
m32444_6
.docТЕМА 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В ЗАДАЧАХ 121-130 вычислить площадь, ограниченную графиками заданных функций (параболами).
-
121.
;
.
122.
;
.
123.
;
.
124.
;
.
125.
;
.
126.
;
.
127.
;
.
128.
;
129.
;
.
130.
;
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
Вычислить
площадь, ограниченную параболами
и
(рис. 4).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
=
.
Отсюда
и
,
.
Площадь
фигуры вычислим по формуле
,
где
,
кривые, ограничивающие фигуру (
).
y
- 1/3 1
x
Рис. 4
В нашем случае площадь равна
=
=
=
.
В
ЗАДАЧАХ 131-140
требуется
определить количество вещества Q,
содержащегося в вертикальном столбе
воды, площадь поперечного сечения
которого равна S
(м2),
а глубина меняется от 0
(м) до L
(м). Концентрация вещества К
(г/м3)
в воде
меняется в зависимости от глубины х
по закону
.
-
a
b
L
S
131.
8
0,8
12
2
132.
7
0,7
11
3
133.
6
0,6
10
4
134.
5
0,5
9
2
135.
4
0,4
8
4
136.
8
0,8
16
3
137.
7
0,7
14
2
138.
6
0,6
12
3
139.
5
0,5
10
4
140.
4
0,4
8
2
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА.
Определить количество вещества Q, содержащегося в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна 2 (м2), а глубина меняется от 0 (м) до 10 (м). Концентрация вещества К (г/м3) в воде меняется в зависимости от глубины х по закону
.
Решение. Рассмотрим бесконечно тонкий слой столба воды с сечением S=2 толщины dx, находящийся на глубине х.
Количество вещества, содержащего в этом слое, равно
.
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 10, получим
(г).
ТЕМА 10. ФУНКЦИИ МНОГИХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
В ЗАДАЧАХ 141 - 150 вычислить частные производные первого и второго порядков от заданных функций.
141.
.
142.
.
143.
.
144.
.
145.
.
146.
.
147.
.
148.
.
149.
.
150.
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть
.
При
вычислении частной производной
переменную
рассматриваем как постоянную величину.
Пользуясь правилами дифференцирования
сложной функции, получаем
.
Аналогично
поступаем при вычислении
.
Считая
постоянной величиной, получаем
.
Используя те же правила, вычисляем частные производные второго порядка:
,
(проверьте!),
.
В ЗАДАЧАХ 151 - 160 исследовать на экстремум заданную функцию.
151.
.
152.
.
153.
.
154.
.
155.
.
156.
.
157.
.
158.
.
159.
.
160.
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть
Находим частные производные функции:
;
.
Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки. Для этого решаем систему уравнений:
откуда
;
.
Таким образом, стационарной является
точка
.
Находим значения частных производных
второго порядка в точке
:
;
;
.
Составляем выражение:
.
Так
как
и
,
делаем вывод о наличии минимума в точке
.
При этом минимальное значение функции
.
ТЕМА 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЗАДАЧАХ 161 - 170 найти общее решение (общий интеграл) дифференциальных уравнений первого порядка.
-
161. xy2y1 = y2.
162. x2dy+(y2+2)dx = 0.
163. x2dy+(y2+2)dx = 0.
164. xyy2 = 1.
165. ycosx-(y+2)sinx = 0.
166. y (y2+3)ctgx = 0.
167. xyy = 1x2.
168. xyy = (1x2)(1+y2).
169. 2x2yy+y2 = 2.
170. ycos3xy2sin3x = 0.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
Данное дифференциальное уравнение
относится к типу с разделяющимися
переменными. С учетом того, что
,
запишем его в виде
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем обе части равенства и получаем общее решение уравнения:
Остается вычислить интегралы
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид
В ЗАДАЧАХ 171 - 180 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
-
171.
,
.
172.
,
.
173.
,
.
174.
,
.
175.
, .
176.
,
.
177.
,
.
178.
,
.
179.
, .
180.
,
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Найти частное решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию .
Решение.
Заданное дифференциальное уравнение
является уравнением Бернулли. Положим
,
где
,
неизвестные функции от
,
.
Подставляя в исходное уравнение вместо
и
соответствующие объекты, будем иметь
,
.
Подберем
функцию
так, чтобы выражение, содержащееся в
квадратной скобке, обращалось в нуль.
Тогда для определения
имеем дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными
,
откуда
.
После интегрирования получаем
,
т.е.
.
Для
определения функции
имеем
или
.
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Разделяя переменные, получаем
.
Интегрируя обе части равенства, имеем
.
Последний интеграл вычисляем методом интегрирования по частям, в результате чего
,
откуда
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Используя
начальное условие, вычисляем соответствующее
ему значение постоянной
:
,
т.е.
.
Отсюда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию, имеет вид
.
ТЕМА 12. РЯДЫ
В
ЗАДАЧАХ 181 - 200 вычислить
определенный
интеграл с точностью до
путем предварительного разложения
подынтегральной функции в ряд и почленного
интегрирования этого ряда.
-
181.
.
191.
.
182.
.
192.
.
183.
.
193.
.
184.
.
194.
.
185.
.
195.
.
186.
.
196.
.
187.
.
197.
.
188.
.
198.
.
189.
.
199.
.
190.
.
200.
.
РЕШЕНИЕ
ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Вычислить
с точностью до
интеграл
путем предварительного разложения подынтегральной функции в степенной ряд и почленного интегрирования этого ряда.
Решение.
В разложении функции
в степенной ряд, которое имеет вид
,
заменим
на
.
Тогда получим
Умножая
этот ряд почленно на
,
будем иметь