Тема 3. Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве

В ЗАДАЧАХ 21 - 30 даны координаты вершин пирамиды .

Требуется: 1) записать векторы , , в системе орт , , и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами , ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани ; 5) найти объем пирамиды ; 6) составить уравнение ребра ; 7) составить уравнение грани .

21.	(1; 2; 1),	(–1; 5; 1),	(–1; 2; 7),	(1; 5; 9).
22.	(2; 3; 2),	(0; 6; 2),	(0; 3; 8),	(2; 6; 10).
23.	(0; 3; 2),	(–2; 6; 2),	(–2; 3; 8),	(0; 6; 10).
24.	(2; 1; 2),	(0; 4; 2),	(0; 1; 8),	(2; 4; 10).
25.	(2; 3; 0),	(0; 6; 0),	(0; 3; 6),	(2; 6; 8).
26.	(2; 2; 1),	(0; 5; 1),	(0; 2; 7),	(2; 5; 9).
27.	(1; 3; 1),	(–1; 6; 1),	(–1; 3; 7),	(1; 6; 9).
28.	(1; 2; 2),	(–1; 5; 2),	(–1; 2; 8),	(1; 5; 10).
29.	(2; 3; 1),	(0; 6; 1),	(0; 3; 7),	(2; 6; 9).
30.	(2; 2; 2),	(0; 5; 2),	(0; 2; 8),	(2; 5; 10).

РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ПРИМЕРА. Пусть

1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , , по формуле

, (1)

где – координаты вектора в системе координат , порожденной ортами, причем

.

Если заданы точки и , то

. (2)

Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек, получим

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:

. (3)

Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:

2. Известна формула

,

где – скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3. Известно, что

,

то есть в нашем случае

4. Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника, построенного на векторах и ,

где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

.

В нашем примере , причем

Таким образом,

(кв. ед.).

5. Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах , можно найти по формуле

,

где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

.

У нас , где

то есть (куб. ед.).

6. Известно, что уравнения прямой, проходящей через две заданные точки пространства и , имеют вид

. (4)

Подставив в (4) координаты точек и , получаем

то есть уравнение ребра окончательно запишется следующим образом:

7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , можно записать в виде

.

Подставляя в него координаты точек , получаем

Отсюда

21