Смагин Б.И.. Игры с природой

Министерство сельского хозяйства РФ Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Мичуринский государственный аграрный университет»

Кафедра математического моделирования экономических систем

УТВЕРЖДЕНО протокол № 9

методической комиссии экономического факультета от 12 марта 2008г.

ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей

Мичуринск – наукоград РФ

2008

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Учебно-методическое пособие составлено зав. кафедрой математи- ческого моделирования экономических систем, доктором экономических наук, профессором Б.И. Смагиным

Рецензент:

Зав. кафедрой математики и физики Мичуринского государственного

аграрного университета А.И. Бутенко

Рассмотрено на заседании кафедры Протокол № 8 от 13.02. 2008 г.

©Издательство Мичуринского государственного аграрного университета, 2008

2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИГРЫ С ПРИРОДОЙ

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней имеется один активный игрок (игрок 1), а игрок 2 (природа) не дейст- вует сознательно против игрока 1 (по образному выражению А. Эйнштей- на, природа сложна, но не злонамеренна), а выступает как не имеющий конкретной цели партнер по игре, который выбирает свои ходы случайным образом. Термин «природа» характеризует некую объективную действи- тельность.

Платежная матрица игры с природой имеет вид:

где aij – выигрыш игрока 1 при выборе им i-й стратегии, а игроком 2 – j-й стратегии (i= 1,2,…,m; j = 1,2,…,n). Следует сразу отметить, что мажори- рование стратегий в игре с природой имеет определенную специфику: ис- ключать из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии 1-го игро- ка. Если для всех j = 1,2,…,n выполняется условие aqj ≤ akj, то q-ю страте- гию игрока 1 можно не рассматривать и удалить из матрицы А. Столбцы же, которые отвечают стратегиям игрока 2 (природы) исключать из матри- цы игры А недопустимо, т.к. природа не стремится к выигрышу и для нее нет целенаправленно выигрышных или проигрышных стратегий. С одной стороны отсутствие противодействия упрощает игроку 1 задачу выбора решения, но имеет место проблема обоснования выбора, так как гаранти- рованный результат не известен.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности в поведении игрока 2, т.е. от того, известны или нет ве- роятности состояний (стратегий) природы. В первом случае мы имеем си- туацию риска, а во втором – полной неопределенности. В силу этого ино- гда игру с природой задают не в виде матрицы выигрышей, а в виде мат-

рицы рисков или матрицы упущенных возможностей

Риском rij игрока 1 при использовании им i-й стратегии и при j-м со- стоянии среды (природы) называется разность между выигрышем, кото- рый игрок получил бы, если бы он знал, что наступит j-е состояние среды

3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

и выигрышем, который игрок получит, не обладая этой информацией. Зная j-е состояние природы, игрок выбирает ту стратегию, при которой его вы- игрыш максимален, т.е.

Например, для матрицы выигрышей

β1= 6; β2= 5; β3= 9; β4= 7. Поэтому матрица рисков

2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ПОЛНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В данной ситуации используются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Применение каждого из этих критериев проил- люстрируем на примере выше рассмотренной матрицы выигрышей и свя- занной с ней матрицы рисков.

Критерий максимакса (критерий крайнего оптимизма) определяет стратегию, максимизирующую максимальные выигрыши для каждого со- стояния природы. Наилучшим признается решение, при котором достига- ется максимальный выигрыш, равный

M = max max aij

1 ≤ i ≤ m 1 ≤ j ≤ n

Легко видеть, что для матрицы А наилучшим решением будет А2, при котором достигается максимальный выигрыш, равный 9.

4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Ситуации, требующие применения такого критерия в экономике ис- пользуют игроки, поставленные в безвыходное положение, при котором они руководствуются принципом «или пан, или пропал».

Максиминный критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма) рассматривает природу как агрессивно настроенного и сознательно дейст- вующего противного, аналогичного тому, который был рассмотрен в мат- ричной игре двух лиц с нулевой суммой. Выбирается решение, для которо-

го достигается значение

что соответствует третьей стратегии А3 игрока 1.

Такая стратегия ориентируется на худший случай, когда игрок не за- интересован в крупной удаче, но хочет застраховать себя от неожиданных проигрышей.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа аналогичен выбору стра-

тегии по критерию Вальда, но игрок руководствуется не платежной матри- цей A, а матрицей рисков R:

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 3, дости- гается при использовании третьей стратегии А3.

Критерий пессимизма – оптимизма Гурвица рекомендует руково-

дствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и оптимизмом. Согласно этому критерию

стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением

HA = max1≤i≤m {p ×1min≤ j≤n aij + (1- p) × max1≤ j≤n aij},

где р – коэффициент пессимизма (p [0; 1]). При р = 0 данный критерий совпадает с максимаксным критерием М, а при р = 1 – с критерием Вальда W. Рассмотрим процедуру применения данного критерия для матрицы А при р = 0,5:

5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

для первой стратегии

т.е. оптимальной является третья стратегия А3. Очевидно, что при измене- нии коэффициент пессимизма р оптимальной может стать другая страте- гия. В частности при р = 0,2 оптимальной будет вторая стратегия при HA = 7,4.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

HR = 1min≤i≤m {p × max1≤ j≤n rij + (1- p) ×1min≤ j≤n rij }.

При р = 0 выбор стратегии осуществляется по условию наименьшего из всех возможных рисков, а при р = 1 – по критерию минимаксного риска Сэвиджа.

Рассмотрим результаты применения рассмотренных критериев на примере следующей платежной матрицы:

тогда матрица рисков

6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Для игрока 1 лучшими являются стратегии:

-по критерию максимакса – А4 (М = 80);

-по критерию Вальда – А1 и А2 (W = 15);

-по критерию Сэвиджа – А3 (S = 55);

-по критерию Гурвица (р = 0,5) – А4 (HA = 45).

Таким образом, при отсутствии информации о вероятностях всех возможных состояниях природы нет однозначных и математически обос- нованных рекомендаций для выбора наилучшей стратегии. Принимаемые же решения в значительной степени субъективны. Тем не менее, примене- ние математических методов позволяет упорядочить имеющиеся данные, т.к. задается множество состояний природы, альтернативные решения, вы- игрыши и потери при различных состояниях природы, что способствует повышению качества принимаемых решений.

3.ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Вэтом случае различным состояниям природы поставлены в соот- ветствие соответствующие вероятности. Таким образом, игрок 1 принима- ет решение на основе критерия максимального ожидаемого среднего выиг- рыша или минимального ожидаемого среднего риска.

Если для некоторой игры с природой, заданной платежной матрицей

A={aij} стратегиям природы Пj (j=1,2,…,n) соответствуют вероятности pj, то оптимальной стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш (максимизирует математическое ожида- ние выигрыша), т.е.

n

max å p j × aij (7)

1≤i≤m j=1

Применительно к матрице упущенных возможностей (матрице рис- ков) оптимальной будет стратегия, обеспечивающая ему минимальный средний риск:

n

min å pj × rij (8)

1≤i≤m j=1

7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Следует отметить, что критерии (7) и (8) эквивалентны в том смысле, что они достигаются при одной и той же оптимальной стратегии Ai игрока 1. Действительно,

Таким образом, значения критериев (7) и (8) отличаются только на

постоянную величину и достигаются при одной и той же оптимальной стратегии Ai. Пусть для платежной матрицы (5) р1 = 0,1; р2 = р3 = 0,2; р4 = 0,4; р5=0,1. Тогда

для первой стратегии

5

å pja1 j = 0,1× 20 + 0,2 ×15 + 0,2 ×30 + 0,4 × 42 + 0,1× 60 = 33,8

j=1

для второй стратегии

5

å pja2 j = 0,1×15 + 0,2 ×70 + 0,2 × 45 + 0,4 × 20 + 0,1× 35 = 36

j=1

для третьей стратегии

5

å pja3 j = 0,1× 25 + 0,2 × 20 + 0,2 × 40 + 0,4 ×75 + 0,1×10 = 45,5

j=1

для четвертой стратегии

5

å pja4 j = 0,1×80 + 0,2 ×10 + 0,2 × 20 + 0,4 ×10 + 0,1× 40 = 22

j=1

Таким образом, для игры, задаваемой платежной матрицей (5) при заданных вероятностях различных состояний природы, оптимальной стра- тегий по критерию (7) является А3.

Для матрицы рисков (6) имеем:

для первой стратегии

5

å pjr1 j = 0,1× 60 + 0,2 ×55 + 0,2 ×15 + 0,4 ×33 + 0,1× 0 = 33,2

j=1

для второй стратегии

5

å pjr2 j = 0,1×65 + 0,2 ×0 + 0,2 ×0 + 0,4 ×55 + 0,1× 25 = 31

j=1

8

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

для третьей стратегии

5

å pjr3 j = 0,1×55 + 0,2 ×50 + 0,2 ×5 + 0,4 ×0 + 0,1×50 = 21,5

j=1

для четвертой стратегии

5

å pjr4 j = 0,1×0 + 0,2 ×60 + 0,2 × 25 + 0,4 × 65 + 0,1× 20 = 45

j=1

Таким образом, и для критерия (8) лучшей является стратегия А3.

Рассмотренные процедуры принятия решений в условиях риска представляют собой одноэтапные игры с природой, которые удобно ис- пользовать в задачах, имеющих одно множество альтернативных решений и одно множество состояний природы. В то же время существует целый ряд задач, требующих анализа последовательности решений и состояний природы, когда одна совокупность стратегий игрока и состояний среды порождает другое состояние подобного типа. Причем последующие реше- ния основываются на результатах предыдущих. Подобного рода игры на- зываются многоэтапными или позиционными играми. Графическим изо-

бражением последовательности решений и состояний среды с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций аль- тернатив и состояний природы является дерево решений.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1.Каким образом в игре с природой из платежной матрицы А полу- чается матрица рисков R?

2.Дайте интерпретацию элементов rij в матрице рисков R.

3.Какова процедура определения оптимальной стратегии при игре с природой в условиях полной неопределенности при использовании игро- ком 1 критериев:

а) максимакса; б) Вальда; в) Сэвиджа; г) Гурвица?

4.Какие критерии используются в игре с природой при принятии решений в условиях риска?

Задания для практических занятий

При игре с природой задана платежная матрица А.

9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Определить:

1.Матрицу рисков R и оптимальные стратегии первого игрока при использовании им а) критерия максимакса; б) критерия Вальда; в) крите- рия Сэвиджа и г) критерия Гурвица с коэффициентом пессимизма р;

2.Определить оптимальную стратегию при известном векторе веро- ятностей состояний природы Р = (р1, р2, р3, р4).

10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com