Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона

Выяснение вопроса о принадлежности выборочных данных нормально распределенному признаку генеральной совокупности является одной из важнейших задач математической статистики. Предположение о нормальном распределении некоторой случайной величины требуется при проверке многих статистических гипотез, в основных положениях дисперсионного и регрессионного анализов.

Существует несколько способов, позволяющих по выборочным данным с различной степенью уверенности принять или отвергнуть предположение о нормальном распределении признака. Один из них рассматривается ниже.

Пусть непрерывная случайная величина (признак) представлена выборкой значений в виде интервального распределения, причем известны выборочное среднее и исправленное выборочное с.к.о. .

Пусть имеются основания предполагать, что случайная величина подчинена нормальному закону распределения (например, из визуального соответствия гистограммы и нормальной кривой).

Проверка этой гипотезы при уровне значимости с помощью критерия Пирсона осуществляется по следующей схеме.

1. Нужно проанализировать интервальное распределение выборки, объем которой должен быть не менее 50, и в случае, если какому-нибудь частичному интервалу выборочных значений соответствует эмпирическая частота , которая меньше, чем 5, этот интервал следует объединить с соседним (соседними), поставив в соответствие новому интервалу сумму эмпирических частот объединенных интервалов. Так как нормальное распределение определено для всех действительных значений , то принято левую границу первого частичного интервала расширить до , а правую границу последнего  до . По окончании описанной процедуры будем обозначать число частичных интервалов через .

2. В предположении, что исследуемая случайная величина действительно распределена нормально с параметрами и ( ~ ), нужно вычислить вероятности попадания ее значений в каждый из частичных интервалов по формуле

; , (11.1)

где , и заменены соответственно на и , а значения функции Лапласа можно найти в таблицах приложения 2. При безошибочном счете должно выполняться условие

.

3. Нужно вычислить теоретические частоты по формулам

, (11.2)

где –объем выборки. Отметим, что при этом должно выполняться условие .

4. Теперь требуется вычислить наблюдаемое значение критерия :

. (11.3)

Кроме того, нужно найти критическое значение критерия ( ) в зависимости от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы . Это осуществляется с помощью таблиц приложения 3.

5. Наконец необходимо сравнить полученные значения и :

если > , то гипотеза о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости отвергается;

если < , то считают, что при заданном уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении рассматриваемой случайной величины .

Пример 11.3. Имеется 200 изделий, изготовленных на некотором станке. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о подчинении нормальному закону распределения отклонений контролируемого размера изделий от номинала.

Решение. Обозначим рассматриваемые отклонения через и будем исходить из следующего выборочного распределения:

Таблица 11.1

Интервалы значений (мк)	(-20; -15)	(-15; -10)	(-10; -5)	(-5; 0)	(0; 5)
Частоты значений	7	11	15	24	49

Продолжение таблицы 11.1

(5; 10)	(10; 15)	(15; 20)	(20; 25)	(25; 30)
41	26	17	7	3

Пусть известным образом вычислены = 4.3 мк и = 9.7 мк.

Согласно рекомендациям, данным выше, объединим последние два интервала таблицы 11.1. В результате получим уже 9 (m = 9) частичных интервалов (вместо первоначальных десяти). Теперь заполним следующую таблицу.

Таблица 11.2

Интервалы значений
(- ; -15)	0.0233	7	4.66	1.18
(-15; -10)	0.0475	11	9.50	0.24
(-10; -5)	0.0977	15	19.54	1.05
(-5; 0)	0.1615	24	32.30	2.13
(0; 5)	0.1979	49	39.58	2.24
(5; 10)	0.1945	41	38.90	0.11
(10; 15)	0.1419	26	28.38	0.20
(15; 20)	0.0831	17	16.62	0.01
(20; + )	0.0526	10	10.52	0.02
Сумма	1	200	200	7.18

Здесь

;

;

...........................................................................................

Поскольку

,

(0.05; 93) = (0.05; 6)=12.6,

то

< .

В ы в о д. В нашем случае при уровне значимости нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении величин отклонений от номинала контролируемого размера изделий.

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ