) при условии замены выражения для определения скорости движения газа, тогда

	v = u +	D	ˉ	(12)
	v = u +	ˉ gradμ.		(12)
		μ
	В кинетической теории газов [3] существует два определения
скорости газа:
	среднемассовая скорость
и	u = X njmjwj/ X njmj
	среднечисловая скорость газа
	v = X njwj/ X nj,

где nj, mj и wj — число, масса и скорости молекул газа. Реальный физический смысл имеет среднемассовая скорость газа, так как именно эта скорость газа измеряется в экспериментах, поскольку приборы, измеряющие скорость газа, реагируют на изменение импульса газового потока. Скорость физических объектов, например частичек пыли, движущихся вместе с газом, определяется именно среднемассовой скоростью. В связи с этим более правильно использовать в уравнениях диффузии относительные массовые концентрации, так как в эти уравнения входит реальная гидродинамическая скорость движения газа. Объемные концентрации также могут быть использованы при записи уравнений диффузии. Однако в этом случае нужно быть осторожным, особенно тогда, когда, наряду с диффузионными, рассматриваются и гидродинамические эффекты. При использовании объемных концентраций следует иметь в виду, что в уравнение диффузии (10) входит некоторая фиктивная скорость движения газа.

При решении уравнений диффузии используются граничные условия 1-го, 2-го и 3-го рода, как и при решении уравнения теплопроводности. Однако физическая интерпретация этих граничных

условий может быть иной. Так, граничные условия 1-го рода

z|Г = zs

(13)

могут соответствовать условию интенсивного массообмена тела с окружающей средой по сравнению со скоростью гетерогенной реакции на поверхности тела. В этом случае концентрация реагирующего вещества на поверхности тела близка к концентрации вещества в окружающей среде. Кроме этого, граничные условия (13) могут соответствовать и высокой скорости гетерогенной реакции. В этом случае концентрация реагирующего вещества в зоне протекания реакции будет близка к минимально возможной (при заданных температуре и давлении) концентрации, имеющей место при химическом равновесии реакции.

Граничные условия 2-го рода

dz	= B(t)	(14)
dn

могут быть записаны в таком виде, если скорость потока вещества на поверхности тела равна нулю, что, как будет показано в разд. 2, реализуется не всегда. Условия (14) означают, что поток вещества в зону протекания реакции есть величина постоянная. Такие условия (14) могут соответствовать случаю малой интенсивности процесса массообмена, который лимитирует скорость реакции, либо постоянной (при заданных температуре и давлении) скорости реакции.

Граничные условия 3-го рода

dz	= β(z − z0),
ρuz − ρD dn	= β(z − z0),	(15)

где β — коэффициент массообмена, определяют связь между потоком массы в зону протекания реакции и интенсивностью массообмена.

При введении безразмерных переменных в уравнения диффузии и в граничные условия возникают безразмерные параметры — числа подобия. Числа подобия в диффузионных процессах в основном аналогичны числам подобия в процессах теплообмена. Однако названия этих чисел подобия иные. Это диффузионное число Пекле PeD = vl/D, число Шервуда Sh = βl/D, число Шмидта Sc = ν/D. Кроме того, в рассмотрение вводится число

Льюиса Le = D/a, которое и определяет условия подобия между процессами тепло- и массообмена. Следует отметить, что число Шмидта может меняться весьма сильно в зависимости от состояния рассматриваемых веществ, так как коэффициент диффузии в жидких и особенно твердых веществах — величина малая.

2. СТЕФАНОВСКИЙ ПОТОК

Известно, что гидродинамика существенно влияет на процесс массообмена, но возникает вопрос: могут ли процессы переноса массы влиять на гидродинамику течения жидкости и газа. В теории теплообмена полагают, что рассмотрение гидродинамики течения и процессов теплопереноса можно разделить, если принять, что коэффициент кинематической вязкости не зависит от температуры. При рассмотрении процессов массообмена предположения о том, что коэффициент кинематической вязкости не зависит от состава газа, часто оказываются недостаточными, так как влияние процессов массообмена на гидродинамику течения может осуществляться через граничные условия.

Если на поверхности твердого топлива протекает гетерогенная химическая реакция, то гидродинамические эффекты могут возникнуть даже в том случае, когда первоначально газ покоился. Это явление носит название «стефановский поток» по имени автора, впервые его описавшего. Стефановский поток играет важную роль в теории массообмена, так как его учет дает возможность более точно определить температуру поверхности тела и потоки реагирующих веществ на поверхность тела.

При практическом рассмотрении и использовании стефановского потока возникает вопрос о том, что является причиной возникновения стефановского потока: изменение массы газа или изменение объема газа в результате протекания химической реакции.

Действительно, при протекании химической реакции может происходить изменение объема газа. Например, в реакции

2H2 + O2 = 2H2O

в реакцию вступают 3 моля газа (2 моля водорода и 1 моль кислорода), а в результате получаются только 2 моля водяного пара. Интуитивно можно полагать [4], что в результате такого изменения

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]