2.2. Модели каналов передачи и хранения данных

Случайный процесс возникновения ошибок в дискретном канале будет полностью описан, если заданы: входной и выходной алфавиты символов, а также совокупность переходных вероятностей вида p=(a^*/a), где a – символ на входе канала и a^*– символ на выходе канала, а p=(a^*/a) – вероятность приема символа a^* при условии, что передан символ a. Вероятности переходов, связывающие входные и выходные символы, могут быть заданы в виде матрицы переходных вероятностей, которая для двоичного канала, имеет вид:

_. (2.1)

Здесь и – вероятности безошибочной (достоверной) передачи символов «0» и «1», а и – вероятности искажения (конверсии) передаваемых символов «0» в «1» и «1» в «0» соответственно.

Для вероятностей (2.1) справедливы равенства

или (2.2)

В правых частях (2.2) указаны только вероятности искажений (ошибок) при передаче по каналу различных символов. Эти равенства можно рассматривать как вероятностную модель реального двоичного канала. Если возможные значения символов входных () и выходных () расположить в узлах графа, соединив эти узлы дугами, отображающими вероятности перехода одного символа в другой, то получим графическое представление модели двоичного канала (рис. 2.2).

Для наиболее часто используемых вероятностных моделей двоичных каналов делается допущение, что конверсии «1» в «0» или «0» в «1» – равновероятны:

или (2.3)

где p – теперь можно назвать просто вероятностью ошибки. Такой двоичный канал называют симметричным (его вероятностная модель приведена на рис. 2.2, б) в отличие от канала, для которого и именуемогонесимметричным (рис.2.2,а).

Рис. 2.2. Вероятностная модель двоичных каналов: а) – несимметричного, б) – симметричного

Из (2.3) следует, что вероятностная модель двоичного симметричного канала полностью определяется единственной величиной – вероятностью ошибки при передаче одного символа . Для нормально функционирующих реальных двоичных каналов p<<0,1.

В современных АСОИиУ значительный объем оборудования занимает память, реализуемая в виде запоминающих устройств (ЗУ). Хранение информации в ЗУ и ее передача по каналам связи являются взаимнооднозначными преобразованиями, при которых входное слово, поступающее в канал передачи или записываемое в ЗУ и слово на выходе из канала передачи или считываемое из ЗУ должны совпадать. Следовательно, ЗУ можно рассматривать как канал хранения данных, в котором в отличие от канала передачи, информация распространяется не в пространстве, а во времени-слово, записанное в ЗУ, считывается из него спустя некоторое время, а не непосредственно. Из сказанного можно сделать заключение об идентичности структурных схем каналов передачи и хранения информации. Учитывая далее случайный характер причин возникновения ошибок в словах, хранящихся в ЗУ (внешние дестабилизирующие воздействия, неисправности в самом ЗУ), как это имеет место и для каналов связи, можно сделать заключение об эквивалентности вероятностных моделей каналов связи и каналов хранения и, следовательно, возможности применения для анализа надежности ЗУ вероятностных моделей двоичного канала связи, приведенных выше.

Из (2.2) с учетом (2.3) следует, что вероятностная модель двоичного симметричного канала полностью определяется единственной величиной – вероятностью ошибки или искажения одного символа p.

Кроме того, если учесть что искажения в каждом конкретном символе n – разрядного двоичного слова при его передаче по каналу связи или хранении в ЗУ равновероятны и происходят независимо от успешности или ошибочности передачи или хранения других символов (т.е. ошибки взаимно независимые), можно полагать, что вероятность P(d=r) одновременного искажения в канале r символов подчиняется биномиальному закону распределения

, (2.4)

где – число искаженных символов (кратность ошибок),

– число сочетаний из символов по ,

– число символов (разрядность) двоичного слова,

– вероятность искажения (ошибки) одного символа.

Из (2.4) следует, что в каналах передачи и хранения данных вероятность ошибки большей кратности меньше вероятности ошибок меньшей кратности, т.е. для вероятностей ошибок справедлив следующий ряд соотношений:

P(d=1)>P(d=2)>P(d=3).

Кроме того, из (2.4) также следует справедливость следующего утверждения – вероятность ошибок кратности зависит от:

– значения – вероятности искажения одного символа,

– общего числа символов в слове – .

Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость этого утверждения.

Пример 2.1. Определим значения вероятностей ошибок кратности (0, 1, 2, 3) в 11–и и 16–и разрядных двоичных словах в каналах, для которых вероятности искажения одного символа равны p=0,001 и p=0,01.

Учитывая трудоемкость вычислений непосредственно по выражению (2.4), результаты получим с применением формулы Пуассона:

.

Результаты расчетов сведены в табл. 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1

Вероятности ошибок кратности в 11–и разрядных словах

P(d=r)	0,001	0,01	Увеличение в () Уменьшение в ()
P(d=0)	0,989	0,895	 в 1,1 раза
P(d=1)	0,0108	0,0994	 в 9,2 раза
P(d=2)	0,000054	0,0050	 в 92,5 раза
P(d=3)	0,00000016	0,000152	 в 950 раза

Таблица 2.2

Вероятности ошибок кратности в 16-и разрядных словах

P(d=r)	0,001	0,01	Увеличение в () Уменьшение в ()
P(d=0)	0,984	0,851	 в 1,2 раза
P(d=1)	0,015	0,137	 в 9,13 раза
P(d=2)	0,0001	0,0104	 в 104 раза
P(d=3)	0,00000055	0,000491	 в 892,7 раза

Из анализа содержащихся в таблицах результатов можно заключить, что с ростом вероятности искажения одного символа происходит перераспределение вероятностей ошибок различной кратности – вероятность получения неискаженного слова, т.е. уменьшается, а вероятности получения слов, искаженных одной и тем более двумя или тремя ошибками увеличиваются.

Так, например, при увеличении от значения 0,001 до 0,01 (в 10 раз), вероятность возникновения в 16-и разрядных словах одинарных ошибок увеличивается в 9,13 раза, а ошибок кратности d=3 в 892,7 раз.

Результаты расчетов, позволяющие оценить влияние на вероятности появления в словах ошибок различной кратности от разрядности слова n приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Вероятности ошибок кратности , соответствующие словам разрядности n при р=0,01

n P(d=r)	11	16	Увеличение в () Уменьшение в ()
P(d=0)	0,895	0,851	 в 1,05 раза
P(d=1)	0,099	0,137	 в 1,38 раза
P(d=2)	0,0050	0,0104	 в 2,08 раза
P(d=3)	0,000152	0,000491	 в 3,23 раза

Из анализа этой таблицы можно заключить, что наращивание разрядности слов n сопровождается аналогичным, как и при росте , но менее выраженным эффектом перераспределения вероятностей – вероятность отсутствия в слове ошибок уменьшается, а вероятности появления ошибок кратности d=1,2,3,… – увеличиваются.