Элементы высшей математики. Часть 2 Учебно-методическое пособие

x

2

1

x

2

1

7. Точка разрыва x 2

:

lim

x 2

; lim

x 2

.

x 2 0

x 2 0

x

2

1

x

2

1

8. lim

x 2

; lim

x 2

.

x

x

9. Из п.7 следует, что вертикальная асимптота: x 2

, а из п.8, что горизонтальных асимптот

нет. Также из п.8 следует, что у функции может существовать наклонная асимптота.

x

2

1

x

2

1

x

2

1 x

2

2x

2x 1

lim

1; lim

x 2

x lim

x 2

lim

x

2 . Поэтому и при x ,

x x(x 2)

x

x

x

2

и при x

существует наклонная асимптота

y x 2 .

2x(x 2) (x

2

1)

x

2

4x 1

10. Возьмем производную: y

.

2

2

x

(x 2)

(x 2)

0 x

2

4x

1

0 x 2

11.

yx

3 - точки подозрительные на экстремум.

(2x 4)(x 2) 2(x

2

4x 1)

6

14. Возьмем вторую производную: y

.

3

3

xx

(x 2)

(x

2)

15.При всех

x R, x 2

0 , поэтому точек перегиба нет.

выполняется неравенство yxx

16. y

6

0 x ;2

‒ на этом интервале функция вогнута, следовательно при

xx

(x

2)

3

5.

Точки пересечения с осью OX можно подсчитать лишь приблизительно.

6.

Функция является непрерывной на области определения: x R .

7.

Точек разрыва нет .

1

1

.

10. Возьмем производную: yx

2

2

1

x

11. y

0 x2 1 2 x 1 ‒ точки подозрительные на экстремум.

x

12. y

1

1

0

x2 1 2

0 x2 1 x ( 1;1), следовательно, функция убывает

x2 1

2(x2 1)

x

2

13. Из п.п.10‒12 следует, что точка x 1 ‒ точка

локального максимума, а точка x 1 ‒

точка локального минимума,

y( 1)

1

3

, y(1)

1

.

2

4

2

4

14. Возьмем вторую производную: y

2x

.

xx

(x 2

1)2

2x

0 x 0

- точка подозрительная на перегиб.

15. yxx

(x

2

1)

2