«Проверка статистических гипотез»

1. Пусть первые столбцы таблиц 1–30 лабораторной работы «Описательные статистики» являются выборками значений нормально распределенного признака , а вторые  нормально распределенного признака . Требуется при уровне значимости проверить гипотезу .

2. Если в задании предыдущего пункта нулевая гипотеза о равенстве дисперсий и не была отвергнута, то на тех же выборках при уровне значимости проверить гипотезу о равенстве генеральных средних.

3. По выборкам значений признака из таблиц 130 лабораторной работы «Описательные статистики» проверить при уровне значимости с помощью критерия Пирсона гипотезу о нормальном распределении .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

«Проверка статистических гипотез»

1. Что такое статистическая гипотеза, критерий? Что такое критическая область и область принятия гипотезы?

2. Сформулируйте постановку задачи проверки гипотезы о равенства генеральных дисперсий двух нормально распределенных признаков и опишите алгоритм ее решения.

3. Сформулируйте постановку задачи проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы. Опишите алгоритм ее решения.

4. Сформулируйте постановку задачи проверки гипотезы о нормальном распределении признака с помощью критерия Пирсона. Опишите алгоритм ее решения.

5. Приведите пример первых четырех интервалов выборочного распределения признака, подготовленного для использования критерия Пирсона. Как ищется, например, ?

6. Пусть проверяется гипотеза о нормальном распределении признака, причем (здесь m  итоговое число частичных интервалов после подготовки выборочного распределения к использованию критерия Пирсона). Какой вывод следует сделать?

Тема 12.

ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Основные понятия

При изучении различных явлений или процессов важно выяснить, в какой мере существенно влияние того или иного фактора, а также их комбинаций на рассматриваемый признак. Ведь средние значения наблюдаемых величин при проведении любого эксперимента меняются не только в связи с изменением уровней факторов (как количественных, так и качественных), определяющих условия проведения опытов, но и из-за наличия случайных причин, отражающихся на проведении экспериментов и их результатах. Задачей дисперсионного анализа является изучение степени влияния различных факторов на изменчивость средних.

Выдающийся английский математик-статистик Р.А.Фишер определил в 1925 году дисперсионный анализ как “отделение дисперсии, приписываемой одной группе причин, от дисперсии, приписываемой другим группам”. Основной принцип, лежащий в основе дисперсионного анализа, заключается в разложении суммы квадратов отклонений от общего среднего на составляющие, обусловленные независимыми факторами. При этом с помощью каждой из составляющих получается оценка дисперсии генеральной совокупности. Проверка значимости влияния того или иного фактора проводится путем сравнения выборочной дисперсии, соответствующей этому фактору, с дисперсией, обусловленной случайными факторами (остаточной дисперсией). Для этого вычисляется эмпирическое значение критерия Фишера-Снедекора и сравнивается с табличным значением этого критерия (приложение 5). В случае если вычисленное по результатам наблюдений значение критерия Фишера-Снедекора окажется меньше табличного, оснований считать влияние рассматриваемого фактора значимым нет. В противном случае рассматриваемый фактор признается статистически значимым, т.е. существенно влияющим на изменчивость средних.

Отметим, что при выполнении процедуры дисперсионного анализа считаются выполненными следующие предположения:

а) случайные ошибки наблюдений имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием;

б) эксперименты считаются равноточными, дисперсия наблюдений постоянна и равна .

Сформулируем в общем виде задачу и алгоритм однофакторного дисперсионного анализа.

Пусть исследуется влияние одного количественного или качественного фактора на нормально распределенную случайную величину (признак) . Предположим, что фактор фиксируется на уровнях и на каждом уровне в одинаковых условиях с одинаковой степенью точности проведена серия из наблюдений над , результаты которых представлены таблицей:

Уровни фактора A
		...		...
		…		…
		…		...
...	...	...	...	...	...
		...		...

Пусть общее число наблюдений

.

Положим

, , (12.1)

Сформулируем нулевую гипотезу «влияние фактора незначимо» и выберем уровень значимости .

Для проверки нулевой гипотезы необходимо реализовать следующий алгоритм действий.

1. Вычислить суммы квадратов

=  факторная или межгрупповая сумма квадратов;

=  остаточная или внутригрупповая сумма квадратов.

2. Найти соответствующие этим суммам числа степеней свободы

; .

3. Вычислить дисперсии

; .

4. Вычислить -отношение ( ):

.

5. Сравнить с табличным значением

,

где  заданный уровень значимости.

Если , влияние фактора статистически значимо (нулевая гипотеза отвергается).

Если , то при заданном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу (влияние фактора статистически не значимо).

Результаты дисперсионного анализа принято представлять в виде таблицы 12.1.

Таблица 12.1

Дисперсионный анализ данных (общая форма)

Источник вариации	Суммы квадратов ( )	Числа степеней свободы ( )	Дисперсии (средние квадраты)	F-отношение ( )
Между группами
Внутри Групп
Общий

Отметим, что в таблице 12.1

и

Наряду с оценкой достоверности (значимости) влияния фактора дисперсионный анализ позволяет оценить и силу этого влияния. Показателем силы влияния фактора служит величина

,

которая характеризует долю вариации, обусловленной влиянием фактора, в общей вариации признака.

Пример 12.1. Оценивались технологические показатели рыхления почвообрабатывающим рабочим органом. Для трех скоростей обработки (м/с) получены следующие данные о глубине рыхления (мм):

	Скорость обработки, м/с
	1.1	1.7	2.0
Глубина рыхления, мм	62 67 74 75	80 75 76 84	85 80 77 81
Сумма	278	315	323

Определим, существенны ли различия в средней глубине рыхления почвы на различных скоростях ее обработки исследуемым почвообрабатывающим рабочим органом (иначе говоря, значимо ли влияние фактора “скорость обработки почвы” на показатель “глубина рыхления”).

Решение. Задаемся уровнем значимости = 0.05 и вычисляем групповые средние, групповые дисперсии, общее среднее по формулам (12.1):

Далее проводим вычисления по предложенной выше схеме.

1. Находим факторную (межгрупповую) и остаточную (внутригрупповую) суммы квадратов:

=

=

2. Находим числа степеней свободы:

3. Вычисляем дисперсии (средние квадраты):

4. Находим F-отношение:

5. По таблицам приложения 5 ищем :

Таким образом, в итоге получены результаты, которые в соответствии с таблицей 12.1 могут быть представлены в следующем виде:

Источник рассеяния	Суммы квадратов	Числа степеней свободы	Дисперсии (средние квадраты)	F- отношение ( )
Между группами Внутри групп	288.17 196.52	2 9	144.08 21.84	6.60	4.26
Общий	484.69	11

Поскольку , то при уровне значимости делаем вывод о значимости влияния скорости вспашки рассматриваемым почвообрабатывающим рабочим органом на глубину рыхления почвы.

Завершая решение примера, определим силу влияния фактора на результативный признак. Для этого вычисляем отношение

В ы в о д. Влиянием фактора обусловлено 59% общей вариации признака.

133